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  • 2021-06-21 发布

高考理科数学复习练习作业63

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题组层级快练(六十三) 1.双曲线 x2 36-m2 -y2 m2 =1(00)的离心率为 2,则 a=( ) A.2 B. 6 2 C. 5 2 D.1 答案 D 解析 因为双曲线的方程为x2 a2 -y2 3 =1,所以 e2=1+3 a2 =4,因此 a2=1,a=1.选 D. 4.(2015·安徽,理)下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=±2x 的是( ) A.x2-y2 4 =1 B.x2 4 -y2=1 C.y2-x2 4 =1 D.y2 4 -x2=1 答案 D 解析 由题意,选项 A,B 的焦点在 x 轴,故排除 A,B,D 项的渐近线方程为y2 4 -x2=0, 即 y=±2x. 5.(2015·湖北,文)若双曲线x2 a2 -y2 b2 =1 的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率 为( ) A. 7 3 B.5 4 C.4 3 D.5 3 答案 D 解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为 y=±b ax,点(3,-4)在渐近线上,∴b a =4 3 ,又 a2 +b2=c2,∴c2=a2+16 9 a2=25 9 a2,∴e=c a =5 3 ,故选 D. 6.(2017·北京西城期末)mn<0 是方程x2 m +y2 n =1 表示实轴在 x 轴上的双曲线的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 当 mn<0 时,分 m<0,n>0 和 m>0,n<0 两种情况. ①当 m<0,n>0 时,方程x2 m +y2 n =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线;②当 m>0,n<0 时,方程x2 m +y2 n =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线.因此,当 mn<0 时,方程x2 m +y2 n =1 不一定表示实轴在 x 轴上的双曲线.方程x2 m +y2 n =1 表示实轴在 x 轴上的双曲线时,m>0,n<0,必定有 mn<0. 由此可得:mn<0 是方程x2 m +y2 n =1 表示实轴在 x 轴上的双曲线的必要而不充分条件.故选 B. 7.(2017·河北邢台摸底)双曲线 x2-4y2=-1 的渐近线方程为( ) A.x±2y=0 B.y±2x=0 C.x±4y=0 D.y±4x=0 答案 A 解析 依题意,题中的双曲线即y2 1 4 -x2=1,因此其渐近线方程是y2 1 4 -x2=0,即 x±2y=0, 选 A. 8.已知双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的两条渐近线均与圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切,则该 双曲线的离心率等于( ) A. 5 5 B. 6 2 C.3 2 D.3 5 5 答案 D 解析 圆的标准方程为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为 C(3,0),半径 r=2,双曲线的渐近 线为 y=±b ax.不妨取 y=b ax,即 bx-ay=0,因为渐近线与圆相切,所以圆心到渐近线的距离 d= |3b| a2+b2 =2,即 9b2=4(a2+b2),所以 5b2=4a2,b2=4 5a2=c2-a2,即 9 5a2=c2.所以 e2=9 5 , e=3 5 5 ,故选 D. 9.(2015·新课标全国Ⅱ)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为等 腰三角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为( ) A. 5 B.2 C. 3 D. 2 答案 D 解析 如图所示,设双曲线方程为x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0),|AB|=|BM|,∠ABM=120°.过点 M 作 MN⊥x 轴,垂足为 N,在 Rt△BMN 中,|BN|=a,|MN|= 3a,故点 M 的坐标为 M(2a, 3a),代入双曲线方程得 c2=2a2⇒e= 2,故选 D 项. 10.已知双曲线 mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为 2,则椭圆 mx2+ny2=1 的离心率为( ) A.1 2 B. 6 3 C. 3 3 D.2 3 3 答案 B 解析 由已知双曲线的离心率为 2,得 1 m +1 n 1 m =2. 解得 m=3n.又 m>0,n>0,∴m>n,即1 n>1 m. 故由椭圆 mx2+ny2=1,得y2 1 n +x2 1 m =1. ∴所求椭圆的离心率为 e= 1 n -1 m 1 n = 1 n - 1 3n 1 n = 6 3 . 11.已知双曲线的方程为x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0),双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 5 3 c(c 为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率为( ) A. 5 2 B.3 2 C.3 5 5 D.2 3 答案 B 解析 双曲线x2 a2 -y2 b2 =1 的渐近线为x a ±y b =0,焦点 A(c,0)到直线 bx-ay=0 的距离为 bc a2+b2 = 5 3 c,则 c2-a2=5 9c2,得 e2=9 4 ,e=3 2 ,故选 B. 12.