高科数学专题复习课件：7_1　不等关系与不等式 67页

§7.1 　不等关系与不等式 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 两个实数比较大小的方法 知识梳理 ＝ > < ＝ > < 2. 不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a > b ⇔_______ ⇔ 传递性 a > b ， b > c ⇒ ____ ⇒ 可加性 a > b ⇔______________ ⇔ 可乘性 ⇒ 注意 c 的符号 ⇒ b < a a > c a ＋ c > b ＋ c ac > bc ac < bc 同向可加性 ⇒ ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ ⇒ 可乘方性 a > b >0 ⇒ ( n ∈ N ， n ≥ 1) a ， b 同为正数 可开方性 a > b >0 ⇒ ( n ∈ N ， n ≥ 2) a ＋ c > b ＋ d ac > bd a n > b n (1) 倒数的性质 3. 不等式的一些常用性质 < < > < < (2) 有关分数的性质 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 两个实数 a ， b 之间，有且只有 a > b ， a ＝ b ， a < b 三种关系中的一种 . ( 　　 ) 思考辨析 × √ (3) 一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变 . ( 　　 ) × (4) 一个非零实数越大，则其倒数就越小 . ( 　　 ) × √ √ 1. 设 a < b <0 ，则下列不等式中不成立的 是 考点自测 答案 解析 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 解析 3. 若 a ， b ∈ R ，且 a ＋ | b |<0 ，则下列不等式中正确的 是 A. a － b >0 B. a 3 ＋ b 3 >0 C. a 2 － b 2 <0 D. a ＋ b <0 答案 解析 由 a ＋ | b |<0 知， a <0 ，且 | a |>| b | ， 当 b ≥ 0 时， a ＋ b <0 成立， 当 b <0 时， a ＋ b <0 成立， ∴ a ＋ b <0. 故选 D. 4. 如果 a ∈ R ，且 a 2 ＋ a <0 ，则 a ， a 2 ，－ a ，－ a 2 的大小关系 是 __________ _ ___. 答案 解析 a < － a 2 < a 2 < － a 由 a 2 ＋ a <0 得 a < － a 2 ， ∴ a <0 且 a > － 1 ， ∴ － a 2 < a 2 < － a . 5.( 教材改编 ) 若 0< a < b ，且 a ＋ b ＝ 1 ，则将 a ， b ， ， 2 ab ， a 2 ＋ b 2 从小 到 大 排列为 ________________. 答案 解析 ∵ 0< a < b 且 a ＋ b ＝ 1 ， ∴ a <2 b · a ＝ 2 a (1 － a ) ＝－ 2 a 2 ＋ 2 a a 2 ＋ b 2 － b ＝ (1 － b ) 2 ＋ b 2 － b ＝ (2 b － 1)( b － 1) ， 又 2 b － 1>0 ， b － 1<0 ， ∴ a 2 ＋ b 2 － b <0 ， ∴ a 2 ＋ b 2 < b ， 题型分类　深度剖析 题型一　比较两个数 ( 式 ) 的大小 例 1 　 (1) 已知 a 1 ， a 2 ∈ (0,1) ，记 M ＝ a 1 a 2 ， N ＝ a 1 ＋ a 2 － 1 ，则 M 与 N 的大小关系 是 A. M < N B. M > N C. M ＝ N D . 不确定 答案 解析 M － N ＝ a 1 a 2 － ( a 1 ＋ a 2 － 1) ＝ a 1 a 2 － a 1 － a 2 ＋ 1 ＝ a 1 ( a 2 － 1) － ( a 2 － 1) ＝ ( a 1 － 1)( a 2 － 1) ， 又 ∵ a 1 ∈ (0,1) ， a 2 ∈ (0,1) ， ∴ a 1 － 1<0 ， a 2 － 1<0. ∴ ( a 1 － 1)( a 2 － 1)>0 ，即 M － N >0. ∴ M > N . A. a < b < c B. c < b < a C. c < a < b D. b < a < c 答案 解析 所以 a > b ； 易知当 x >e 时，函数 f ( x ) 单调递减 . 因为 e<3<4<5 ，所以 f (3)> f (4)> f (5) ， 即 c < b < a . 