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  • 2021-06-21 发布

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(江西卷)

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‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)‎ 理科数学 ‎ 第一卷 一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合M={1,2,zi},i,为虚数单位,N={3,4},则复数z=‎ A.-2i B.2i C.-4i D.4i ‎2.函数y=ln(1-x)的定义域为 A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]‎ ‎3.等比数列x,3x+3,6x+6,…..的第四项等于 A.-24 B.0 C.12 D.24‎ ‎4.总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为 ‎ 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198‎ ‎ 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481‎ A.08 B.07 C.02 D.01‎ ‎5.(x2-)5展开式中的常数项为 A.80 B.-80 C.40 D.-40‎ ‎6.若则的大小关系为 A. B.‎ C. D.‎ ‎7.阅读如下程序框图,如果输出,那么在空白矩形框中应填入的语句为 A. B. C. D.‎ ‎8.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为,那么 A.8 B.9 C.10 D.11‎ ‎9.过点引直线与曲线相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取最大值时,直线的斜率等于 ‎ A. B. C. D.‎ 9‎ ‎10.如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线,之间//,与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点,设弧的长为,,若从平行移动到,则函数的图像大致是 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎11.函数的最小正周期为为 。‎ ‎12.设,为单位向量。且,的夹角为,若,,则向量在方向上的射影为 ‎ ‎13.设函数在内可导,且,则 ‎ ‎14.抛物线的焦点为F,其准线与双曲线相交于两点,若为等边三角形,则 ‎ 三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按第一题评阅计分,本题共5分 ‎15.(1)、(坐标系与参数方程选做题)设曲线的参数方程为(为参数),若以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线的极坐标方程为 ‎ ‎(2)、(不等式选做题)在实数范围内,不等式的解集为 ‎ 四.解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.‎ (1) 求角B的大小;若a+c=1,求b的取值范围 ‎17. (本小题满分12分)正项数列{an}的前项和{an}满足:‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an;‎ ‎(2)令,数列{bn}的前项和为。证明:对于任意的,都有 9‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎ 小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队。游戏规则为:以O为起点,再从(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为.若就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队。‎ (1) 求小波参加学校合唱团的概率;‎ (2) 求的分布列和数学期望。‎ ‎19(本小题满分12分)‎ 如图,四棱锥中,,,连接并延长交于.‎ (1) 求证:;‎ (2) 求平面 与平面的夹角的余弦值.‎ 9‎ ‎20. (本小题满分13分) 如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为.‎ (1) 求椭圆的方程;‎ (2) 是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在求的值;若不存在,说明理由.‎ ‎21. (本小题满分14分)‎ ‎ 已知函数,为常数且.‎ (1) 证明:函数的图像关于直线对称;‎ (2) 若满足,但,则称为函数的二阶周期点,如果有两个二阶周期点试确定的取值范围;‎ (3) 对于(2)中的和, 设x3为函数f(f(x))的最大值点,A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0),记△ABC的面积为S(a),讨论S(a)的单调性.‎ 9‎ ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)‎ 理科数学参考答案 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。‎ ‎1.C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.B 7.C 8.A 9.B 10.D 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎ 11. 12. 13. 2 14. 6‎ 三、选做题:本大题5分。‎ ‎15. (1) (2) ‎ 四、解答题:本大题共6小题,共75分。‎ ‎16. (本小题满分12分)‎ 解:(1)由已知得 ‎ 即有 ‎ 因为,所以,又,所以,‎ 又,所以。‎ ‎(2)由余弦定理,有。‎ ‎ 因为,有。‎ ‎ 又,于是有,即有。‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎(1)解:由,得。‎ 由于是正项数列,所以。‎ 于是时,。‎ 综上,数列的通项。‎ ‎(2)证明:由于。‎ 则。‎ ‎ ‎ ‎ 。 ‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 解:(1)从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有种,时,两向量夹角为直角共有8种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为。‎ ‎ (2)两向量数量积的所有可能取值为时,有两种情形;时,有8种情形;时,有10种情形。所以的分布列为:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 9‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎。‎ ‎19.(本大题满分12分)‎ 解:(1)在中,因为是的中点,所以,‎ 故,‎ 因为,所以,‎ 从而有,‎ 故,又因为所以∥。‎ 又平面,‎ 所以故平面。‎ (1) 以点为坐标原点建立如图所示的坐标系,则,‎ (2) ‎,故 ‎ 设平面的法向量,则 ,‎ 解得,即。‎ 设平面的法向量,则,解得,‎ 9‎ 即。从而平面与平面的夹角的余弦值为。‎ ‎20.(本大题满分13分)‎ 解:(1)由在椭圆上得, ①‎ ‎ 依题设知,则 ②‎ ‎②代入①解得。‎ 故椭圆的方程为。‎ ‎(2)方法一:由题意可设的斜率为,‎ 则直线的方程为 ③‎ 代入椭圆方程并整理,得,‎ 设,则有 ‎ ④‎ 在方程③中令得,的坐标为。‎ 从而。‎ 注意到共线,则有,即有。‎ 所以 ‎ ‎ ⑤‎ ‎④代入⑤得,‎ 又,所以。故存在常数符合题意。‎ 方法二:设,则直线的方程为:,‎ 令,求得,‎ 从而直线的斜率为,‎ 9‎ 联立 ,得,‎ 则直线的斜率为:,直线的斜率为:,‎ 所以,‎ 故存在常数符合题意。‎ ‎21.(本大题满分14分)‎ ‎(1)证明:因为,有,‎ 所以函数的图像关于直线对称。‎ ‎(2)解:当时,有 ‎ 所以只有一个解,又,故0不是二阶周期点。‎ 当时,有 ‎ 所以有解集,又当时,,故中的所有点都不是二阶周期点。‎ 当时,有 ‎ 所以有四个解,又,‎ ‎,故只有是的二阶周期点。综上所述,所求 的取值范围为。‎ ‎(3)由(2)得,‎ 9‎ 因为为函数的最大值点,所以或。‎ 当时,。求导得:,‎ 所以当时,单调递增,当时单调递减;‎ 当时,,求导得:,‎ 因,从而有,‎ 所以当时单调递增。 ‎ ‎ ‎ 9‎