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  • 2021-06-21 发布

2020高中数学 第一章解三角形的实际应用举例

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第1课时 解三角形的实际应用举例 学习目标:1.能将实际问题转化为解三角形问题.(难点).2.能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题.(重点).‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1.基线的概念与选择原则 ‎ ‎(1)定义 在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线.‎ ‎(2)性质 在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.‎ 思考:在本章“解三角形”引言中,我们遇到这么一个问题,“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢?”在古代,天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离,是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢?‎ 提示:利用正弦定理和余弦定理.‎ ‎2.测量中的有关角的概念 ‎(1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图121所示).‎ 图121‎ ‎(2)方向角 从指定方向线到目标方向线所成的水平角.如南偏西60°,即以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°. (如图122所示)‎ 图122‎ 思考:李尧出校向南前进了‎200米,再向东走了‎200米,回到自己家中,你认为李尧的家在学校的哪个方向?‎ 提示:东南方向.‎ ‎[基础自测]‎ - 8 -‎ ‎1.思考辨析 ‎(1)已知三角形的三个角,能够求其三条边.(  )‎ ‎(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得.(  )‎ ‎(3)东偏北45°的方向就是东北方向.(  )‎ ‎(4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ ‎ 提示:已知三角形中至少知道一条边才能解三角形,故(1)错.两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形的方法求出,故(2)错.‎ ‎2.如图123,为了测量隧道口AB的长度,给定下列四组数据,测量时应选用数据(  ) ‎ ‎【导学号:91432044】‎ 图123‎ A.α,a,b       B.α,β,a C.a,b,γ D.α,β,b C [选择a,b,γ可直接利用余弦定理AB=求解.]‎ ‎3.小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物,测得其视角为α,同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β,则小强观测山顶的仰角为(  )‎ A.α+β B.α-β ‎ C.β-α D.α C [如图所示,设小强观测山顶的仰角为γ,则β-γ=α,因此γ=β-α,故选C项.]‎ ‎4.某人先向正东方向走了x km,然后他向右转150°,向新的方向走了‎3 km,结果他离出发点恰好为 km,那么x的值为(  ) ‎ ‎【导学号:91432045】‎ A. B.2 C.2或 D.3‎ C [如图,在△ABC中由余弦定理得3=9+x2-6xcos 30°,‎ 即x2-3x+6=0,解之得x=2或.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 测量距离问题 ‎ 海上A,B两个小岛相距10 海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C - 8 -‎ 岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离是(  ) ‎ ‎【导学号:91432046】‎ A.10 海里      B.海里 C.5海里 D.5海里 D [根据题意,可得右图.在△ABC中,A=60°,B=75°,AB=10,∴C=45°.由正弦定理可得=,即=,∴BC=5(海里).]‎ ‎[规律方法] 三角形中与距离有关的问题的求解策略:‎ ((1)解决与距离有关的问题,若所求的线段在一个三角形中,则直接利用正、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正、余弦定理求解.‎ ((2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正、余弦定理来解决.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.如图124所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=‎120 m,则河的宽度为________ m.‎ 图124 ‎ ‎60 [由题意知,∠ACB=180°-30°-75°=75°,∴△ABC为等腰三角形.