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  • 2021-06-17 发布

高考理科数学复习练习作业47

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专题层级快练(四十七)‎ ‎1.(2017·山东德州一模)用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+2=2n+3-1,在验证n=1时,左边的式子为(  )‎ A.1          B.1+2‎ C.1+2+22 D.1+2+22+23‎ 答案 D 解析 当n=1时,左边=1+2+22+23.故选D.‎ ‎2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验第一个值n0等于 ‎(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.0‎ 答案 C 解析 边数最少的凸n边形是三角形.‎ ‎3.设f(n)=1+++…+(n∈N*),那么f(n+1)-f(n)等于(  )‎ A.         B.+ C.+ D.++ 答案 D ‎4.用数学归纳法证明34n+1+52n+1(n∈N)能被8整除时,当n=k+1时,对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为(  )‎ A.56·34k+1+25(34k+1+52k+1) B.34·34k+1+52·52k C.34k+1+52k+1 D.25(34k+1+52k+1)‎ 答案 A 解析 因为要使用归纳假设,必须将34(k+1)+1+52(k+1)+1分解为归纳假设和能被8整除的两部分.所以应变形为56·34k+1+25(34k+1+52k+1).‎ ‎5.若数列{an}的通项公式an=,记cn=2(1-a1)(1-a2)…(1-an),试通过计算c1,c2,c3的值,推测cn=__________.‎ 答案  解析 c1=2(1-a1)=2×(1-)=,c2=2(1-a1)(1-a2)=2×(1-)×(1-)=,‎ c3=2(1-a1)(1-a2)(1-a3)=2×(1-)×(1-)×(1-)=,‎ 故由归纳推理得cn=.‎ ‎6.用数学归纳法证明:对任意的n∈N*,++…+=.‎ 答案 略 解析 (1)当n=1时,左边==,右边==,左边=右边,所以等式成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k∈N*且k≥1)时等式成立,即有 ++…+=,‎ 则当n=k+1时,++…++ ‎=+= ‎===,‎ 所以当n=k+1时,等式也成立.‎ 由(1)(2)可知,对一切n∈N*等式都成立.‎ ‎7.在各项为正的数列{an}中,数列的前n项和Sn满足Sn=(an+).‎ ‎(1)求a1,a2,a3;‎ ‎(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式,并且用数学归纳法证明你的猜想.‎ 答案 (1)a1=1,a2=-1,a3=- (2)an=- 解析 (1)S1=a1=(a1+),得a12=1.‎ ‎∵an>0,∴a1=1.‎ 由S2=a1+a2=(a2+),得a22+2a2-1=0,∴a2=-1.‎ 又由S3=a1+a2+a3=(a3+),得a32+2a3-1=0,∴a3=-.‎ ‎(2)猜想an=-(n∈N*).‎ 证明:①当n=1时,a1=1=-,猜想成立.‎ ‎②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即ak=-,‎ 则当n=k+1时,‎ ak+1=Sk+1-Sk=(ak+1+)-(ak+),‎ 即ak+1=(ak+1+)-(-+)‎ ‎=(ak+1+)-,∴ak+12+2ak+1-1=0,∴ak+1=-.‎ 即n=k+1时猜想成立.‎ 由①②知,an=-(n∈N*).‎ ‎8.已知ai>0(i=1,2,…,n),考察:‎ ‎①a1·≥1;‎ ‎②(a1+a2)(+)≥4;‎ ‎③(a1+a2+a3)(++)≥9.‎ 归纳出对a1,a2,…,an都成立的类似不等式,并用数学归纳法加以证明.‎ 答案 (a1+a2+a3+…+an)(+++…+)≥n2‎ 解析 结论:(a1+a2+…+an)·(++…+)≥n2(n∈N*).‎ 证明:①当n=1时,显然成立.‎ ‎②假设当n=k时,不等式成立,即(a1+a2+a3+…+ak)·(++…+)≥k2.‎ 当n=k+1时,(a1+a2+…+ak+ak+1)·(++…++)‎ ‎=(a1+a2+…+ak)(++…+)+ak+1(++…+)+(a1+a2+…+ak)+1‎ ‎≥k2+(+)+(+)+…+(+)+1‎ ‎≥k2+2k+1=(k+1)2.‎ 即n=k+1时命题也成立.