高中数学必修1教案第一章 1_1_1 第2课时集合的表示 8页

第2课时　集合的表示 ‎[学习目标]　1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．质数又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数(不包括0)整除的数．‎ ‎2．函数y＝x2－2x－1的图象与x轴有2个交点，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有1个交点，函数y＝x2－x＋1的图象与x轴没有交点．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．列举法表示集合 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．‎ ‎2．描述法表示集合 ‎(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．‎ ‎(2)写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．‎ 解决学生疑难点　　‎ 要点一　用列举法表示集合 例1　用列举法表示下列集合：‎ ‎(1)小于10的所有自然数组成的集合；‎ ‎(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；‎ ‎(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．‎ 解　(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．‎ ‎(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}．‎ ‎(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．‎ 规律方法　对于元素个数较少的集合，可采用列举法．应用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复．‎ 跟踪演练1　用列举法表示下列集合：‎ ‎(1)我国现有的所有直辖市；‎ ‎(2)绝对值小于3的整数集合；‎ ‎(3)一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象交点组成的集合．‎ 解　(1){北京，上海，天津，重庆}；‎ ‎(2){－2，－1,0,1,2}；‎ ‎(3)方程组　的解是 所求集合为.‎ 要点二　用描述法表示集合 例2　用描述法表示下列集合：‎ ‎(1)正偶数集；‎ ‎(2)被3除余2的正整数的集合；‎ ‎(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．‎ 解　(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．‎ ‎(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．‎ ‎(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．‎ 规律方法　用描述法表示集合时应注意：①“竖线”前面的x∈R可简记为x；②“竖线”不可省略；③p(x)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；④同一个集合，描述法表示可以不唯一．‎ 跟踪演练2　用描述法表示下列集合：‎ ‎(1)所有被5整除的数；‎ ‎(2)方程6x2－5x＋1＝0的实数解集；‎ ‎(3)集合{－2，－1,0,1,2}．‎ 解　(1){x|x＝5n，n∈Z}．‎ ‎(2){x|6x2－5x＋1＝0}．‎ ‎(3){x∈Z||x|≤2}．‎ 要点三　列举法与描述法的综合运用 例3　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.‎ 解　(1)当k＝0时，原方程为16－8x＝0.‎ ‎∴x＝2，此时A＝{2}．‎ ‎(2)当k≠0时，由集合A中只有一个元素，‎ ‎∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，‎ 则Δ＝64－64k＝0，即k＝1.‎ 从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．‎ 综上所述，实数k的值为0或1.‎ 当k＝0时，A＝{2}；‎ 当k＝1时，A＝{4}．‎ 规律方法　1.(1)本题在求解过程中，常因忽略讨论k是否为0而漏解．(2)因kx2－8x＋16＝0是否为一元二次方程而分k＝0和k≠0而展开讨论，从而做到不重不漏．‎ ‎2．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点．‎ 跟踪演练3　把例3中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k取值范围的集合．‎ 解　由题意可知方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根．‎ ‎∴解得k＜1，且k≠0.‎ 所以k取值范围的集合为{k|k＜1，且k≠0}．‎ ‎1．集合{x∈N*|x－3＜2}用列举法可表示为(　　)‎ A．{0,1,2,3,4} B．{1, 2,3,4}‎ C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}‎ 答案　B 解析　{x∈N*|x－3＜2}＝{x∈N*|x＜5}＝{1,2,3,4}．‎ ‎2．已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则有(　　)‎ A．－1∈A B．0∈A C.∈A D．2∈A 答案　B 解析　∵0∈N且－≤0≤，∴0∈A.‎ ‎3．用描述法表示方程x＜－x－3的解集为________．‎ 答案　{x|x＜－}‎ 解析　∵x＜－x－3，‎ ‎∴x＜－.‎ ‎∴解集为{x|x＜－}．‎ ‎4．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集用列举法可表示为________．‎ 答案　{1}‎ 解析　由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1.‎ 又x∈N，∴x＝1.‎ ‎5．用适当的方法表示下列集合．‎ ‎(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；‎ ‎(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；‎ ‎(3)不等式x－2＞6的解的集合；‎ ‎(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．‎ 解　(1)∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，‎ ‎∴解集为{0，－1}；‎ ‎(2){x|x＝2n＋1，且x＜1 000，n∈N}；‎ ‎(3){x|x＞8}；‎ ‎(4){1,2,3,4,5,6}．‎ ‎1.表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．‎ ‎(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．