河宽即AB边上的高,这与AC边上的高相等,过B作BD⊥AC于D,∴河宽=BD=120·sin 30°=60(m).]‎ 测量高度问题 ‎ (1)如图125,从山顶望地面上C,D两点,测得它们的俯角分别为45°和30°,已知CD=‎100米,点C位于BD上,则山高AB等于(  )‎ 图125‎ A.‎100米     B.‎50‎米 C.‎50‎米 D.50(+1)米 ‎(2)在一幢‎20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°,塔基的俯角为45°,那么这座塔吊的高是(  ) ‎ - 8 -‎ ‎【导学号:91432047】‎ A.‎20 m B.20(1+)m C.10(+)m D.20(+)m 思路探究:(1)解决本题关键是求AB时确定在哪一个三角形中求解,该三角形是否可解.‎ ‎(2)解决本题关键是画出示意图.‎ ‎(1)D (2)B [(1)设山高为h,则由题意知CB=h,DB=h,∴h-h=100,即h=50(+1).‎ ‎(2)如图,由条件知四边形ABCD为正方形,∴AB=CD=‎20 m,BC=AD=‎20 m.‎ 在△DCE中,∠EDC=60°,∠DCE=90°,CD=‎20 m,∴EC=CD·tan 60°=‎20 m,∴BE=BC+CE=(20+20)m.选B.]‎ ‎[规律方法] 解决测量高度问题的一般步骤:‎ ‎(1)画图:根据已知条件画出示意图.‎ ‎(2)分析三角形:分析与问题有关的三角形.‎ ‎(3)求解:运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解.在解题中,要综合运用立体几何知识与平面几何知识,注意方程思想的运用. ‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2.某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位:m).如图126所示,竖直放置的标杆BC的高度h=‎4 m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.该小组已测得一组α,β的值,算出了tan α=1.24,tan β=1.20,请据此算出H的值.‎ 图126‎ ‎[解] 由AB=,BD=,‎ AD=及AB+BD=AD,‎ 得+=,‎ 解得H===124.‎ 因此电视塔的高度H是‎124 m.‎ 与立体几何有关的测量问题 - 8 -‎ ‎[探究问题]‎ ‎1.已知A,B是海平面上的两个点,相距‎800 m,在A点测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在B点测得∠ABD=45°,其中D是点C到水平面的垂足.试画出符合题意的示意图.‎ 提示:用线段CD表示山,用△DAB表示海平面.结合题中相应的距离及角度,画出立体图形,如图所示.‎ ‎2.在探究1中若要求山高CD怎样求解?‎ 提示:由探究1知CD⊥平面ABD,首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的长,然后在Rt△ACD中求出CD.‎ 如图127,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=‎200米,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB. ‎ ‎【导学号:91432048】‎ 图127‎ 思路探究:利用方程的思想,设AB=h.表示出BC=h,BD==h,然后在△BCD中利用余弦定理求解.‎ ‎[解] 在Rt△ABC中,∠ACB=45°,若设AB=h,则BC=h.在Rt△ABD中,∠ADB=30°,则BD=h.‎ 在△BCD中,由余弦定理可得 CD2=BC2+BD2-2·BC·BD·cos∠CBD,‎ 即2002=h2+(h)2-2·h·h·,‎ 所以h2=2002,解得h=200(h=-200舍去),‎ 即塔高AB=‎200米.‎ 母题探究:(变条件)若将例题中的条件“CD=‎200米,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°”改为“CD=‎800米,在D点测得塔顶A的仰角为45°,∠CDB=120°,又在C点测得∠DCB=45°.”求塔高AB.‎ ‎[解] 在△BCD中,∠CBD=180°-120°-45°=15°,‎ - 8 -‎ CD=‎800 m,∠BCD=45°,‎ 由正弦定理,=,‎ BD== ‎=800(+1)m,‎ 又∠ADB=45°,AB=BD.‎ ‎∴AB=800(+1)m.‎ 即山的高度为800(+1) m.‎ ‎[规律方法] 测量高度问题的两个关注点 ‎(1)“空间”向“平面”的转化:测量高度问题往往是空间中的问题,因此先要选好所求线段所在的平面,将空间问题转化为平面问题.‎ ‎(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合,全面分析所有三角形,仔细规划解题思路.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测‎20 m高的旗杆,甲观测的仰角为50°,乙观测的仰角为40°,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有(  ) ‎ ‎【导学号:91432049】‎ A.d1>d2        B.d1‎20 m D.d2<‎‎20 m B [如图,设旗杆高为h,‎ 则d1=,d2=.‎ 因为tan 50°>tan 40°,所以d1