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- 2021-06-21 发布
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2.1.2 离散型随机变量的分布列(二)
学习目标 1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.2.理解两点分布和超几何分布.
知识点一 两点分布
随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1-p
p
若随机变量X的分布列具有上表的形式,则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率.
知识点二 超几何分布
思考 在含有5名男生的100名学生中,任选3人,求恰有2名男生的概率表达式.
答案 .
梳理 一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,称分布列
X
0
1
…
m
13
P
…
为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.
类型一 两点分布
例1 (1)某运动员射击命中10环的概率为0.9,求他在一次射击中命中10环的次数的分布列;
(2)若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
9c2-c
3-8c
求出c,并说明X是否服从两点分布,若是,则成功概率是多少?
考点 离散型随机变量的分布列
题点 两点分布
解 (1)设该运动员射击一次命中10环的次数为X,
则P(X=1)=0.9,P(X=0)=1-0.9=0.1.
X
0
1
P
0.1
0.9
(2)由(9c2-c)+(3-8c)=1,解得c=或c=,
又9c2-c≥0,3-8c≥0,所以≤c≤,所以c=.
X的取值为0,1,故X服从两点分布,成功概率为3-8c=.
反思与感悟 两步法判断一个分布是否为两点分布
(1)看取值:随机变量只取两个值:0和1.
(2)验概率:检验P(X=0)+P(X=1)=1是否成立.如果一个分布满足以上两点,则该分布是两点分布,否则不是两点分布.
跟踪训练1 已知一批100件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽取2件进行检查,若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数,求X的分布列.
13
考点 离散型随机变量的分布列
题点 两点分布
解 由题意知,X服从两点分布,P(X=0)==,P(X=1)=1-=.所以随机变量X的分布列为
X
0
1
P
类型二 超几何分布
例2 一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球.
(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;
(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.
考点 超几何分布
题点 求超几何分布的分布列
解 (1)从袋中一次随机抽取3个球,基本事件总数n=C=20,取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为CCC=6,所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P==.
(2)由题意知X=0,1,2,3.
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
引申探究
1.在本例条件下,若记取到白球的个数为随机变量η,求随机变量η的分布列.
解 由题意可知η=0,1,服从两点分布.又P(η=1)==,所以η的分布列为
η
0
1
13
P
2.将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球,每次抽取1个球”,其他条件不变,结果又如何?
解 (1)取出3个球颜色都不相同的概率
P==.
(2)由题意知X=0,1,2,3.
P(X=0)==,
P(X=1)==.
P(X=2)==,
P(X=3)==.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
反思与感悟 超几何分布的求解步骤
(1)辨模型:结合实际情景分析所求概率分布问题是否由具有明显的两部分组成,如“男生、女生”,“正品、次品”“优劣”等,或可转化为明显的两部分.具有该特征的概率模型为超几何分布模型.
(2)算概率:可以直接借助公式P(X=k)=求解,也可以利用排列、组合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数M,N,n,k的含义.
(3)列分布表:把求得的概率值通过表格表示出来.
跟踪训练2 某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;
13
(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列.
考点 超几何分布
题点 求超几何分布的分布列
解 (1)由题意知,参加集训的男生、女生各有6人.
代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为=,因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-=.
(2)根据题意,X的所有可能取值为1,2,3.
P(X=1)==,P(X=2)==,
P(X=3)==.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
1.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ去表示1次试验的成功次数,则P(ξ=0)等于( )
A.0 B. C. D.
考点 离散型随机变量的分布列
题点 两点分布
答案 C
解析 由题意知该分布为两点分布,
又P(ξ=1)=2P(ξ=0)且P(ξ=1)+P(ξ=0)=1,
∴P(ξ=0)=.
2.已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数,则下列概率中等于的是( )
A.P(X=2) B.P(X≤2)
C.P(X=4) D.P(X≤4)
13
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案 C
解析 X服从超几何分布,基本事件总数为C,所求事件数为CC,∴P(X=4)=.
3.若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2.令Y=3X-2,则P(Y=-2)等于( )
A.0.8 B.0.2 C.0.4 D.0.1
考点 离散型随机变量的分布列
题点 两点分布
答案 A
解析 因为Y=3X-2,所以X=(Y+2).当Y=-2时,X=0,所以P(Y=-2)=P(X=0)=0.8.
4.从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛,则所选3人中,女生的人数不超过1人的概率为________.
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案
解析 设所选女生数为随机变量X,则X服从超几何分布,所以P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=+=.
5.交5元钱,可以参加一次摸奖,一袋中有同样大小的球10个,其中8个标有1元钱,2个标有5元钱,摸奖者只能从中任取2个球,他所得奖励是所抽2球的钱数之和,求抽奖人所得钱数的分布列.
考点 超几何分布
题点 求超几何分布的分布列
解 设抽奖人所得钱数为随机变量ξ,则ξ=2,6,10.
P(ξ=2)==,
P(ξ=6)==,
P(ξ=10)==.
13
故ξ的分布列为
ξ
2
6
10
P
1.两点分布:两点分布是很简单的一种概率分布,两点分布的试验结果只有两种可能,要注意成功概率的值指的是哪一个量.
2.超几何分布:超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数,只要知道N,M和n就可以根据公式:
P(X=k)=求出X取不同值k时的概率.学习时,不能机械地去记忆公式,而要结合条件以及组合知识理解M,N,n,k的含义.
一、选择题
1.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张,则至少有3张是A的概率为( )
A. B.
C.1- D.
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案 D
解析 设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数,则P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=+.
2.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是( )
A.将一枚硬币连抛3次,正面向上的次数X
B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部,选出女生的人数为X
C.某射手的命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中目标的次数为X
D.盒中有4个白球和3个黑球,每次从中摸出1球且不放回,X是首次摸出黑球时的总次数
考点 超几何分布
题点 超几何分布的概念
13
答案 B
解析 由超几何分布的定义可知B正确.
3.在100张奖券中,有4张能中奖,从中任取2张,则2张都能中奖的概率是( )
A. B. C. D.
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案 C
解析 记X为2张中的中奖数,则P(X=2)==.
4.10名同学中有a名女生,若从中抽取2个人作为学生代表,恰抽取1名女生的概率为,则a等于( )
A.1 B.2或8 C.2 D.8
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案 B
解析 由题意知,=,
解得a=2或8.
5.一个盒子里装有大小相同的10个黑球,12个红球,4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于的是( )
A.P(02
02
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率,解答下列问题:
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;
(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列.
考点 离散型随机变量的分布列
题点 求离散型随机变量的分布列
解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)==.
(2)依题意得,X1的分布列为
X1
1
2
3
P
X2的分布列为
X2
1.8
2.9
P
四、探究与拓展
14.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,则P(X=2)=________.
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案
解析 设10个球中有白球m个,
13
则=1-,
解得m=5或m=14(舍去).
所以P(X=2)==.
15.为了迎接即将到来的某商界大会,大会组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者做接待工作,将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位:cm).若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”,身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中选取5人,再从这5人中选2人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?
(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者,用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出X的分布列.
考点 超几何分布
题点 求超几何分布的分布列
解 (1)根据茎叶图,有“高个子”12人,“非高个子”18人,用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是=,所以选中的“高个子”有12×=2(人),“非高个子”有18×=3(人).
用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”,
则它的对立事件表示“没有一个‘高个子’被选中”,
则P(A)=1-P()=1-=1-=.
因此,至少有一人是“高个子”的概率是.
(2)依题意,X的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
13
P(X=3)==.
因此,X的分布列为
X
0
1
2
3
P
13
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