思维 升华 比较大小的常用方法 (1) 作差法： 一般步骤： ① 作差； ② 变形； ③ 定号； ④ 结论 . 其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式 . 当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差 . (2) 作商法： 一般步骤： ① 作商； ② 变形； ③ 判断商与 1 的大小； ④ 结论 . (3) 函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系 . A. A ≤ B B. A ≥ B C. A < B D. A > B 答案 解析 ∵ A ≥ 0 ， B ≥ 0 ， ∴ A ≥ B . (2) 若 a ＝ 18 16 ， b ＝ 16 18 ，则 a 与 b 的大小关系为 ________. 答案 解析 a < b ∵ 18 16 >0,16 18 >0 ， ∴ 18 16 <16 18 . 即 a < b . 题型二　不等式的性质 例 2 　 (1) 已知 a ， b ， c 满足 c < b < a ，且 ac <0 ，那么下列选项中一定成立的 是 A. ab > ac B. c ( b － a )<0 C. cb 2 < ab 2 D. ac ( a － c )>0 答案 解析 由 c < b < a 且 ac <0 知 c <0 且 a >0. 由 b > c 得 ab > ac 一定成立 . (2) 若 <0 ，则下列不等式： ① a ＋ b < ab ； ② | a |>| b | ； ③ a < b ； ④ ab < b 2 中，正确的不等式 有 A . ①② B . ②③ C . ①④ D. ③④ 答案 解析 因为 < 0 ，所以 b < a <0 ， a ＋ b <0 ， ab >0 ， 所以 a ＋ b < ab ， | a |<| b | ，在 b < a 两边同时乘以 b ， 因为 b <0 ，所以 ab < b 2 . 因此正确的是 ①④ . 思维 升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案 . 利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件 . 答案 解析 方法一 　 ∵ a >0> b ， c < d <0 ， ∴ ad <0 ， bc >0 ， ∴ ad < bc ，故 ① 错误 . ∵ a >0> b > － a ， ∴ a > － b >0 ， ∵ c < d <0 ， ∴ － c > － d >0 ， ∴ a ( － c )>( － b )( － d ) ， 故 ② 正确 . ∵ c < d ， ∴ － c > － d ， ∵ a > b ， ∴ a ＋ ( － c )> b ＋ ( － d ) ， ∴ a － c > b － d ，故 ③ 正确 . ∵ a > b ， d － c >0 ， ∴ a ( d － c )> b ( d － c ) ， 故 ④ 正确，故选 C . 方法二 　取特殊值 . 题型三　不等式性质的应用 命题点 1 　应用性质判断不等式是否成立 例 3 　已知 a > b >0 ，给出下列四个不等式： ① a 2 > b 2 ； ② 2 a >2 b － 1 ； ③ ； ④ a 3 ＋ b 3 >2 a 2 b . 其中一定成立的不等式 为 A. ①②③ B . ①②④ C. ①③④ D . ②③④ 答案 解析 方法一　 由 a > b >0 可得 a 2 > b 2 ， ① 成立； 由 a > b >0 可得 a > b － 1 ，而函数 f ( x ) ＝ 2 x 在 R 上是增函数， ∴ f ( a )> f ( b － 1) ，即 2 a >2 b － 1 ， ② 成立； 若 a ＝ 3 ， b ＝ 2 ，则 a 3 ＋ b 3 ＝ 35,2 a 2 b ＝ 36 ， a 3 ＋ b 3 <2 a 2 b ， ④ 不成立 . 故选 A. 例 4 　已知－ 1< x <4,2< y <3 ，则 x － y 的取值范围是 ________ ， 3 x ＋ 2 y 的取值范围是 _________. 答案 解析 命题点 2 　求代数式的取值范围 ( 1,18) ∵ － 1< x <4,2< y <3 ， ∴ － 3< － y < － 2 ， ∴ － 4< x － y <2. 由－ 1< x <4,2< y <3 ，得－ 3<3 x <12,4<2 y <6 ， ∴ 1<3 x ＋ 2 y <18. ( － 4,2 ) 引申 探究 1. 若 将例 4 条件 改为－ 1< x < y <3 ，求 x － y 的取值范围 . 解答 ∵ － 1< x <3 ，－ 1< y <3 ， ∴ － 3< － y <1 ， ∴ － 4< x － y <4. 