高中数学必修1示范教案（2_1 几类不同增长的函数模型 第2课时） 7页

第2课时 几类不同增长的函数模型 导入新课 思路1情景导入 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么.发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.‎ 思路2直接导入 我们知道，对数函数y=logax(a>1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0，+∞)上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.‎ 推进新课 新知探究 提出问题 ‎①在区间(0，+∞)上判断y=log2x,y=2x,y=x2的单调性.‎ ‎②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.‎ ‎③结合函数的图象找出其交点坐标.‎ ‎④请在图象上分别标出使不等式log2x<2x1)和幂函数y=xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.‎ 同样地，对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，在区间(0，+∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0，+∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就会有logax0)增长快于对数函数y=logax(a>1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”.‎ 应用示例 思路1‎ 例1某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30‎ 元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？‎ 活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：‎ 设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.而每月所获利润=卖报收入的总价－付给报社的总价.卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20·0.30x；②可卖出250份的10天里，收入为10·0.30·250；③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10·0.05·(x-250).付给报社的总价为30·0.20x.‎ 解：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.于是每月所获利润y为 y=20·0.30x+10·0.30·250+10·0.05·(x-250)-30·0.20x=0.5x+625，x∈［250，400］.‎ 因函数y在［250，400］上为增函数，故当x=400时，y有最大值825元.‎ 例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线.‎ ‎(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；‎ ‎(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？‎ 图3-2-1-15‎ 解：(1)依题意,得y=‎ ‎(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则t1+=4,t1=4.因而第二次服药应在11:00；‎ 设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有t2+(t2-4)+=4,解得t2=9小时，故第三次服药应在16:00；‎ 设第四次服药在第一次后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，(t2-4)+(t2-9)+=4,解得t3=13.5小时，故第四次服药应在20:30.‎ 变式训练 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力〔f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强〕，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式：‎ f(x)=‎ ‎(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？‎ ‎(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？‎ 解：(1)当087.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.‎ 点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力.‎ 拓展提升 探究内容 ‎①在函数应用中如何利用图象求解析式.‎ ‎②分段函数解析式的求法.‎ ‎③函数应用中的最大值、最小值问题.‎ 举例探究：(2007山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图3-2-1-18(1)、图3-2-1-18(2)、图3-2-1-18(3)所示.其中图3-2-1-18(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图3-2-1-18(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图3-2-1-18(3)的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系.‎ 图3-2-1-18‎ ‎(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A上市时间t 的关系式；‎ ‎(2)第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元?‎ 分析：1.利用图象求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式.‎ ‎2.在t∈［0,40］上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段.‎ ‎3.回忆函数最值的求法.‎ 解：(1)f(t)=g(t)=t2+6t(0≤t≤40).‎ ‎(2)每件A产品销售利润h(t)=.‎ 该公司的日销售利润F(t)=,‎ 当0≤t≤20时，F(t)=3t(t2+8t),先判断其单调性.‎ 设0≤t1＜t2≤20,则F(t1)-F(t2)=3t1(t12+8t1)-3t2(t22+8t2)=(t1+t2)(t1-t2)2.‎ ‎∴F(t)在［0,20］上为增函数.∴F(t)max=F(20)=6 000<6 300.‎ 当206 300，则