‎ ‎2．在用描述法表示集合时应注意：‎ ‎(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．‎ ‎(2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．‎ 一、基础达标 ‎1．下列关系式中，正确的是(　　)‎ A．{2,3}≠{3,2}‎ B．{(a，b)}＝{(b，a)}‎ C．{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x＋1}‎ D．{y|y＝x2＋1}＝{x|y＝x＋1}‎ 答案　C 解析　A中{2,3}＝{3,2}，集合元素具有无序性；B中集合中的点不同，故集合不同；C中{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x＋1}＝R；D中{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}≠{x|y＝x＋1}＝R.故选C.‎ ‎2．方程组的解集是(　　)‎ A．{x＝1，y＝1} B．{1}‎ C．{(1,1)} D．(1,1)‎ 答案　C 解析　方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D不是集合的形式，排除D.‎ ‎3．集合M＝{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}是(　　)‎ A．第一象限内的点集 B．第三象限内的点集 C．第四象限内的点集 D．第二、四象限内的点集 答案　D 解析　因xy＜0，所以有x＞0，y＜0；或者x＜0，y＞0.因此集合M表示的点集在第四象限和第二象限．‎ ‎4．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是(　　)‎ A．2∈A，且2∈B B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B C．2∈A，且(3,10)∈B D．(3,10)∈A，且2∈B 答案　C 解析　集合A中元素y是实数，不是点，故选项B，D不对．集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2∈B不正确，所以A错．‎ ‎5．将集合{(x，y)|2x＋3y＝16，x，y∈N}用列举法表示为________．‎ 答案　{(2,4)，(5,2)，(8,0)}‎ 解析　∵3y＝16－2x＝2(8－x)，且x∈N，y∈N，∴y为偶数且y≤5，∴当x＝2时，y＝4，当x＝5时y＝2，当x＝8时，y＝0.‎ ‎6．有下面四个结论：‎ ‎①0与{0}表示同一个集合；‎ ‎②集合M＝{3,4}与N＝{(3,4)}表示同一个集合；‎ ‎③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；‎ ‎④集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示．‎ 其中正确的结论是________(填写序号)．‎ 答案　④‎ 解析　{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②集合M是实数3,4的集合，而集合N是实数对(3,4)的集合，不正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．‎ ‎7．下面三个集合：‎ A＝{x|y＝x2＋1}；‎ B＝{y|y＝x2＋1}；‎ C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．‎ 问：(1)它们是不是相同的集合？‎ ‎(2)它们各自的含义是什么？‎ 解　(1)在A、B、C三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．‎ ‎(2)集合A的代表元素是x，满足y＝x2＋1，‎ 故A＝{x|y＝x2＋1}＝R.‎ 集合B的代表元素是y，满足y＝x2＋1的y≥1，‎ 故B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．‎ 集合C的代表元素是(x，y)，满足条件y＝x2＋1，即表示满足y＝x2＋1的实数对(x，y)；也可认为满足条件y＝x2＋1的坐标平面上的点．‎ 因此，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}＝{(x，y)|点(x，y)是抛物线y＝x2＋1上的点}．‎ 二、能力提升 ‎8．已知x，y为非零实数，则集合M＝＋为(　　)‎ A．{0,3} B．{1,3}‎ C．{－1,3} D．{1，－3}‎ 答案　C 解析　当x＞0，y＞0时，m＝3，‎ 当x＜0，y＜0时，m＝－1－1＋1＝－1.‎ 若x，y异号，不妨设x＞0，y＜0，‎ 则m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.‎ 因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．‎ ‎9．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(　　)‎ A．3 B．6 C．8 D．10‎ 答案　D 解析　∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，‎ ‎∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.‎ ‎∴B＝{(2,1}，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，‎ ‎∴B中所含元素的个数为10.‎ ‎10．如图所示，图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合表示为________．‎ 答案　{(x，y)|－1≤x≤3，且0≤y≤3}‎ 解析　图中阴影部分点的横坐标－1≤x≤3，纵坐标为0≤y≤3，‎ 故用描述法可表示为 ‎11．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}，其中a∈R.若1是集合A中的一个元素，请用列举法表示集合A.‎ 解　∵1是集合A中的一个元素，‎ ‎∴1是关于x的方程ax2＋2x＋1＝0的一个根，‎ ‎∴a·12＋2·1＋1＝0，即a＝－3.‎ 方程即为－3x2＋2x＋1＝0，‎ 解这个方程，得x1＝1，x2＝－，‎ ‎∴集合A＝{－，1}．‎ 三、探究与创新 ‎12．设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求a2014＋b2014.‎ 解　方法一　∵A＝B，∴或 解方程组得或或a＝1，b为任意实数．‎ 由集合元素的互异性得a≠1，‎ ‎∴a＝－1，b＝0，故a2014＋b2014＝1.‎ 方法二　由A＝B，可得 即 因为集合中的元素互异，所以a≠0，a≠1.‎ 解方程组得，a＝－1，b＝0.故a2014＋b2014＝1.‎ ‎13．设集合B＝.‎ ‎(1)试判断元素1和2与集合B的关系．‎ ‎(2)用列举法表示集合B.‎ 解　(1)当x＝1时，＝2∈N；‎ 当x＝2时，＝∉N，‎ 所以1∈B,2∉B.‎ ‎(2)令x＝0,1,4代入∈N检验，可得B＝{0,1,4}．‎