高中数学必修1教案：第九章直线平面简单几何体(B)(第8课)直线与平面垂直(1) 6页

课 题：9．4直线和平面垂直 (一) ‎ 教学目的：‎ ‎1理解直线与平面垂直的定义；‎ ‎2掌握直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程；‎ ‎3应用直线与平面垂直的判定定理解决问题 ‎ 教学重点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程 教学难点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程 ‎ 授课类型：新授课 ‎ 课时安排：1课时 ‎ 教 具：多媒体、实物投影仪 ‎ 内容分析：   本节包括两个知识点：直线和平面垂直及正射影和三垂线定理空间除平移和平行射影的性质外，第二个重要性质就是空间的镜面对称直线与平面的垂直的特征性质是研究空间对称性的基础细心分析直线和平面判定定理的证明过程就可以看到，证明的过程就是由平面的轴对称转换为空间的镜面对称的过程这一小节要特别重视判定定理的教学，要向学生指出定理证明过程的本质三垂线定理是由直线和平面垂直判定定理得出的一个最重要的空间图形的性质，在传统几可学教育中这个定理占有极重要的地位，在这里，我们只重视概念的教学，减弱围绕三垂线定理的解题训练这是因为我们有更有效的向量工具处理空间的垂直问题 ‎ 这一小节的教学要求是，掌握直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理，掌握三垂线定理及逆定理主要是理解定理的本质和直接应用不要进行大量的解题训练的教学这样就可减少课时，以加强空间向量的教学  ‎ 直线与平面垂直的定义是一个严格但不实用的定义，因而必须给出一个判定“直线与平面垂直”的判定定理而直线与平面是否垂直根据判定定理的要求，必须具备条件“a⊥b，a⊥c，b∩c＝B，bÌα，cÌα”才能得到结论“a⊥α”，至于为什么在上述条件下一定能得到“a⊥α”这一结论便是本节课的一个主要内容  ‎ 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1直线和平面的位置关系 观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：‎ ‎（1）直线在平面内（无数个公共点）；‎ ‎（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；‎ ‎（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类 它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，‎ ‎2线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 推理模式：‎ ‎3线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 推理模式：‎ 二、讲解新课：‎ ‎1 定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足 直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α 画法：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直 说明：①“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？）‎ ‎②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足 ‎③ a⊥等价于对任意的直线Ì，都有a⊥‎ 利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质 ‎ 2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 即 若⊥，⊥，∩＝B，Ì，Ì，则⊥‎ 已知：、是平面内的两条相交直线，直线与的交点为B，且⊥，⊥‎ 求证：⊥‎ 分析：在内平移，，使它们都通过点B，这时，仍保持和垂直过点B作任一条不与，重合的直线g，如果我们能根据⊥且⊥推出⊥g，那么就证明了直线和过点B的所有直线都垂直，即垂直 为此，我们在上自点B起于平面的两侧分别截取BA=BA′，于是，‎ 都是线段AA′的垂直平分线，它们上面的点到A、A′的距离相等 如果我们能证明g上的点到A、A′的距离也相等，那么g也是AA′的垂直平分线，于是g就垂直于 在g上任取一点E，过点E在内作不通过点B的直线，分别与，相交于点C、D，容易证明△ACD≌A′CD，进而又可证明△ACE≌△A′CE 于是EA=EA′，g⊥‎ 一般地：‎ 证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 已知：是平面内的两条相交直线，直线与的交点为，且，‎ 求证：‎ 证明：过点作 ‎∵ ∴，‎ 过任作直线，在上于平面两侧分别截取，‎ ‎∴都是的垂直平分线，‎ ‎∴，‎ 在上任取点，过在平面内作不通过的直线分别 与相交于点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴，∴．‎ 三、讲解范例：‎ 例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 已知：a∥b,a⊥‎ 求证：b⊥α 证明：设是内的任意一条直线 本题的作用：要证b⊥，没有办法？而已知a∥b，只需证a⊥即可，在证题时起转移作用，但具体要证a⊥还需其他方法 例2 过一点和已知平面垂直的直线只有一条 已知：平面和一点P 求证：过点P与垂直的直线只有一条 证明：不论在平面内或外，设直线，垂足为（或）‎ 若另一直线，设确定的平面为，且 ‎∴‎ 又∵在平面内，与平面几何中的定理矛盾 所以过点与垂直的直线只有一条 例3 有一根旗杆高，它的顶端挂一条长的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上），如果这两点都和旗杆脚的距离是，那么旗杆就和地面垂直，为什么？‎ 解：在和中，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即 又∵不共线 ‎∴平面，即旗杆和地面垂直；‎ 例4 已知直线⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥‎ 求证：AP在α内 证明：设AP与确定的平面为β如果AP不在α内，‎ 则可设α与β相交于直线AM ‎∵⊥α，∴AM 又AP⊥，于是在平面β内过点A有两条直线垂直于，这是不可能的 所以AP一定在α内 例5 求证:经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行 已知:∉α 求证:过点有且只有一个平面β∥α 证明:过平面α外一点作直线α,再过点作平面β,使β,‎ 则α∥β.‎ 因为过点且与α平行的平面必与α的垂线也垂直,而过点与 垂直的平面是唯一的,所以过点且与α平行的平面只有一个.‎ 指出:由例2可得α∥β,α∥γ⇒β∥γ.‎ 例6 已知：空间四边形，，，‎ 求证：‎ 证明：取中点，连结，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面，‎ ‎∴．‎ 四、课堂练习：‎ ‎1．选择题 ‎ （1）“直线垂直于平面a内的无数条直线”是“⊥a”的 （ ）‎ ‎ （A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 ‎ （2）如果一条直线与平面a的一条垂线垂直，那么直线与平面a的位置关系是（ ）‎ ‎ （A）Ìa （B）⊥a （C）∥a （D）Ìa或∥a 答案：（1）B (2)D ‎2．填空题 ‎ （1）过直线外一点作直线的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个.‎ ‎ （2）过平面外一点作该平面的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个.‎ 答案：（1）无数，一，一，无数；（2）一，无数，无数，一 ‎3．能否作一条直线同时垂直于两条相交直线？‎ 能否作一条直线同时垂直于两个相交平面？为什么？ ‎ 答案：（能，而且有无数条） （不能）‎ ‎4拿一张矩形的纸对折后略为展开，竖立在桌面上，说明折痕为什么和桌面垂直 答案：因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线.‎ ‎5‎ 一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，这条直线垂直于这个平面吗？为什么？‎ 答案：不一定.因为这条直线可能与这个平面斜交或在其内.‎ ‎6过一点和一条直线垂直的平面是否只有一个？为什么？‎ 答案：是.假若有两个平面过点A都于垂直，过这条公共垂线作一个不经过两平面的交线的平面，与分别相交于直线且，，从而有，此与矛盾.‎ ‎7如果三条直线共点，且两两垂直，问其中一条直线是否垂直于另两条直线所确定的平面 答案：是 ‎8求证：一条线段的垂直平分面内任一点到这条线段两端点的距离相等 通过一条线段中点并且与这条线段垂直的平面，叫做这条线段的垂直平分面 五、小结 ：今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较多的则是，如果直线垂直于平面a，那么就垂直于a内的任何一条直线；对于判定定理，判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问题解决的一般思路 ‎ 六、课后作业：‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