又 ∵ x < y ， ∴ x － y <0 ， ∴ － 4< x － y <0 ， 故 x － y 的取值范围为 ( － 4,0). 2. 若 将 例 4 条件 改为－ 1< x ＋ y <4,2< x － y <3 ，求 3 x ＋ 2 y 的取值范围 . 解答 设 3 x ＋ 2 y ＝ m ( x ＋ y ) ＋ n ( x － y ) ， 又 ∵ － 1< x ＋ y <4,2< x － y <3 ， 思维 升华 (1) 判断 不等式是否成立的方法 ① 判断 不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明 . 常用的推理判断需要利用不等式的性质 . ② 在 判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等 . (2 ) 求 代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围 . 解决此类问题，一般是利用整体思想，通过 “ 一次性 ” 不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径 . 跟踪训练 3 　 (1) 若 a < b <0 ，则下列不等式一定成立的 是 答案 解析 ( 特值法 ) 取 a ＝－ 2 ， b ＝－ 1 ，逐个检验，可知 A ， B ， D 项均不正确； (2) 设 a > b >1 ， c <0 ，给出下列三个结论： ① ； ② a c < b c ； ③ log b ( a － c )>log a ( b － c ). 其中所有正确结论的序号 是 A . ① B . ①② C. ②③ D . ①②③ 答案 解析 构造函数 y ＝ x c ， ∵ c <0 ， ∴ y ＝ x c 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是减函数， 又 a > b >1 ， ∴ a c < b c ， ② 正确； ∵ a > b >1 ， c <0 ， ∴ a － c > b － c >1 ， ∴ log b ( a － c )>log a ( a － c )>log a ( b － c ) ， ③ 正确 . 典例 　设 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ，若 1 ≤ f ( － 1) ≤ 2,2 ≤ f (1) ≤ 4 ，则 f ( － 2) 的取值范围是 ________. 利用 不等式变形求范围 现场纠错系列 7 在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大 . 错 解 展示 现场纠错 纠错心得 ① ＋ ② 得 3 ≤ 2 a ≤ 6 ， ∴ 6 ≤ 4 a ≤ 12 ， 又由 ① 可得－ 2 ≤ － a ＋ b ≤ － 1 ， ③ ② ＋ ③ 得 0 ≤ 2 b ≤ 3 ， ∴ － 3 ≤ － 2 b ≤ 0 ， 又 f ( － 2) ＝ 4 a － 2 b ， ∴ 3 ≤ 4 a － 2 b ≤ 12 ， ∴ f ( － 2) 的取值范围是 [3,12]. 答案 　 [3,12] 返回 ∴ f ( － 2) ＝ 4 a － 2 b ＝ 3 f ( － 1) ＋ f (1). 又 ∵ 1 ≤ f ( － 1) ≤ 2,2 ≤ f (1) ≤ 4 ， ∴ 5 ≤ 3 f ( － 1) ＋ f (1) ≤ 10 ，故 5 ≤ f ( － 2) ≤ 10 . 确定的平面区域如图阴影部分所示， 当 f ( － 2) ＝ 4 a － 2 b 过点 B (3,1) 时， 取得最大值 4 × 3 － 2 × 1 ＝ 10 ， ∴ 5 ≤ f ( － 2) ≤ 10. 答案 　 [5,10] 返回 课时作业 1. 已知 a > b ， c > d ，且 c ， d 不为 0 ，那么下列不等式成立的 是 A. ad > bc B. ac > bd C. a － c > b － d D. a ＋ c > b ＋ d √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 由不等式的同向可加性得 a ＋ c > b ＋ d . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(2016· 包头模拟 ) 若 6< a <10 ， ≤ b ≤ 2 a ， c ＝ a ＋ b ，那么 c 的取值范围 是 A.9 ≤ c ≤ 18 B.15< c <30 C.9 ≤ c ≤ 30 D.9< c <30 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 已知 x > y > z ， x ＋ y ＋ z ＝ 0 ，则下列不等式成立的 是 A. xy > yz B. xz > yz C. xy > xz D. x | y |> z | y | √ 答案 解析 ∵ x > y > z 且 x ＋ y ＋ z ＝ 0 ， ∴ x >0 ， z <0 ， 又 y > z ， ∴ xy > xz . