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2012年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合A={x|x2﹣x﹣2<0},B={x|﹣1<x<1},则( )
A.A⊊B B.B⊊A C.A=B D.A∩B=∅
2.(5分)复数z=的共轭复数是( )
A.2+i B.2﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
3.(5分)在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为( )
A.﹣1 B.0 C. D.1
4.(5分)设F1、F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )
A. B. C. D.
5.(5分)已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=﹣x+y的取值范围是( )
A.(1﹣,2) B.(0,2) C.(﹣1,2) D.(0,1+)
6.(5分)如果执行右边的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,an,输出A,B,则( )
A.A+B为a1,a2,…,an的和
B.为a1,a2,…,an的算术平均数
C.A和B分别是a1,a2,…,an中最大的数和最小的数
D.A和B分别是a1,a2,…,an中最小的数和最大的数
7.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )
A.6 B.9 C.12 D.18
8.(5分)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为( )
A.π B.4π C.4π D.6π
9.(5分)已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( )
A. B. C. D.
10.(5分)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B,|AB|=4,则C的实轴长为( )
A. B. C.4 D.8
11.(5分)当0<x≤时,4x<logax,则a的取值范围是( )
A.(0,) B.(,1) C.(1,) D.(,2)
12.(5分)数列{an}满足an+1+(﹣1)nan=2n﹣1,则{an}的前60项和为( )
A.3690 B.3660 C.1845 D.1830
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.(5分)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 .
14.(5分)等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q= .
15.(5分)已知向量夹角为45°,且,则= .
16.(5分)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m= .
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=asinC﹣ccosA.
(1)求A;
(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.
18.(12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.
(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式.
(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得如表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.
19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点.
(Ⅰ)证明:平面BDC1⊥平面BDC
(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.
20.(12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A∈C,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点;
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为,求p的值及圆F的方程;
(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.
21.(12分)设函数f(x)=ex﹣ax﹣2.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x﹣k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.
22.(10分)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点,若CF∥AB,证明:
(1)CD=BC;
(2)△BCD∽△GBD.
23.选修4﹣4;坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C2的坐标系方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,).
(1)求点A,B,C,D的直角坐标;
(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.
24.已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2|
(1)当a=﹣3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
2012年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)(2012•新课标)已知集合A={x|x2﹣x﹣2<0},B={x|﹣1<x<1},则( )
A.A⊊B B.B⊊A C.A=B D.A∩B=∅
【分析】先求出集合A,然后根据集合之间的关系可判断
【解答】解:由题意可得,A={x|﹣1<x<2},
∵B={x|﹣1<x<1},
在集合B中的元素都属于集合A,但是在集合A中的元素不一定在集合B中,例如x=
∴B⊊A.
故选B.
2.(5分)(2012•新课标)复数z=的共轭复数是( )
A.2+i B.2﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,把复数化为a+bi的形式,然后求法共轭复数即可.
【解答】解:复数z====﹣1+i.
所以复数的共轭复数为:﹣1﹣i.
故选D.
3.(5分)(2012•新课标)在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn
)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为( )
A.﹣1 B.0 C. D.1
【分析】所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,故这组样本数据完全正相关,故其相关系数为1.
【解答】解:由题设知,所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,
∴这组样本数据完全正相关,故其相关系数为1,
故选D.
4.(5分)(2012•新课标)设F1、F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )
A. B. C. D.
【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,可得|PF2|=|F2F1|,根据P为直线x=上一点,可建立方程,由此可求椭圆的离心率.
【解答】解:∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,
∴|PF2|=|F2F1|
∵P为直线x=上一点
∴
∴
故选C.
