2020高中数学 第一章 三角函数 1 8页

‎1.6　三角函数模型的简单应用 学习目标：1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)‎ ‎2．实际问题抽象为三角函数模型．(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型．‎ ‎2．解三角函数应用题的基本步骤：‎ ‎(1)审清题意；‎ ‎(2)搜集整理数据，建立数学模型；‎ ‎(3)讨论变量关系，求解数学模型；‎ ‎(4)检验，作出结论．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)函数y＝|sin x＋|的周期为π.(　　)‎ ‎(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s，振幅为‎5 cm，则该振子在2 s内通过的路程为‎50 cm.(　　)‎ ‎(3)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流强度I为 A．(　　)‎ ‎[解析]　(1)错误．函数y＝|sin x＋|的周期为2π.‎ ‎(2)错误．一个周期通过路程为‎20 cm，所以2 s内通过的路程为20×＝100(cm)．‎ ‎(3)正确．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√‎ ‎2．如图161为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s往返一次．‎ 图161‎ ‎0．8　[观察图象可知此简谐运动的周期T＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次．]‎ ‎3．如图162所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y 8‎ ‎(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________________．‎ 图162‎ y＝－6sinx　[设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)则A＝6，‎ T＝＝12，ω＝.‎ 当x＝9时，ymax＝6.故 ×9＋φ＝＋2kπ，k∈Z.‎ 取k＝1得φ＝π，即y＝－6sinx.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 三角函数图象的应用 ‎　(1)函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是(　　)‎ ‎　　 　A　　 　B　　　　　C　 　　　D ‎(2)作出函数y＝|cos x|的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间. ‎ ‎【导学号：84352127】‎ ‎[思路探究]　(1)根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断．‎ ‎(2)依据y＝|cos x|＝画图，并判断此函数的性质．‎ ‎(1)C　[(1)y＝x＋sin|x|是非奇非偶函数，‎ 图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称，故选C.‎ ‎(2)y＝|cos x|图象如图所示．‎ 由图象可知：T＝π；y＝|cos x|是偶函数；单调递增区间为，k∈Z，‎ 8‎ 单调递减区间为，k∈Z.]‎ ‎[规律方法]　(1)一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据. (2)一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如：①由函数y＝f(x)的图象要得到y＝|f(x)|的图象，只需将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”.②由函数y＝f(x)的图象要得到y＝f(|x|)的图象，应保留y＝f(x)位于y轴右侧的图象，去掉y轴左侧的图象，再由y轴右侧的图象翻折得到y轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．函数f(x)＝2sin x(x∈[－π，π])的图象大致为(　　)‎ ‎　　 　A　　 　 　B　　　　　C　　　 　D A　[f(－π)＝2sin(－π)＝20＝1，f＝2sin＝2－1＝0.5，f(0)＝2sin 0＝20＝1，f＝2sin＝2，f(π)＝2sin π＝20＝1.由此知选项A符合要求．]‎ 三角函数模型在物理学中的应用 ‎　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．‎ ‎(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？‎ ‎(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？‎ ‎(3)经过多长时间小球往复振动一次？ 【导学号：84352128】‎ ‎[思路探究]　确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ的物理意义是解题关键．‎ ‎[解]　列表如下：‎ t ‎－ ‎2t＋ ‎0‎ π ‎2π sin ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ 8‎ s ‎0‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎－4‎ ‎0‎ 描点、连线，图象如图所示．‎ ‎(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是‎2 cm.‎ ‎(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是‎4 cm和－‎4 cm.‎ ‎(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.‎ ‎[规律方法]　在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：‎ ‎(1)开始时电压；‎ ‎(2)电压值重复出现一次的时间间隔；‎ ‎(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．‎ ‎[解]　(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110 V.‎ ‎(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.