已知点 F1,F2 分别是双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点 F1 且垂直于 x 轴 的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围 是( ) A.(1, 3) B.( 3,2 2) C.(1+ 2,+∞) D.(1,1+ 2) 答案 D 解析 依题意,0<∠AF2F1<π 4 ,故 00,b>0),又由 顶点为(1,0)知 a=1,所以 b= c2-a2=1.故所求双曲线的方程为 x2-y2=1. 14.(2016·浙江,文)设双曲线 x2-y2 3 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2.若点 P 在双曲线上,且 △F1PF2 为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是________. 答案 (2 7,8) 解析 由题意不妨设点 P 在双曲线的右支上,现考虑两种极限情况:当 PF2⊥x 轴时,|PF1| +|PF2|有最大值 8;当∠P 为直角时,|PF1|+|PF2|有最小值 2 7.因为△F1PF2 为锐角三角形, 所以|PF1|+|PF2|的取值范围为(2 7,8). 15.已知曲线方程 x2 λ+2 - y2 λ+1 =1,若方程表示双曲线,则λ的取值范围是________. 答案 λ<-2 或λ>-1 解析 ∵方程 x2 λ+2 - y2 λ+1 =1 表示双曲线,∴(λ+2)(λ+1)>0,解得λ<-2 或λ>-1. 16.(2015·课标全国Ⅱ,文)已知双曲线过点(4, 3),且渐近线方程为 y=±1 2x,则该双曲线 的标准方程为________. 答案 x2 4 -y2=1 解析 方法一:因为双曲线过点(4, 3),且渐近线方程为 y=±1 2x,故点(4, 3)在直线 y= 1 2x 的下方.设该双曲线的标准方程为x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0),所以 42 a2 -( 3)2 b2 =1, b a =1 2 , 解得 a=2, b=1, 故双曲线方程为x2 4 -y2=1. 方法二:因为双曲线的渐近线方程为 y=±1 2x,故可设双曲线为x2 4 -y2=λ(λ>0),又双曲线过 点(4, 3),所以42 4 -( 3)2=λ,所以λ=1,故双曲线方程为x2 4 -y2=1. 17.(2016·北京)双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在的 直线,点 B 为该双曲线的焦点.若正方形 OABC 的边长为 2,则 a=________. 答案 2 解析 双曲线x2 a2 -y2 b2 =1 的渐近线方程为 y=±b ax,由已知可得两条渐近线方程互相垂直,由 双曲线的对称性可得b a =1.又正方形 OABC 的边长为 2,所以 c=2 2,所以 a2+b2=c2= (2 2)2,解得 a=2. 18.如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,F1,F2 分别为左、 右焦点,双曲线的左支上有一点 P,∠F1PF2=π 3 ,且△PF1F2 的面积为 2 3, 又双曲线的离心率为 2,求该双曲线的方程. 答案 3x2 2 -y2 2 =1 解析 设双曲线的方程为x2 a2 -y2 b2 =1,∴F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0). 在△PF1F2 中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cosπ 3 =(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|. 即 4c2=4a2+|PF1|·|PF2|. 又∵S△PF1F2=2 3,∴1 2|PF1|·|PF2|·sinπ 3 =2 3. ∴|PF1|·|PF2|=8.∴4c2=4a2+8,即 b2=2. 又∵e=c a =2,∴a2=2 3.∴所求双曲线方程为3x2 2 -y2 2 =1. 1.(2015·广东,理)已知双曲线 C:x2 a2 -y2 b2 =1 的离心率 e=5 4 ,且其右焦点为 F2(5,0),则双 曲线 C 的方程为( ) A.x2 4 -y2 3 =1 B.x2 9 -y2 16 =1 C.x2 16 -y2 9 =1 D.x2 3 -y2 4 =1 答案 C 解析 因为双曲线 C 的右焦点为 F2(5,0),所以 c=5.因为离心率 e=c a =5 4 ,所以 a=4. 又 a2+b2=c2,所以 b2=9.故双曲线 C 的方程为x2 16 -y2 9 =1. 2.(2015·天津,文)已知双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的一个焦点为 F(2,0),且双曲线的渐近 线与圆(x-2)2+y2=3 相切,则双曲线的方程为( ) A.x2 9 -y2 13 =1 B.x2 13 -y2 9 =1 C.x2 3 -y2=1 D.x2-y2 3 =1 答案 D 解析 双曲线的一条渐近线方程为 y=b ax,即 bx-ay=0. 由题意,得 c2=a2+b2, c=2, 2b b2+a2 = 3, 解得 a2=1,b2=3, 从而双曲线的方程为 x2-y2 3 =1. 3.