‎ 由①②可得,不等式对任意正整数n成立.‎ ‎9.(2017·保定模拟)已知f(x)=x-x2,设0<a1<,an+1=f(an),n∈N+,证明:an<.‎ 答案 略 证明 (1)当n=1时,0<a1<,‎ 不等式an<成立;‎ 因a2=f(a1)=-(a1-)2+≤<,‎ 故n=2时不等式也成立.‎ ‎(2)假设n=k(k≥2)时,不等式ak<成立,因为f(x)=x-x2的对称轴为x=,知f(x) 在(-‎ ‎∞,]上为增函数,所以由ak<≤,得f(ak)<f().‎ 于是有ak+1<-·+-=-<.‎ 所以当n=k+1时,不等式也成立.‎ 根据(1)、(2)可知,对任何n∈N+,不等式an<成立.‎ ‎10.已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足:00,‎ 所以f(x)在(0,1)上是增函数.‎ 又f(x)在[0,1]上连续,‎ 从而f(0)0).‎ ‎∵a1、a2、a4成等比数列,∴a22=a1·a4⇒(1+d)2=1×(1+3d)⇒d=1(d>0),‎ ‎∴an=n(n∈N*).‎ ‎(2)①根据题意要证bn≥an,即证bn≥n(n∈N*).‎ 用数学归纳法证明如下:当n=1时,b1≥1,原不等式成立;‎ 假设n=k时原不等式成立,即bk≥k(k∈N*),‎ 那么当n=k+1时,‎ bk+1=bk2-(k-2)bk+3=bk(bk-k+2)+3≥bk(k-k+2)+3=2bk+3≥2k+3>k+1,‎ ‎∴当n=k+1时原不等式也成立,综上可知bn≥n(n∈N*),即bn≥an.‎ ‎②由bn+1=bn2-(n-2)bn+3=bn(bn-n+2)+3≥2bn+3,而bn+3>0,‎ ‎∴≥2,∴b1+3≥4,≥2,≥2,≥2,…,≥2,‎ ‎∴bn+3≥2n+1(n∈N*),∴0<≤,‎ ‎∴Tn=+++…+≤+++…+,‎ ‎∴Tn≤=-<,(n∈N*).‎ ‎1.用数学归纳法证明不等式++…+>的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是________.‎ 答案  解析 不等式的左边增加的式子是+-=,故填.‎ ‎2.已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第60个数对是________.‎ 答案 (5,7)‎ 解析 本题规律:2=1+1;3=1+2=2+1;‎ ‎4=1+3=2+2=3+1;‎ ‎5=1+4=2+3=3+2=4+1;‎ ‎…;‎ 一个整数n所拥有数对为(n-1)对.‎ 设1+2+3+…+(n-1)=60,∴=60.‎ ‎∴n=11时还多5对数,且这5对数和都为12,‎ ‎12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7,‎ ‎∴第60个数对为(5,7).‎ ‎3.设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的自然数n都有:(Sn-1)2=anSn.‎ ‎(1)求S1,S2,S3;‎ ‎(2)猜想Sn的表达式并证明.‎ 答案 (1)S1=,S2=,S3= (2)Sn=,证明略 解析 (1)由(S1-1)2=S12,得S1=;由(S2-1)2=(S2-S1)S2,得S2=;‎ 由(S3-1)2=(S3-S2)S3,得S3=.‎ ‎(2)猜想:Sn=.‎ 证明:①当n=1时,显然成立;②假设当n=k(k≥1且k∈N*)时,Sk=成立.‎ 则当n=k+1时,由(Sk+1-1)2=ak+1Sk+1,得Sk+1===.‎ 从而n=k+1时,猜想也成立.‎ 综合①②得结论成立.‎ ‎4.(2016·衡水调研)首项为正数的数列{an}满足an+1=(an2+3),n∈N*.‎ ‎(1)证明:若a1为奇数,则对一切n≥2,an都是奇数;‎ ‎(2)若对一切n∈N*都有an+1>an,求a1的取值范围.‎ 答案 (1)略 (2)03‎ 解析 (1)证明:已知a1是奇数,假设ak=2m-1是奇数,其中m为正整数,‎ 则由递推关系,得ak+1==m(m-1)+1是奇数.‎ 根据数学归纳法,可知对任何n∈N*,an都是奇数.‎ ‎(2)方法一:由an+1-an=(an-1)(an-3),知当且仅当an<1或an>3时,an+1>an.‎ 另一方面,若03,则ak+1>=3.‎ 根据数学归纳法,可知∀n∈N*,03⇔an>3.‎ 综上所述,对一切n∈N*都有an+1>an的充要条件是03.‎ 方法二:由a2=>a1,得a12-4a1+3>0.于是03.‎ an+1-an=-=.‎ 因为a1>0,an+1=,所以对任意n∈N*,an均大于0.‎ 因此an+1-an与an-an-1同号.‎ 根据数学归纳法,可知∀n∈N*,an+1-an与a2-a1同号.‎ 因此,对于一切n∈N*都有an+1>an的充要条件是03.‎