‎ ‎(3)电压的最大值为220 V，当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值．‎ 三角函数模型的实际应用 ‎[探究问题]‎ 在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？‎ 提示：(1)根据原始数据给出散点图．‎ ‎(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．‎ ‎(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．‎ 8‎ ‎(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．‎ ‎　已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：‎ t ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ y ‎1.5‎ ‎1.0‎ ‎0.5‎ ‎1.0‎ ‎1.5‎ ‎1‎ ‎0.5‎ ‎0.99‎ ‎1.5‎ 经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象．‎ ‎(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；‎ ‎(2)根据规定，当海浪高度大于‎1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？ ‎ ‎【导学号：84352129】‎ ‎[思路探究]　(1)根据y的最大值和最小值求A，b，定周期求ω.‎ ‎(2)解不等式y＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．‎ ‎[解]　(1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．‎ ‎(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝cost＋1＞1，cost＞0,2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3，(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.‎ 母题探究：1.若将本例中“大于1米”改为“大于‎1.25米”，结果又如何？‎ ‎[解]　由y＝cost＋1＞1.25得cost＞，‎ ‎2kπ－＜t＜2kπ＋，k∈Z，即12k－2＜t＜12k＋2，k∈Z.‎ 又0≤t≤24，所以0≤t＜2或10＜t＜14或22＜t≤24，‎ 所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动，‎ 即10＜t＜14.‎ ‎2．若本例中海滨浴场某区域的水深y(米)与时间t(时)的数据如下表：‎ t(时)‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ y(米)‎ ‎10.0‎ ‎13.0‎ ‎9.9‎ ‎7.0‎ ‎10.0‎ ‎13.0‎ ‎10.1‎ ‎7.0‎ ‎10.0‎ 用y＝Asin ωt＋b刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式．‎ ‎[解]　函数y＝Asin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h，因此＝12，ω＝.‎ 又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时，ymax＝13，‎ 8‎ ‎∴b＝10，A＝13－10＝3，‎ ‎∴所求函数的解析式为y＝3sin t＋10(0≤t≤24)．‎ ‎[规律方法]　解三角函数应用问题的基本步骤 提醒：关注实际意义求准定义域．‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．与图163中曲线对应的函数解析式是(　　)‎ 图163‎ A．y＝|sin x|　　　　　 B．y＝sin |x|‎ C．y＝－sin |x| D．y＝－|sin x|‎ C　[注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin |x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C.]‎ ‎2．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sin，s2＝10cos 2t确定，则当t＝ s时，s1与s2的大小关系是(　　)‎ ‎ 【导学号：84352130】‎ A．s1＞s2 B．s1＜s2‎ C．s1＝s2 D．不能确定 C　[当t＝时，s1＝5sin＝5sin＝－5，‎ 当t＝时，s2＝10cos＝10×＝－5，‎ 故s1＝s2.]‎ ‎3．如图164表示电流强度I与时间t的关系为I＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在一个周期内的图象，则该函数解析式为(　　)‎ 8‎ 图164‎ A．I＝300sin B．I＝300sin C．I＝300sin D．I＝300sin C　[A＝300，T＝2＝，ω＝＝100π，I＝300sin(100πt＋φ)．代入点，得100π×＋φ＝0，得φ＝，∴I＝300sin.]‎ ‎4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________cm.‎ 　[由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝.]‎ ‎5．如图165，某动物种群数量‎1月1日低至700,‎7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．‎ 图165‎ ‎(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)‎ ‎(2)估计当年3月1日动物种群数量.‎ ‎ 【导学号：84352131】‎ ‎[解]　(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，‎ 则 解得A＝100，b＝800.‎ 又周期T＝2×(6－0)＝12，‎ 8‎ ‎∴ω＝＝，‎ ‎∴y＝100sin＋800.‎ 又当t＝6时，y＝900，‎ ‎∴900＝100sin＋800，‎ ‎∴sin(π＋φ)＝1，‎ ‎∴sin φ＝－1，‎ ‎∴取φ＝－，‎ ‎∴y＝100sin＋800.‎ ‎(2)当t＝2时，‎ y＝100sin＋800＝750，‎ 即当年3月1日动物种群数量约是750.‎ 8‎