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- 2021-06-21 发布
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第1课时 解三角形的实际应用举例
学习目标:1.能将实际问题转化为解三角形问题.(难点).2.能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题.(重点).
[自 主 预 习·探 新 知]
1.基线的概念与选择原则
(1)定义
在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线.
(2)性质
在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.
思考:在本章“解三角形”引言中,我们遇到这么一个问题,“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢?”在古代,天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离,是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢?
提示:利用正弦定理和余弦定理.
2.测量中的有关角的概念
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图121所示).
图121
(2)方向角
从指定方向线到目标方向线所成的水平角.如南偏西60°,即以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°. (如图122所示)
图122
思考:李尧出校向南前进了200米,再向东走了200米,回到自己家中,你认为李尧的家在学校的哪个方向?
提示:东南方向.
[基础自测]
- 8 -
1.思考辨析
(1)已知三角形的三个角,能够求其三条边.( )
(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得.( )
(3)东偏北45°的方向就是东北方向.( )
(4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
提示:已知三角形中至少知道一条边才能解三角形,故(1)错.两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形的方法求出,故(2)错.
2.如图123,为了测量隧道口AB的长度,给定下列四组数据,测量时应选用数据( )
【导学号:91432044】
图123
A.α,a,b B.α,β,a
C.a,b,γ D.α,β,b
C [选择a,b,γ可直接利用余弦定理AB=求解.]
3.小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物,测得其视角为α,同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β,则小强观测山顶的仰角为( )
A.α+β B.α-β
C.β-α D.α
C [如图所示,设小强观测山顶的仰角为γ,则β-γ=α,因此γ=β-α,故选C项.]
4.某人先向正东方向走了x km,然后他向右转150°,向新的方向走了3 km,结果他离出发点恰好为 km,那么x的值为( )
【导学号:91432045】
A. B.2
C.2或 D.3
C [如图,在△ABC中由余弦定理得3=9+x2-6xcos 30°,
即x2-3x+6=0,解之得x=2或.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
测量距离问题
海上A,B两个小岛相距10 海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C
- 8 -
岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离是( )
【导学号:91432046】
A.10 海里 B.海里
C.5海里 D.5海里
D [根据题意,可得右图.在△ABC中,A=60°,B=75°,AB=10,∴C=45°.由正弦定理可得=,即=,∴BC=5(海里).]
[规律方法] 三角形中与距离有关的问题的求解策略:
((1)解决与距离有关的问题,若所求的线段在一个三角形中,则直接利用正、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正、余弦定理求解.
((2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正、余弦定理来解决.
[跟踪训练]
1.如图124所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度为________ m.
图124
60 [由题意知,∠ACB=180°-30°-75°=75°,∴△ABC为等腰三角形.河宽即AB边上的高,这与AC边上的高相等,过B作BD⊥AC于D,∴河宽=BD=120·sin 30°=60(m).]
测量高度问题
(1)如图125,从山顶望地面上C,D两点,测得它们的俯角分别为45°和30°,已知CD=100米,点C位于BD上,则山高AB等于( )
图125
A.100米 B.50米
C.50米 D.50(+1)米
(2)在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°,塔基的俯角为45°,那么这座塔吊的高是( )
- 8 -
【导学号:91432047】
A.20 m B.20(1+)m
C.10(+)m D.20(+)m
思路探究:(1)解决本题关键是求AB时确定在哪一个三角形中求解,该三角形是否可解.
(2)解决本题关键是画出示意图.
(1)D (2)B [(1)设山高为h,则由题意知CB=h,DB=h,∴h-h=100,即h=50(+1).
(2)如图,由条件知四边形ABCD为正方形,∴AB=CD=20 m,BC=AD=20 m.
在△DCE中,∠EDC=60°,∠DCE=90°,CD=20 m,∴EC=CD·tan 60°=20 m,∴BE=BC+CE=(20+20)m.选B.]
[规律方法] 解决测量高度问题的一般步骤:
(1)画图:根据已知条件画出示意图.
(2)分析三角形:分析与问题有关的三角形.
(3)求解:运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解.在解题中,要综合运用立体几何知识与平面几何知识,注意方程思想的运用.
[跟踪训练]
2.某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位:m).如图126所示,竖直放置的标杆BC的高度h=4 m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.该小组已测得一组α,β的值,算出了tan α=1.24,tan β=1.20,请据此算出H的值.
图126
[解] 由AB=,BD=,
AD=及AB+BD=AD,
得+=,
解得H===124.
因此电视塔的高度H是124 m.
与立体几何有关的测量问题
- 8 -
[探究问题]
1.已知A,B是海平面上的两个点,相距800 m,在A点测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在B点测得∠ABD=45°,其中D是点C到水平面的垂足.试画出符合题意的示意图.
提示:用线段CD表示山,用△DAB表示海平面.结合题中相应的距离及角度,画出立体图形,如图所示.
2.在探究1中若要求山高CD怎样求解?
提示:由探究1知CD⊥平面ABD,首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的长,然后在Rt△ACD中求出CD.
如图127,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200米,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.
【导学号:91432048】
图127
思路探究:利用方程的思想,设AB=h.表示出BC=h,BD==h,然后在△BCD中利用余弦定理求解.
[解] 在Rt△ABC中,∠ACB=45°,若设AB=h,则BC=h.在Rt△ABD中,∠ADB=30°,则BD=h.
在△BCD中,由余弦定理可得
CD2=BC2+BD2-2·BC·BD·cos∠CBD,
即2002=h2+(h)2-2·h·h·,
所以h2=2002,解得h=200(h=-200舍去),
即塔高AB=200米.
母题探究:(变条件)若将例题中的条件“CD=200米,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°”改为“CD=800米,在D点测得塔顶A的仰角为45°,∠CDB=120°,又在C点测得∠DCB=45°.”求塔高AB.
[解] 在△BCD中,∠CBD=180°-120°-45°=15°,
- 8 -
CD=800 m,∠BCD=45°,
由正弦定理,=,
BD==
=800(+1)m,
又∠ADB=45°,AB=BD.
∴AB=800(+1)m.
即山的高度为800(+1) m.
[规律方法] 测量高度问题的两个关注点
(1)“空间”向“平面”的转化:测量高度问题往往是空间中的问题,因此先要选好所求线段所在的平面,将空间问题转化为平面问题.
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合,全面分析所有三角形,仔细规划解题思路.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆,甲观测的仰角为50°,乙观测的仰角为40°,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有( )
【导学号:91432049】
A.d1>d2 B.d120 m D.d2<20 m
B [如图,设旗杆高为h,
则d1=,d2=.
因为tan 50°>tan 40°,所以d1
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