高中数学必修1示范教案（2_1 函数的概念 第2课时） 6页

第 2 课时 函数相等 复 习 1.函数的概念. 2.函数的定义域的求法. 导入新课 思路 1.当实数 a、b 的符号相同,绝对值相等时,实数 a=b;当集合 A、B 中元素完全相同时,集 合 A=B;那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题:函数相等. 思路 2.我们学习了函数的概念,y=x 与 y= 是同一个函数吗？这就是本节课学习的内容,引 出课题:函数相等. 推进新课 新知探究 提出问题 ①指出函数 y=x+1 的构成要素有几部分？ ②一个函数的构成要素有几部分？ ③分别写出函数 y=x+1 和函数 y=t+1 的定义域和对应关系,并比较异同. ④函数 y=x+1 和函数 y=t+1 的值域相同吗？由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相 同,值域相同吗？ ⑤由此你对函数的三要素有什么新的认识？ 讨论结果：①函数 y=x+1 的构成要素为:定义域 R,对应关系 x→x+1,值域是 R. ②一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数 的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同. ③定义域和对应关系分别相同. ④值域相同. ⑤如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数 的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等. 应用示例 思路 1 1.下列函数中哪个与函数 y=x 相等？ (1)y=( )2;(2)y= ;(3)y= ;(4)y= . 活动： 让学生思考两个函数相等的条件后,引导学生求出各个函数的定义域,化简函数关系式为最简 形式.只要它们定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等. 解：函数 y=x 的定义域是 R,对应关系是 x→x. (1)∵函数 y=( )2 的定义域是［0,+∞), ∴函数 y=( )2 与函数 y=x 的定义域 R 不相同. ∴函数 y=( )2 与函数 y=x 不相等. x x 2 x 3 3x 2x x x2 x x x (2)∵函数 y= 的定义域是 R, ∴函数 y= 与函数 y=x 的定义域 R 相同. 又∵y= =x, ∴函数 y= 与函数 y=x 的对应关系也相同. ∴函数 y= 与函数 y=x 相等. (3)∵函数 y= 的定义域是 R, ∴函数 y= 与函数 y=x 的定义域 R 相同. 又∵y= =|x|, ∴函数 y= 与函数 y=x 的对应关系不相同. ∴函数 y= 与函数 y=x 不相等. (4)∵函数 y= 的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞), ∴函数 y= 与函数 y=x 的定义域 R 不相同, ∴函数 y=( )2 与函数 y=x 不相等. 点评：本题主要考查函数相等的含义.讨论函数问题时,要保持定义域优先的原则.对于判断两 个函数是否是同一个函数,要先求定义域,若定义域不同,则不是同一个函数;若定义域相同,再 化简函数的解析式,若解析式相同(即对应关系相同),则是同一个函数,否则不是同一个函数. 变式训练 判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由. ①y=x-1,x∈R 与 y=x-1,x∈N; ②y= 与 y= · ; ③y=1+ 与 u=1+ ; ④y=x2 与 y=x ; ⑤y=2|x|与 y= ⑥y=f(x)与 y=f(u). 3 3x 3 3x 3 3x 3 3x 3 3x 2x 2x 2x 2x 2x x x2 x x2 x 4-x 2 2−x 2x + x 1 x 1 2x    <− ≥ ;0,2 ,0,2 xx xx 是同一个函数的是________(把是同一个函数的序号填上即可). 解：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可. ①前者的定义域是 R,后者的定义域是 N,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数; ②前者的定义域是{x|x≥2 或 x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不同,故不是同一个 函数; ③定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加 1,那么值域必相同,故是同 一个函数; ④定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数; ⑤函数 y=2|x|= 则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数; ⑥定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数. 故填③⑤⑥. 思路 2 1.判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由. (1)f(x)=(x-1)0,g(x)=1. (2)f(x)=x-1,g(x)= . (3)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2. (4)f(x)=x2-1,g(u)=u2-1. 活动：学生思考函数的概念及其三要素,教师引导学生先判断定义域是否相同,当定义域相同 时,再判断它们的对应关系是否相同. 