2019高三数学（人教A版 文）一轮课时分层训练56 参数方程 5页

课时分层训练(五十六)　参数方程 ‎(对应学生用书第307页)‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为，求A．‎ ‎ 【导学号：79170374】‎ ‎[解]　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1. 1分 当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0. 2分 由解得或 从而C与l的交点坐标为(3,0)，. 4分 ‎(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为d＝. 5分 当a≥－4时，d的最大值为.‎ 由题设得＝，所以a＝8； 7分 当a＜－4时，d的最大值为.‎ 由题设得＝，‎ 所以a＝－16. 9分 综上，a＝8或a＝－16. 10分 ‎2．(2018·南昌模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，过点F(，0)作倾斜角为60°的直线交曲线C′于A，B两点，求|FA|·|FB|.‎ ‎[解]　(1)直线l的普通方程为2x－y＋2＝0， 2分 曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4.4分 ‎(2)∵∴C′的直角坐标方程为＋y2＝1. 5分 易知直线AB的参数方程为(t为参数). 6分 将直线AB的参数方程代入曲线C′：＋y2＝1，得t2＋t－1＝0，则t1·t2＝－， 8分 ‎∴|FA|·|FB|＝|t1·t2|＝. 10分 ‎3．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．‎ ‎[解]　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. 4分 ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. 8分 ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ‎＝.‎ 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.‎ ‎ 所以l的斜率为或－. 10分 ‎4．(2018·长春模拟)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.‎ ‎(1)求C的参数方程；‎ ‎(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．‎ ‎[解]　(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．‎ 可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π). 4分 ‎(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，‎ 所以直线CD与l的斜率相同，tan t＝，t＝. 8分 故D的直角坐标为，‎ 即. 10分 ‎5．(2017·湖北七市三联)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α 为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acosθ－(a＞0)．‎ ‎(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)；‎ ‎(2)若直线l与C2相切，求a的值．‎ ‎[解]　(1)曲线C1的普通方程为y＝x2，x∈[－，]，直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，‎ 联立 解得或(舍去)．‎ 故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1,1)，其极坐标为. 4分 ‎(2)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，即 ‎(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a＞0). 8分 由直线l与C2相切，得＝a，故a＝1. 10分 ‎6．(2017·福州质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝.‎ ‎(1)求C的普通方程和l的倾斜角；‎ ‎(2)设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.‎ ‎ 【导学号：79170375】‎ ‎[解]　(1)由消去参数α，得＋y2＝1，‎ 即C的普通方程为＋y2＝1. 2分 由ρsin＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)‎ 将代入(*)，化简得y＝x＋2，‎ 所以直线l的倾斜角为. 4分 ‎(2)由(1)知，点P(0,2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)，‎ 代入＋y2＝1并化简，得5t2＋18t＋27＝0，‎ Δ＝(18)2－4×5×27＝108＞0， 8分 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－＜0，t1t2＝＞0，‎ 所以t1＜0，t2＜0，‎ 所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝. 10分