2020高中数学 第三章 三角恒等变换 3 10页

‎3.2　简单的三角恒等变换 学习目标：1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点、易错点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ 半角公式 ‎(1)sin＝± ，‎ ‎(2)cos＝± ，‎ ‎(3)tan＝± ，‎ ‎(4)tan＝＝＝，‎ tan＝＝＝.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)cos ＝.(　　)‎ ‎(2)存在α∈R，使得cos ＝cos α.(　　)‎ ‎(3)对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立．(　　)‎ ‎(4)若α是第一象限角，则tan ＝.(　　)‎ ‎[解析]　(1)×.只有当－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cos ＝.‎ ‎(2)√.当cos α＝－＋1时，上式成立，但一般情况下不成立．‎ ‎(3)×.当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立．‎ 10‎ ‎(4)√.若α是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan ＝成立．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2．已知180°＜α＜360°，则cos的值等于(　　)‎ A．－　　　　　　 B． C．－ D． C　[∵180°＜α＜360°，∴90°＜＜180°，‎ 又cos2＝，∴cos α＝－.]‎ ‎3．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－，cos θ＜0，则tan的值等于________．‎ ‎－3　[由sin θ＝－，cos θ＜0得cos θ＝－，‎ ‎∴tan＝＝＝ ‎＝＝－3.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 化简求值问题 ‎　(1)设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于(　　)‎ A．　　　　　　 B． C．－ D．－ ‎(2)已知π<α<，化简：‎ ＋. ‎ ‎【导学号：84352339】‎ 10‎ ‎[思路探究]　(1)先确定的范围，再由sin2＝得算式求值．‎ ‎(2)1＋cos θ＝2cos2，1－cos α＝2sin2，去根号，确定的范围，化简．‎ ‎(1)D　[(1)∵5π＜θ＜6π，∴∈，∈.‎ 又cos＝a，‎ ‎∴sin＝－＝－.‎ ‎(2)原式＝＋.‎ ‎∵π＜α＜，∴＜＜，∴cos＜0，sin＞0，‎ ‎∴原式＝＋ ‎＝－＋＝－cos.]‎ ‎[规律方法]　1.化简问题中的“三变”‎ ‎(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．‎ ‎(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．‎ ‎(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．‎ ‎2．利用半角公式求值的思路 ‎(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．‎ ‎(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．‎ ‎(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算．‎ ‎(4)下结论：结合(2)求值．‎ 10‎ 提醒：已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．已知cos θ＝－，且180°<θ<270°，求tan .‎ ‎[解]　法一：∵180°<θ<270°，∴90°<<135°，即是第二象限角，∴tan <0，‎ ‎∴tan ＝－＝－＝－2.‎ 法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角，‎ ‎∴sin θ＝－＝－＝－，‎ ‎∴tan ＝＝＝－2.‎ 三角恒等式的证明 ‎　求证：＝sin 2α.‎ ‎[思路探究]　法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；‎ 法二：cos2α不变，直接用二倍角正切公式变形．‎ ‎[证明]　法一：用正弦、余弦公式．‎ 左边＝ 10‎ ‎＝＝ ‎＝＝sincoscos α ‎＝sin αcos α＝sin 2α＝右边，‎ ‎∴原式成立．‎ 法二：用正切公式．‎ 左边＝＝cos2α·＝cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边，‎ ‎∴原式成立．‎ ‎[规律方法]　三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；‎ (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；‎ (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；‎ (4)比较法：设法证明“左边－右边＝‎0”‎或“左边/右边＝‎1”‎；‎ (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．求证：‎ ＝. ‎ ‎【导学号：84352340】‎ ‎[证明]　左边＝‎ ‎＝＝ 10‎ ‎＝＝＝＝右边．‎ 所以原等式成立.‎ 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 ‎　已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期．‎ ‎(2)求证：当x∈时，f(x)≥－. 【导学号：84352341】‎ ‎[思路探究]　→→‎ → ‎[解](1)f(x)＝cos－2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，‎ 所以T＝＝π.