解：(1)∵f(x)=(x-1)0 的定义域是{x|x≠1},函数 g(x)=1 的定义域是 R, ∴函数 f(x)=(x-1)0 与函数 g(x)=1 的定义域不同. ∴函数 f(x)=(x-1)0 与函数 g(x)=1 不表示同一个函数. (2)∵f(x)=x-1 的定义域是 R,g(x)= = 的定义域是 R, ∴函数 f(x)=x-1 与函数 g(x)= 的定义域相同. 又∵g(x)= = =|x-1|, ∴函数 f(x)=x-1 与函数 g(x)= 的对应关系不同. ∴函数 f(x)=x-1 与函数 g(x)= 不表示同一个函数. (3)很明显 f(x)=x2 和 g(x)=(x+1)2 的定义域都是 R, 又∵f(x)=x2 和 g(x)=(x+1)2 的对应关系不同, ∴函数 f(x)=x2 和 g(x)=(x+1)2 不表示同一个函数. (4)很明显 f(x)=x2-1 与 g(u)=u2-1 的定义域都是 R, 又∵f(x)=x2-1 与 g(u)=u2-1 的对应关系也相同, ∴函数 f(x)=x2-1 与 g(u)=u2-1 表示同一个函数. 变式训练 1.2007 湖 北 黄 冈 模 拟 , 理 13 已 知 函 数 f(x) 满 足 f(ab)=f(a)+f(b) 且 f(2)=p,f(3)=q, 则 f(36)=_______.    <− ≥ ,0,2 ,0,2 xx xx 12x-x 2 + 12x-x 2 + 21)-(x 12x-x 2 + 12x-x 2 + 21)-(x 12x-x 2 + 12x-x 2 + 解：由题意得 f(36)=f(6×6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(2×3)=2［f(2)+f(3)］=2p+2q. 答案：2p+2q 2.函数 y=f(x)的图象与直线 x=2 的公共点共有( ) A.0 个 B.1 个 C.0 个或 1 个 D.不确定 答案：C 2.设 y 是 u 的函数 y=f(u),而 u 又是 x 的函数 u=g(x),设 M 表示 u=g(x)的定义域,N 是函数 y=f(u)的值域,当 M∩N≠ 时,则 y 成为 x 的函数,记为 y=f[g(x)].这个函数叫做由 y=f(u)及 u=g(x)复合而成的复合函数,它的定义域为 M∩N,u 叫做中间变量,f 称为外层函数,g 称为内层 函数.指出下列复合函数外层函数和内层函数,并且使外层函数和内层函数均为基本初等函数. (1)y= ;(2)y=(x2-2x+3)2;(3)y= -1. 活动：让学生思考有哪些基本初等函数,它们的解析式是什么. 解：(1)设 y= ,u=x+1, 即 y= 的外层函数是反比例函数 y= ,内层函数是一次函数 u=x+1. (2)设 y=u2,u=x2-2x+3, 即 y=(x2-2x+3)2 的外层函数是二次函数 y=u2,内层函数是二次函数 u=x2-2x+3. (3)设 y=u2+u-1,u= , 即 y= -1 的外层函数是二次函数 y=u2+u-1,内层函数是反比例函数 u= . 点评：到目前为止,我们所遇到的函数大部分是复合函数,并且是由正、反比例函数和一、二 次函数复合而成的,随着学习的深入,我们还会学习其他复合函数.复合函数是高考重点考查 的内容之一,应引起我们的重视. 变式训练 1.2004 重庆高考,文 2 设 f(x)= ,则 =_______. 答案：-1 2.2006 安徽高考,理 15 函数 f(x)对任意实数 x 满足条件 f(x+2)= ,若 f(1)=-5,则 f［f(5)］ =. 分析:∵函数 f(x)对任意实数 x 满足条件 f(x+2)= ,∴f(x+4)=f［(x+2)+1］= =f(x). ∴f(1)=f(1+4)=f(5). 又∵f(1)=-5,∴f(5)=-5. ∴f［f(5)］=f(-5)=f(-5+4)=f(-1)=f(-1+4)=f(3)=f(1+2)= = . ∅ 1 1 +x xx 11 2 + u 1 1 1 +x u 1 x 1 xx 11 2 + x 1 1 1 2 2 + − x x )2 1( )2( f f )( 1 xf )( 1 xf )2( 1 +xf )1( 1 f 5 1− 答案： 知能训练 1.下列给出的四个图形中,是函数图象的是( ) A.① B.①③④ C.①②③ D.③④ 图 1-2-1-2 答案：B 2.函数 y=f(x)的定义域是 R,值域是［1,2］,则函数 y=f(2x-1)的值域是_______. 答案：［1,2］ 3.下列各组函数是同一个函数的有________. ①f(x)= ,g(x)=x ;②f(x)=x0,g(x)= ; ③f(x)= ,g(u)= ;④f(x)=-x2+2x,g(u)=-u2+2u. 答案：②③④ 拓展提升 问题:函数 y=f(x)的图象与直线 x=m 有几个交点？ 探究:设函数 y=f(x)定义域是 D, 当 m∈D 时,根据函数的定义知 f(m)唯一, 则函数 y=f(x)的图象上横坐标为 m 的点仅有一个(m,f(m)), 即此时函数 y=f(x)的图象与直线 x=m 仅有一个交点; 当 mD 时,根据函数的定义知 f(m)不存在, 则函数 y=f(x)的图象上横坐标为 m 的点不存在, 即此时函数 y=f(x)的图象与直线 x=m 没有交点. 综上所得,函数 y=f(x)的图象与直线 x=m 有交点时仅有一个,或没有交点. 课堂小结 (1)复习了函数的概念,总结了函数的三要素; (2)学习了复合函数的概念; (3)判断两个函数是否是同一个函数. 作业 1.设 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列 4 个图形,其中能表示以集合 M 为定义域,N 为值 域的函数关系是( ) 图 1-2-1-3 5 1− 3x x 0 1 x u 2− u 2− 分析:A 中,当 0