5.(5分)(2012•新课标)已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=﹣x+y的取值范围是( )
A.(1﹣,2) B.(0,2) C.(﹣1,2) D.(0,1+)
【分析】由A,B及△ABC为正三角形可得,可求C的坐标,然后把三角形的各顶点代入可求z的值,进而判断最大与最小值,即可求解范围
【解答】解:设C(a,b),(a>0,b>0)
由A(1,1),B(1,3),及△ABC为正三角形可得,AB=AC=BC=2
即(a﹣1)2+(b﹣1)2=(a﹣1)2+(b﹣3)2=4
∴b=2,a=1+即C(1+,2)
则此时直线AB的方程x=1,AC的方程为y﹣1=(x﹣1),
直线BC的方程为y﹣3=﹣(x﹣1)
当直线x﹣y+z=0经过点A(1,1)时,z=0,经过点B(1,3)z=2,经过点C(1+,2)时,z=1﹣
∴
故选A
6.(5分)(2012•新课标)如果执行右边的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,an,输出A,B,则( )
A.A+B为a1,a2,…,an的和
B.为a1,a2,…,an的算术平均数
C.A和B分别是a1,a2,…,an中最大的数和最小的数
D.A和B分别是a1,a2,…,an中最小的数和最大的数
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是求出a1,a2,…,an中最大的数和最小的数.
【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,
再根据流程图所示的顺序,
可知,该程序的作用是:求出a1,a2,…,an中最大的数和最小的数
其中A为a1,a2,…,an中最大的数,B为a1,a2,…,an中最小的数
故选:C.
7.(5分)(2012•新课标)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )
A.6 B.9 C.12 D.18
【分析】通过三视图判断几何体的特征,利用三视图的数据求出几何体的体积即可.
【解答】解:该几何体是三棱锥,底面是俯视图,三棱锥的高为3;
底面三角形斜边长为6,高为3的等腰直角三角形,
此几何体的体积为V=×6×3×3=9.
故选B.
8.(5分)(2012•新课标)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为( )
A.π B.4π C.4π D.6π
【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,求出球的半径,然后求解球的体积.
【解答】解:因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,
所以球的半径为:=.
所以球的体积为:=4π.
故选B.
9.(5分)(2012•新课标)已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( )
A. B. C. D.
【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期,利用对称轴以及φ的范围,确定φ的值即可.
【解答】解:因为直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,
所以T==2π.所以ω=1,并且sin(+φ)与sin(+φ)分别是最大值与最小值,0<φ<π,
所以φ=.
故选A.
10.(5分)(2012•新课标)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B,|AB|=4,则C的实轴长为( )
A. B. C.4 D.8
【分析】设等轴双曲线C:x2﹣y2=a2(a>0),y2=16x的准线l:x=﹣4,由C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,,能求出C的实轴长.
【解答】解:设等轴双曲线C:x2﹣y2=a2(a>0),
y2=16x的准线l:x=﹣4,
∵C与抛物线y2=16x的准线l:x=﹣4交于A,B两点,
∴A(﹣4,2),B(﹣4,﹣2),
将A点坐标代入双曲线方程得=4,
∴a=2,2a=4.
故选C.
11.(5分)(2012•新课标)当0<x≤时,4x<logax,则a的取值范围是( )
A.(0,) B.(,1) C.(1,) D.(,2)
【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质,将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可
【解答】解:∵0<x≤时,1<4x≤2
要使4x<logax,由对数函数的性质可得0<a<1,
数形结合可知只需2<logax,
∴
即对0<x≤时恒成立
∴
解得<a<1
故选 B
12.(5分)(2012•新课标)数列{an}满足an+1+(﹣1)nan=2n﹣1,则{an}的前60项和为( )
A.3690 B.3660 C.1845 D.1830
【分析】由题意可得 a2﹣a1=1,a3+a2=3,a4﹣a3=5,a5+a4=7,a6﹣a5=9,a7+a6=11,…a50﹣a49=97,变形可得
a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a7=2,a12+a10=40,a13+a11=2,a16+a14=56,…利用
数列的结构特征,求出{an}的前60项和.
【解答】解:由于数列{an}满足an+1+(﹣1)n an=2n﹣1,故有 a2﹣a1=1,a3+a2=3,a4﹣a3=5,
a5+a4=7,a6﹣a5=9,a7+a6=11,…a50﹣a49=97.
从而可得 a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a11+a9=2,a12+a10=40,a15+a13=2,a16+a14=56,…
从第一项开始,依次取2个相邻奇数项的和都等于2,
从第二项开始,依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项,以16为公差的等差数列.
{an}的前60项和为 15×2+(15×8+)=1830,
故选D.
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.(5分)(2012•新课标)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 y=4x﹣3 .
【分析】先求导函数,求出切线的斜率,再求切线的方程.