‎ ‎(2)证明：令t＝2x＋，因为－≤x≤，‎ 所以－≤2x＋≤，‎ 因为y＝sin t在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以f(x)≥sin＝－，得证．‎ ‎[规律方法]　三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3．已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)．‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ 10‎ ‎(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．‎ ‎[解]　(1)∵f(x)＝sin＋2sin2 ‎＝sin＋1－cos ‎＝2＋1‎ ‎＝2sin＋1‎ ‎＝2sin＋1，∴T＝＝π.‎ ‎(2)当f(x)取得最大值时，‎ sin＝1，‎ 有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴所求x的集合为.‎ 三角函数在实际问题中的应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？‎ 提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．‎ ‎2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？‎ 提示：化成y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．‎ ‎　如图321所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？‎ ‎ 【导学号：84352342】‎ 图321‎ ‎[思路探究]　→→ ‎[解]　设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，‎ ‎∴l＝OA＋AB＋OB ‎＝R＋Rsin α＋Rcos α ‎＝R(sin α＋cos α)＋R 10‎ ‎＝Rsin＋R.‎ ‎∵0<α<，∴<α＋<，‎ ‎∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝，‎ 即当α＝时，△OAB的周长最大．‎ 母题探究：1.在例4条件下，求长方形面积的最大值．‎ ‎[解]　如图所示，设∠AOB＝α，则AB＝Rsin α，OA＝Rcos α.‎ 设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，‎ ‎∴S＝2Rcos α·Rsin α＝R2·2sin αcos α＝R2sin 2α.‎ ‎∵α∈，∴2α∈(0，π)．‎ 因此，当2α＝，‎ 即α＝时，Smax＝R2.‎ 这时点A，D到点O的距离为R，‎ 矩形ABCD的面积最大值为R2.‎ ‎2．若例4中的木料改为圆心角为的扇形，并将此木料截成矩形，(如图322所示)，试求此矩形面积的最大值．‎ 图322‎ ‎[解]　如图，作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连接OE，‎ 设∠MOE＝α，α∈，在 Rt△MOE中，ME＝Rsin α，OM＝Rcos α，‎ 10‎ 在Rt△ONH中，＝tan，‎ 得ON＝NH＝Rsin α，‎ 则MN＝OM－ON＝R(cos α－sin α)，‎ 设矩形EFGH的面积为S，‎ 则S＝2ME·MN＝2R2sin α(cos α－sin α)‎ ‎＝R2(sin 2α＋cos 2α－)＝2R2sin－R2，‎ 由α∈，则＜2α＋＜，‎ 所以当2α＋＝，‎ 即α＝时，Smax＝(2－)R2.‎ ‎[规律方法]　应用三角函数解实际问题的方法及注意事项 (1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.‎ (2)注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.‎ 提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.‎ ‎ [当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．已知cos α＝，α∈，则sin 等于(　　)‎ ‎ 【导学号：84352343】‎ A．　　　　　　　　 B．－ C． D． A　[由题知∈，∴sin >0，sin ＝＝.]‎ ‎2．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是(　　)‎ A． B． C． D．π C　[f(x)＝cos x－sin x＝cosx＋.当x∈[0，a]时，x＋∈，a＋，所以结合题意可知，a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故选C.]‎ 10‎ ‎3．函数f(x)＝sin2x的最小正周期为________．‎ π　[因为f(x)＝sin2x＝，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.]‎ ‎4．设a＝sin 2°＋cos 2°，b＝1－2sin213°，c＝，则a，b，c的大小关系是________. ‎ c＜a＜b　[a＝cos 60°sin 2°＋sin 60°cos 2°＝sin 62°，‎ b＝1－2sin213°＝cos 26°＝sin 64°，‎ c＝＝sin 60°，又y＝sin x在上为增函数，‎ ‎∴c＜a＜b.]‎ ‎5．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图323所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，求cos 2θ.‎ 图323‎ ‎[解]　由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈，‎ 所以cos θ－sin θ＝.‎ 由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2，‎ 所以cos θ＋sin θ＝，‎ 所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝.‎ 10‎