2020高中数学 课时分层作业16 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）新人教A版 4页

课时分层作业(十六) 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）‎ ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．已知f(x)＝，则f′(x)＝(　　)‎ A．　　　　　　　　　 B．－1‎ C．1－ln x D． D　[f′(x)＝＝＝，所以选D.]‎ ‎2．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)‎ A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1‎ C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2‎ A　[∵y′＝＝，‎ ‎∴k＝y′|x＝－1＝＝2，‎ ‎∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，‎ 即y＝2x＋1.故选A.]‎ ‎3．设函数f(x)＝(sin x－cos x)的导函数为f′(x)，则下列结论正确的是(　　)‎ A．f′(x)＋f(x)＝－sin x B．f′(x)＋f(x)＝－cos x C．f′(x)－f(x)＝sin x D．f′(x)－f(x)＝cos x D　[易得f′(x)＝(cos x＋sin x)，所以f′(x)＋f(x)＝sin x，f′(x)－f(x)＝cos x，故选D.]‎ ‎4．点P是曲线y＝－x2上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为(　　)‎ A．1　　　B.　　　C.　 　　D. C　[设与直线y＝x＋2平行的直线与曲线y＝－x2相切于点P(x0，y0)，由y′＝－2x得y′|x＝x0＝－2x0，由题意知－2x0＝1，解得x0＝－，从而y0＝－.‎ 4‎ 即P，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为d＝＝，故选C.]‎ ‎5．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1,3)，则b的值为(　　) ‎ ‎【导学号：97792143】‎ A．3 B．－‎3 C．5 D．－5‎ A　[由题意知3＝k＋1，即k＝2，‎ 又y′＝3x2＋a，则y′|x＝1＝3＋a，‎ 由3＋a＝2得a＝－1，则y＝x3－x＋b.‎ 由点(1,3)在曲线上得3＝13－1＋b，得b＝3.]‎ 二、填空题 ‎6．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．‎ ‎3　[f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex.‎ 则f′(0)＝3e0＝3.]‎ ‎7．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝__________.‎ ‎2　[设ex＝t，则x＝ln t，故f(t)＝ln t＋t，‎ 从而f(x)＝ln x＋x，由f′(x)＝＋1‎ 得f′(1)＝2.]‎ ‎8．已知f(x)＝ex－x，则过原点且与曲线y＝f(x)相切的直线方程为__________．‎ y＝(e－1)x　[设切点坐标为(x0，ex0－x0)．由题意，可得切线斜率k＝f′(x0)＝ex0－1，所以切线方程为y＝(ex0－1)x－x0ex0＋ex0.又切线过原点，所以－x0ex0＋ex0＝0，则x0＝1，所以切线方程为y＝(e－1)x.]‎ 三、解答题 ‎9．求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝x2sin x；‎ ‎(2)y＝.‎ ‎[解]　(1)y′＝(x2sin x)′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.‎ ‎(2)y′＝ ‎＝＝.‎ ‎10．已知曲线y＝f(x)＝－1(a>0)在x＝1处的切线为l，求l 4‎ 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值. ‎ ‎【导学号：97792144】‎ ‎[解]　因为f(1)＝－1，所以切点为.‎ 由已知，得f′(x)＝，切线斜率k＝f′(1)＝，‎ 所以切线l的方程为y－＝(x－1)，‎ 即2x－ay－a－1＝0.‎ 令y＝0，得x＝；令x＝0，得y＝－.‎ 所以l与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝××＝＋≥×2＋＝1，当且仅当a＝，‎ 即a＝1时取等号，所以Smin＝1.‎ 故l与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为(　　)‎ A. B．－ C．－e D．e D　[y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则 ‎∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.故选D.]‎ ‎2．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．‎ ‎1　[∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，‎ ‎∴f′＝－f′×＋，‎ 得f′＝－1.‎ ‎∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x，∴f＝1.]‎ ‎3．若曲线f(x)＝acos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b的值为__________．‎ ‎1　[∵f′(x)＝－asin x，∴f′(0)＝0.又g′(x)＝2x＋b，‎ ‎∴g′(0)＝b，∴b＝0.又g(0)＝1＝m，∴f(0)＝a＝m＝1，∴a＋b＝1.]‎ 4‎ ‎4．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)证明曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.‎ ‎ 【导学号：97792145】‎ ‎[解]　(1)f′(x)＝a＋.‎ 又曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0，‎ ‎∴⇒⇒，‎ ‎∴f(x)的解析式为f(x)＝x－.‎ ‎(2)证明：设点为曲线y＝f(x)上任意一点，则切线的斜率k＝1＋，切线方程为y－＝(x－x0)，‎ 令x＝0，得y＝－.‎ 由，得.‎ ‎∴曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积S＝|2x0|＝6，为定值．‎ 4‎