【解答】解:求导函数,可得y′=3lnx+4,
当x=1时,y′=4,
∴曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为y﹣1=4(x﹣1),即y=4x﹣3.
故答案为:y=4x﹣3.
14.(5分)(2012•新课标)等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q= ﹣2 .
【分析】由题意可得,q≠1,由S3+3S2=0,代入等比数列的求和公式可求q
【解答】解:由题意可得,q≠1
∵S3+3S2=0
∴
∴q3+3q2﹣4=0
∴(q﹣1)(q+2)2=0
∵q≠1
∴q=﹣2
故答案为:﹣2
15.(5分)(2012•新课标)已知向量夹角为45°,且,则= 3 .
【分析】由已知可得,=,代入|2|====可求
【解答】解:∵,=1
∴=
∴|2|====
解得
故答案为:3
16.(5分)(2012•新课标)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m= 2 .
【分析】函数可化为f(x)==,令,则为奇函数,从而函数的最大值与最小值的和为0,由此可得函数f(x)=的最大值与最小值的和.
【解答】解:函数可化为f(x)==,
令,则为奇函数,
∴的最大值与最小值的和为0.
∴函数f(x)=的最大值与最小值的和为1+1+0=2.
即M+m=2.
故答案为:2.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(12分)(2012•新课标)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=asinC﹣ccosA.
(1)求A;
(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.
【分析】(1)由正弦定理有:sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0,可以求出A;
(2)有三角形面积以及余弦定理,可以求出b、c.
【解答】解:(1)c=asinC﹣ccosA,由正弦定理有:
sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0,即sinC•(sinA﹣cosA﹣1)=0,
又,sinC≠0,
所以sinA﹣cosA﹣1=0,即2sin(A﹣)=1,
所以A=;
(2)S△ABC=bcsinA=,所以bc=4,
a=2,由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA,即4=b2+c2﹣bc,
即有,
解得b=c=2.
18.(12分)(2012•新课标)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.
(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式.
(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得如表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.
【分析】(Ⅰ)根据卖出一枝可得利润5元,卖不出一枝可得赔本5元,即可建立分段函数;
(Ⅱ)(i)这100天的日利润的平均数,利用100天的销售量除以100即可得到结论;
(ii)当天的利润不少于75元,当且仅当日需求量不少于16枝,故可求当天的利润不少于75元的概率.
【解答】解:(Ⅰ)当日需求量n≥17时,利润y=85;当日需求量n<17时,利润y=10n﹣85;(4分)
∴利润y关于当天需求量n的函数解析式(n∈N*)(6分)
(Ⅱ)(i)这100天的日利润的平均数为元;(9分)
(ii)当天的利润不少于75元,当且仅当日需求量不少于16枝,故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.(12分)
19.(12分)(2012•新课标)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点.
(Ⅰ)证明:平面BDC1⊥平面BDC
(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.
【分析】(Ⅰ)由题意易证DC1⊥平面BDC,再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC;
(Ⅱ)设棱锥B﹣DACC1的体积为V1,AC=1,易求V1=××1×1=,三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1,于是可得(V﹣V1):V1=1:1,从而可得答案.
【解答】证明:(1)由题意知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,
∴BC⊥平面ACC1A1,又DC1⊂平面ACC1A1,
∴DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,
∴∠CDC1=90°,即DC1⊥DC,又DC∩BC=C,
∴DC1⊥平面BDC,又DC1⊂平面BDC1,
∴平面BDC1⊥平面BDC;
(2)设棱锥B﹣DACC1的体积为V1,AC=1,由题意得V1=××1×1=,
又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1,
∴(V﹣V1):V1=1:1,
∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1:1.
20.(12分)(2012•新课标)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A∈C,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点;
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为,求p的值及圆F的方程;
(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.
【分析】(1)由对称性知:△BFD是等腰直角△,斜边|BD|=2p点A到准线l的距离,由△ABD的面积S△ABD=,知=,由此能求出圆F的方程.
(2)由对称性设,则点A,B关于点F对称得:
,得:,由此能求出坐标原点到m,n距离的比值.
【解答】解:(1)由对称性知:△BFD是等腰直角△,斜边|BD|=2p
点A到准线l的距离,
∵△ABD的面积S△ABD=,
∴=,
解得p=2,所以F坐标为(0,1),
∴圆F的方程为x2+(y﹣1)2=8.
