2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练：第二章 函数、导数及其应用 第10节 4页

第二章 第10节 ‎1．(2020·商洛市模拟)设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是(　　 )‎ 解析：B　[由f(x)的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f(x)递减，即导数小于0，可排除C，D；再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f(x)递减，再递增，后递减，即导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确．]‎ ‎2．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　 B．0‎ C．－2 D．－4‎ 解析：D　[f′(x)＝‎2f′(1)＋2x，‎ 令x＝1，则f′(1)＝‎2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，‎ 所以f′(0)＝‎2f′(1)＋0＝－4.故选D.]‎ ‎3．设曲线y＝sin x上任一点(x，y)处切线的斜率为g(x)，则函数y＝x‎2g(x)的部分图象可以为(　　)‎ 解析：C　[根据题意得g(x)＝cos x，∴y＝x‎2g(x)＝x2cos x为偶函数．又x＝0时，y＝0，故选C.]‎ ‎4．(2020·长春市模拟)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为(　　 )‎ A．1－a B．1‎ C．a－1 D．－1‎ 解析：B　[函数f(x)＝ax－ln x的导数为f′(x)＝a－，所以图象在点(1，f(1))处的切线斜率为a－1，且f(1)＝a，‎ 则切线方程为y－a＝(a－1)(x－1)，‎ 令x＝0，可得y＝1，故选B.]‎ ‎5．(2020·聊城市模拟)若曲线y＝acos x＋sin x在处的切线方程为x－y＋1－＝0，则实数a的值为(　　 )‎ A．－1 B．1‎ C．－2 D．2‎ 解析：A　[y＝acos x＋sin x的导数为y′＝－asin x＋cos x，‎ 可得曲线在处的切线斜率为k＝－a，‎ 由切线方程x－y＋1－＝0，‎ 可得－a＝1，即a＝－1.]‎ ‎6．(2020·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y＝x2－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为　________　.‎ 解析：设切点为(m，n)(m＞0)，y＝x2－3ln x的导数为y′＝x－，可得切线的斜率为m－＝－，解方程可得，m＝2.‎ 答案：2‎ ‎7．已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝　________　.‎ 解析：法一　∵y＝x＋ln x，∴y′＝1＋，y′|x＝1＝2.‎ ‎∴曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.‎ ‎∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，‎ ‎∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．‎ 由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.‎ 由Δ＝a2－‎8a＝0，解得a＝8.‎ 法二　同法一得切线方程为y＝2x－1.‎ 设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)．‎ ‎∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．‎ 由解得 答案：8‎ ‎8．如图，已知y＝f(x)是可导函数，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，令g(x)＝，则g′(4)＝　________　.‎ 解析：g′(x)＝′＝.‎ 由已知图象可知，直线l经过点P(0,3)和Q(4,5)，故k1＝＝.‎ 由导数的几何意义可得f′(4)＝，‎ 因为Q(4,5)在曲线y＝f(x)上，故f(4)＝5.‎ 故g′(4)＝＝＝－.‎ 答案：－ ‎9．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.‎ ‎(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；‎ ‎(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．‎ 解：(1)由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，‎ ‎∴所求的直线方程为y＝－2.‎ ‎(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，‎ 则f′(x0)＝3x－3.‎ 又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，‎ 故其斜率可表示为＝，‎ 又＝3x－3，‎ 即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)，‎ 解得x0＝1(舍去)或x0＝－，‎ 故所求直线的斜率为k＝3×＝－，‎ ‎∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0.‎ ‎10．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.‎ ‎(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；‎ ‎(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．‎ 解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，‎ 则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，‎ 即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．‎ ‎(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，‎ 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知， 解得－1≤k＜0或k≥1，‎ 故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，‎ 得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．‎