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 设 a ， b ∈ R ，则 “ ( a － b )· a 2 <0 ” 是 “ a < b ” 的 A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 √ 答案 解析 由 ( a － b )· a 2 <0 ⇒ a ≠ 0 且 a < b ， ∴ 充分性成立； 由 a < b ⇒ a － b <0 ，当 0 ＝ a < b 时 ( a － b )· a 2 <0 ，必要性不成立 . ⇏ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 已知 a ， b ， c ∈ R ，那么下列命题中正确的 是 √ 答案 解析 当 c ＝ 0 时，可知 A 不正确； 当 c <0 时，可知 B 不正确； 对于 C ，由 a 3 > b 3 且 ab <0 ，知 a >0 且 b <0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当 a <0 且 b <0 时，可知 D 不正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 若 a > b >0 ，则下列不等式中一定成立的 是 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 若 a > b >0 ，则下列不等式一定不成立的 是 √ 答案 解析 ∵ ( a － 1) 2 ＋ ( b － 1) 2 >0( 由 a > b >0 ， a ， b 不能同时为 1) ， ∴ a 2 ＋ b 2 － 2 a － 2 b ＋ 2>0 ， ∴ a 2 ＋ b 2 >2 a ＋ 2 b － 2 ， ∴ C 项一定不成立 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 若不等式 ( － 2) n a － 3 n － 1 － ( － 2) n <0 对任意正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围 是 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 已知 a ， b ， c ， d 均为实数，有下列命题 答案 解析 ①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵ ab >0 ， bc － ad >0 ， ∴ bc － ad >0 ， ∴② 正确； ∴ ab >0 ， ∴③ 正确 . 故 ①②③ 都正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 a ＝ b > c ∴ a ＝ b ， ∴ a > c ，故 a ＝ b > c . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 z > y > x 方法一 　 y 2 － x 2 ＝ 2 c ( a － b )>0 ， ∴ y > x . 同理， z > y ， ∴ z > y > x . 方法二　 令 a ＝ 3 ， b ＝ 2 ， c ＝ 1 ，则 x ＝ ， y ＝ ， z ＝ ， 故 z > y > x . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往 . 甲车队说： “ 如果领队买一张全票，其余人可享受 7.5 折优惠 . ” 乙车队说： “ 你们属团体票，按原价的 8 折优惠 . ” 这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠 . 解答 设该单位职工有 n 人 ( n ∈ N * ) ，全票价为 x 元 / 人，坐甲车需花 y 1 元，坐乙车需花 y 2 元， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当 n ＝ 5 时， y 1 ＝ y 2 ； 当 n >5 时， y 1 < y 2 ； 当 n <5 时， y 1 > y 2 . 因此当单位去的人数为 5 人时，两车队收费同等优惠； 当单位去的人数多于 5 人时，甲车队收费更优惠； 当单位去的人数少于 5 人时，乙车队收费更优惠 .