(2)由题设,则,
∵A,B,F三点在同一直线m上,
又AB为圆F的直径,故A,B关于点F对称.
由点A,B关于点F对称得:
得:,直线,切点
直线
坐标原点到m,n距离的比值为.
21.(12分)(2012•新课标)设函数f(x)=ex﹣ax﹣2.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x﹣k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.
【分析】(Ⅰ)求函数的单调区间,可先求出函数的导数,由于函数中含有字母a,故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性,给出单调区间;
(II)由题设条件结合(I),将不等式,(x﹣k) f´(x)+x+1>0在x>0时成立转化为k<(x>0)成立,由此问题转化为求g(x)=在x>0上的最小值问题,求导,确定出函数的最小值,即可得出k的最大值;
【解答】解:(I)函数f(x)=ex﹣ax﹣2的定义域是R,f′(x)=ex﹣a,
若a≤0,则f′(x)=ex﹣a≥0,所以函数f(x)=ex﹣ax﹣2在(﹣∞,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)=ex﹣a<0;
当x∈(lna,+∞)时,f′(x)=ex﹣a>0;
所以,f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.
(II)由于a=1,所以,(x﹣k) f´(x)+x+1=(x﹣k) (ex﹣1)+x+1
故当x>0时,(x﹣k) f´(x)+x+1>0等价于k<(x>0)①
令g(x)=,则g′(x)=
由(I)知,当a=1时,函数h(x)=ex﹣x﹣2在(0,+∞)上单调递增,
而h(1)<0,h(2)>0,
所以h(x)=ex﹣x﹣2在(0,+∞)上存在唯一的零点,
故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,设此零点为α,则有α∈(1,2)
当x∈(0,α)时,g′(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g′(x)>0;
所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).
又由g′(α)=0,可得eα=α+2所以g(α)=α+1∈(2,3)
由于①式等价于k<g(α),故整数k的最大值为2.
22.(10分)(2012•新课标)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点,若CF∥AB,证明:
(1)CD=BC;
(2)△BCD∽△GBD.
【分析】(1)根据D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,可得DE∥BC,证明四边形ADCF是平行四边形,即可得到结论;
(2)证明两组对应角相等,即可证得△BCD~△GBD.
【解答】证明:(1)∵D,E分别为△ABC边AB,AC的中点
∴DF∥BC,AD=DB
∵AB∥CF,∴四边形BDFC是平行四边形
∴CF∥BD,CF=BD
∴CF∥AD,CF=AD
∴四边形ADCF是平行四边形
∴AF=CD
∵,∴BC=AF,∴CD=BC.
(2)由(1)知,所以.
所以∠BGD=∠DBC.
因为GF∥BC,所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC.
所以△BCD~△GBD.
23.(2012•新课标)选修4﹣4;坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C2的坐标系方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,).
(1)求点A,B,C,D的直角坐标;
(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.
【分析】(1)确定点A,B,C,D的极坐标,即可得点A,B,C,D的直角坐标;
(2)利用参数方程设出P的坐标,借助于三角函数,即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.
【解答】解:(1)点A,B,C,D的极坐标为
点A,B,C,D的直角坐标为
(2)设P(x0,y0),则为参数)
t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ
∵sin2φ∈[0,1]
∴t∈[32,52]
24.(2012•新课标)已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2|
(1)当a=﹣3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
【分析】(1)不等式等价于,或,或,求出每个不等式组的解集,
再取并集即得所求.
(2)原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1,2]上恒成立,由此求得求a的取值范围.
【解答】解:(1)当a=﹣3时,f(x)≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3,即①,或②,
或③.
解①可得x≤1,解②可得x∈∅,解③可得x≥4.
把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}.
(2)原命题即f(x)≤|x﹣4|在[1,2]上恒成立,等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1,2]上恒成立,
等价于|x+a|≤2,等价于﹣2≤x+a≤2,﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1,2]上恒成立.
故当 1≤x≤2时,﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3,2﹣x的最小值为0,
故a的取值范围为[﹣3,0].
参与本试卷答题和审题的老师有:邢新丽;qiss;刘长柏;minqi5;zlzhan;xize;caoqz;吕静;wfy814;xintrl(排名不分先后)
2017年2月3日
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