设 F1,F2 分别为双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使得 |PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=9 4ab,则该双曲线的离心率为( ) A.4 3 B.5 3 C.9 4 D.3 答案 B 解析 由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a.又|PF1|+|PF2|=3b,所以(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1| -|PF2|)2=9b2-4a2,即 4|PF1|·|PF2|=9b2-4a2.又 4|PF1|·|PF2|=9ab,因此 9b2-4a2=9ab, 即 9 b a 2 -9b a -4=0,则 3b a +1 3b a -4 =0,解得b a =4 3 b a =-1 3 舍去 ,则双曲线的离心率 e = 1+ b a 2 =5 3. 4.若双曲线x2 a2 -y2 b2 =1 的离心率为 3,则其渐近线方程为( ) A.y=±2x B.y=± 2x C.y=±1 2x D.y=± 2 2 x 答案 B 解析 由离心率为 3,可知 c= 3a,∴b= 2a. ∴渐近线方程为 y=±b ax=± 2x,故选 B. 5.(2015·北京,理)已知双曲线x2 a2 -y2=1(a>0)的一条渐近线为 3x+y=0,则 a=________. 答案 3 3 解析 因为双曲线x2 a2 -y2=1(a>0)的一条渐近线为 y=- 3x,所以1 a = 3,故 a= 3 3 . 6.(2015·山东,文)过双曲线 C:x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直 线,交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a,则 C 的离心率为________. 答案 2+ 3 解析 设直线方程为 y=b a(x-c),由 x2 a2 -y2 b2 =1, y=b a (x-c), 得 x=a2+c2 2c ,由a2+c2 2c =2a,e=c a ,解 得 e=2+ 3(e=2- 3舍去). 7.(2017·济宁模拟)如图所示,正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A,D 为双 曲线的两个焦点,其余 4 个顶点都在双曲线上,则该双曲线的离心率是 ( ) A. 3+1 B. 3-1 C. 3 D. 2 答案 A 解析 令正六边形的边长为 m,则有|AD|=2m,|AB|=m,|BD|= 3m,该双曲线的离心率 等于 |AD| ||AB|-|BD|| = 2m 3m-m = 3+1. 8.(2013·全国Ⅰ)已知双曲线 C:x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的离心率为 5 2 ,则 C 的渐近线方程为 ( ) A.y=±1 4x B.y=±1 3x C.y=±1 2x D.y=±x 答案 C 解析 ∵e=c a = 5 2 ,∴e2=c2 a2 =a2+b2 a2 =5 4. ∴a2=4b2,b a =1 2.∴渐近线方程为 y=±1 2x. 9.(2017·山东滕州月考)已知双曲线x2 25 -y2 9 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,若双曲线的左 支上有一点 M 到右焦点 F2 的距离为 18,N 是 MF2 的中点,O 为坐标原点,则|NO|等于( ) A.2 3 B.1 C.2 D.4 答案 D 解析 由双曲线x2 25 -y2 9 =1,知 a=5,由双曲线定义|MF2|-|MF1|=2a=10,得|MF1|=8,∴ |NO|=1 2|MF1|=4. 10.(2017·湖南六校联考)已知双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,以 F1F2 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为( ) A.x2 16 -y2 9 =1 B.x2 3 -y2 4 =1 C.x2 9 -y2 16 =1 D.x2 4 -y2 3 =1 答案 C 解析 由已知可得交点(3,4)到原点 O 的距离为圆的半径,则半径 r= 32+42=5,故 c=5, a2+b2=25,又双曲线的一条渐近线 y=b ax 过点(3,4),故 3b=4a,可解得 b=4,a=3,故 选 C. 11.(2017·杭州学军中学模拟)过双曲线 C1:x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的左焦点 F 作圆 C2:x2+ y2=a2 的切线,设切点为 M,延长 FM 交双曲线 C1 于点 N.若点 M 为线段 FN 的中点,则双 曲线 C1 的离心率为( ) A. 5 B. 5 2 C. 5+1 D. 5+1 2 答案 A 解析 设双曲线 C1 的右焦点为 F1.根据题意,得|FN|=2b,|F1N|=2a.根据双曲线的定义得|FN| -|F1N|=2a⇒b=2a,则 e= 5. 12.(2017·辽宁五校协作体月考)已知 F1,F2 分别为双曲线的左、右焦点,P 为双曲线右支上 的任意一点,若|PF1|2 |PF2| 的最小值为 8a,则双曲线的离心率 e 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(1,2] C.(1, 3] D.(1,3] 答案 D 解析 设|PF2|=m(m≥c-a), 则根据双曲线的定义,得|PF1|=2a+m. 所以|PF1|2 |PF2| =(2a+m)2 m =4a2 m +4a+m≥8a,当且仅当 m=2a 时等号成立.所以 c-a≤2a, 解得 e≤3,所以 1