2020高中数学 第一章 导数及其应用 第1-2节 导数的概念及运算习题 理 苏教版选修2-2 5页

第1-2节 导数的概念及运算 ‎（答题时间：60分钟）‎ ‎1. 已知f（x）＝x2＋2xf′（1），则f′（0）等于（ ）‎ A. 0 B. －‎4 ‎‎ C. －2 D. 2‎ ‎2. 设f0（x）＝cosx，f1（x）＝f0′（x），f2（x）＝f1′（x），…，fn＋1（x）＝fn′（x），n∈N，则f2 010（x）＝（ ）‎ A. sinx B. －sinx C. cosx D. －cosx ‎3. 设函数f（x）＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的取值范围是 （ ）‎ A. [－2,2] B. [，]‎ C. [，2] D. [，2]‎ ‎4. 曲线y＝在点（1，－1）处的切线方程为（ ）‎ A. y＝x－2 B. y＝－3x＋2‎ C. y＝2x－3 D. y＝－2x＋1‎ ‎5. 已知点P在曲线F：y＝x3－x上，且曲线F在点P处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则点P的坐标为（ ）‎ A. （1,1） B. （－1,0）‎ C. （－1,0）或（1,0） D. （1,0）或（1,1）‎ ‎6. 曲线y＝xex＋2x＋1在点（0,1）处的切线方程为________________。‎ ‎7. 下图中，有一个是函数f（x）＝x3＋ax2＋（a2－1）x＋1（a∈R，a≠0）的导函数f′（x）的图象，则f（－1）＝______________。‎ ‎8. 已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x，有f（x）≥0，则的最小值为______________。‎ ‎9. 某日中午时整，甲船自处以的速度向正东行驶，乙船自的正北处以的速度向正南行驶，则当日时分时两船之距离对时间的变化率是_______________。‎ ‎10. 已知函数f（x）＝x3＋x－16。‎ ‎（1）求曲线y＝f（x）在点（2，－6）处的切线方程；‎ ‎（2）直线l为曲线y＝f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；‎ ‎（3）如果曲线y＝f（x）的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程。‎ 5‎ ‎11. 设函数f（x）＝ax－，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x－4y－12＝0。‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）证明：曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值。‎ ‎12. 已知抛物线：和：，如果直线同时是和的切线，称是和的公切线。若和有且仅有一条公切线，求的值，并写出此公切线的方程。‎ 5‎ ‎1. B 解析：∵f′（x）＝2x＋‎2f′（1），‎ ‎∴f′（1）＝2＋‎2f′（1），即f′（1）＝－2，‎ ‎∴f（x）＝x2－4x，‎ ‎∴f′（x）＝2x－4，∴f′（0）＝－4。‎ ‎2. D 解析：∵f1（x）＝（cosx）′＝－sinx，f2（x）＝（－sinx）′＝－cosx，f3（x）＝（－cosx）′＝sinx，f4（x）＝（sinx）′＝cosx，…，由此可知fn（x）的值周期性重复出现，周期为4，故f2 010（x）＝f2（x）＝－cosx。‎ ‎3. D 解析：∵f′（x）＝sinθ·x2＋cosθ·x，‎ ‎∴f′（1）＝sinθ＋cosθ＝2sin（θ＋）。‎ ‎∵θ∈[0，]，∴θ＋∈[，]。‎ ‎∴sin（θ＋）∈[，1]，∴f′（1）∈[，2]。‎ ‎4. D 解析：y′＝（）′＝，∴k＝y′|x＝1＝－2。‎ l：y＋1＝－2（x－1），即y＝－2x＋1。‎ ‎5. C 解析：设切点坐标为P（x0，y0），‎ 则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝3x－1＝2，‎ ‎∴x0＝±1，y0＝0。‎ ‎6. y＝3x＋1‎ 解析：y′＝ex＋x·ex＋2，y′|x＝0＝3，‎ ‎∴切线方程为y－1＝3（x－0），∴y＝3x＋1。‎ ‎7. 解析：∵f′（x）＝x2＋2ax＋（a2－1），‎ ‎∴导函数f′（x）的图象开口向上。‎ 又∵a≠0，∴其图象必为第（3）个图。‎ 由图象特征知f′（0）＝0，且－a＞0，∴a＝－1。‎ 故f（－1）＝－－1＋1＝－。‎ ‎8. 2 解析：∵f′（0）＝b＞0，f（x）≥0恒成立得∴0＜b2≤‎4ac且a＞0，c＞0，‎ ‎∴＝＝1＋≥1＋≥1＋＝2。‎ ‎9. 解析：设小时后两船距离为，‎ 则有。‎ ‎。‎ ‎。‎ 5‎ ‎10. 解：（1）可判定点（2，－6）在曲线y＝f（x）上。‎ ‎∵f′（x）＝（x3＋x－16）′＝3x2＋1，‎ ‎∴在点（2，－6）处的切线的斜率为k＝f′（2）＝13。‎ ‎∴切线的方程为y＝13（x－2）＋（－6），‎ 即y＝13x－32。‎ ‎（2）法一：设切点为（x0，y0），‎ 则直线l的斜率为f′（x0）＝3x＋1，‎ ‎∴直线l的方程为y＝（3x＋1）（x－x0）＋x＋x0－16，‎ 又∵直线l过点（0,0），‎ ‎∴0＝（3x＋1）（－x0）＋x＋x0－16，‎ 整理得，x＝－8，∴x0＝－2，‎ ‎∴y0＝（－2）3＋（－2）－16＝－26，‎ k＝3×（－2）2＋1＝13。‎ ‎∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为（－2，－26）。‎ 法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为（x0，y0），‎ 则k＝＝，‎ 又∵k＝f′（x0）＝3x＋1，∴＝3x＋1，‎ 解之得x0＝－2，‎ ‎∴y0＝（－2）3＋（－2）－16＝－26，‎ k＝3×（－2）2＋1＝13。‎ ‎∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为（－2，－26）。‎ ‎（3）∵切线与直线y＝－＋3垂直，‎ ‎∴切线的斜率k＝4。‎ 设切点的坐标为（x0，y0），则f′（x0）＝3x＋1＝4，‎ ‎∴x0＝±1，‎ ‎∴或 切线方程为y＝4（x－1）－14或y＝4（x＋1）－18。‎ ‎11. 解：（1）方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3。‎ 当x＝2时，y＝。又f′（x）＝a＋，‎ 于是解得故f（x）＝x－。‎ ‎（2）证明：设P（x0，y0）为曲线上任一点，‎ 由y′＝1＋知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为 y－y0＝（1＋）（x－x0），‎ 即y－（x0－）＝（1＋）（x－x0）。‎ 令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为（0，－）。‎ 令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0,2x0）。‎ 所以点P（x0，y0）处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为 5‎ S＝|－||2x0|＝6。‎ 故曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6。‎ ‎ 12. 解：设抛物线上的切点为，‎ 则在点处切线的斜率为，‎ 所以抛物线在点处的切线方程是：。‎ 即…………………①‎ 同理，设曲线上的切点为，‎ 则曲线在点处的切线方程是………………②‎ 如果直线是过和的公切线，则①式和②式都是的方程，则 消去得方程。‎ 若判别式时，即时，得，此时点和重合。‎ 即当时，和有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为。‎ 5‎