2019-2020学年高中数学课时作业1平面直角坐标系与曲线方程北师大版选修4- 6页

课时作业(一)‎ ‎1．点B(1，－2)关于点A(－1，1)的对称点P′的坐标为(　　)‎ A．(3，4)　　　　　　　　　 B．(－3，4)‎ C．(3，－4) D．(－3，－4)‎ 答案　B 解析　设P′(x，y)，则 所以故选B.‎ ‎2．方程(x2－3)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是(　　)‎ A．两个点 B．四个点 C．两条直线 D．四条直线 答案　B 解析　由(x2－3)2＋(y2－4)2＝0得，‎ x2－3＝0且y2－4＝0，所以x＝±3且y＝±2，‎ 所以方程表示的图形是四个点，‎ 故选B.‎ ‎3．已知△ABC中，A(4，－3)，B(5，－2)，重心G(2，－1)，则点C的坐标为(　　)‎ A．(－3，2) B．(3，－2)‎ C．(2，－3) D．(－2，3)‎ 答案　A 解析　设点C(x，y)，线段AB的中点为D(，－)，‎ 依题意得＝2，‎ 即(x－2，y＋1)＝2(2－，－1＋)，‎ 所以 解得所以C(－3，2)为所求．‎ ‎4．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2，2)的距离，则点P的轨迹是(　　)‎ A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案　A 6‎ 解析　因为M(2，2)在直线x＋y－4＝0上，所以点P的轨迹是过M与直线x＋y－4＝0垂直的直线．选A.‎ ‎5．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于(　　)‎ A．π B．4π C．8π D．9π 答案　B 解析　设P(x，y)，则＝2，‎ 化简得x2＋y2－4x＝0，‎ 即(x－2)2＋y2＝4，‎ 图形为以(2，0)为圆心，2为半径的圆，‎ 面积S＝4π.故选B.‎ ‎6.如图所示的曲线方程是(　　)‎ A．|x|－y＝0‎ B．x－|y|＝0‎ C．x－1＝|y|‎ D．|x|－1＝y 答案　B 解析　由图像知：一个x对应两个y值且y可以为0.‎ ‎7．已知等腰△ABC中，∠C＝90°，A(－1，0)，B(3，2)，则点C的坐标为(　　)‎ A．(3，－3) B．(0，3)或(3，－3)‎ C．(2，－1) D．(0，3)或(2，－1)‎ 答案　D 解析　若点C(3，－3)，则·＝(4，－3)·(0，－5)＝15≠0，‎ 所以不满足AC⊥BC，排除A、B项；‎ 若点C(2，－1)，则 ·＝(3，－1)·(－1，－3)＝0，所以AC⊥BC，又|CA|2＝|CB|2＝10，故C(2，－1)满足题意，由于AB的中点坐标为(1，1)，由对称性，得另一点C的坐标为(0，3)．‎ ‎8．已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为(　　)‎ A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x 答案　B 6‎ 解析　设P(x，y)，‎ 又由M(－2，0)，N(2，0)，‎ 则＝(4，0)，||＝4，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)‎ 又由||·||＋·＝0，‎ 则4＋4(x－2)＝0，‎ 化简整理得y2＝－8x.‎ ‎9．在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影部分区域内，则探测目标可能的坐标是________．‎ ‎①(9，600)；②(7，－500)；③(－3，300)；④(－2，－800)．‎ 答案　③‎ 解析　由图可知，阴影部分区域在第二象限，即探测目标应该是第二象限的点，则探测目标可能的坐标是(－3，300)．‎ ‎10．已知点P(x，y)在第四象限，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则P点坐标为________．‎ 答案　(1，－2)‎ 解析　∵点P(x，y)到x轴距离为2，到y轴距离为1，‎ ‎∴|y|＝2，|x|＝1.‎ 又∵P(x，y)在第四象限，x>0，y<0，‎ ‎∴x＝1，y＝－2，即P点坐标为(1，－2)．‎ ‎11．已知等边△ABC的两顶点坐标为A(2，0)，B(－4，0)，则点C的坐标为________．‎ 答案　(－1，3)或(－1，－3)‎ 解析　如图，设C点坐标为(a，b)，过C作CD⊥BA于D，‎ ‎∴|DA|＝|AB|，又|AB|＝6，‎ ‎∴|DA|＝3，|OD|＝|AD|－|AO|＝3－2＝1，‎ 6‎ 又∵|CD|＝|AB|＝×6＝3，‎ ‎∴a＝－1，b＝±3，‎ ‎∴C点坐标为(－1，3)或(－1，－3)．‎ ‎12．一动点在圆x2＋y2＝1上移动，它与定点(3，0)连线的中点的轨迹方程是________．‎ 答案　(2x－3)2＋4y2＝1‎ 解析　设中点P(x，y)，圆上动点M(x0，y0)‎ 则且x02＋y02＝1.‎ 所以代入x02＋y02＝1，得(2x－3)2＋(2y)2＝1.‎ 故中点P的轨迹方程是(2x－3)2＋4y2＝1.‎ ‎13．平面内有一固定线段AB，|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|OP|的最小值是________．‎ 答案　 解析　以AB的中点O为原点，‎ AB所在的直线为x轴，‎ 建立平面直角坐标系，如图，‎ 则P点的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支．‎ 所以2c＝4，2a＝3，所以c＝2，a＝.‎ 所以b2＝c2－a2＝4－＝.‎ 所以点P的轨迹方程为－＝1(x≥)．‎ 由图可知，P点为双曲线的右顶点时，|OP|最小，‎ 且|OP|min＝.‎ ‎14．在△ABC中，已知A(4，2)，B(3，5)，|AB|＝|AC|，则点C的轨迹方程为________．‎ 6‎ 答案　(x－4)2＋(y－2)2＝10(去掉(3，5)，(5，－1)两点)‎ 解析　设C(x，y)，则由|AB|＝|AC|‎ 可得＝，‎ 化简得(x－4)2＋(y－2)2＝10.‎ 又因为A，B，C三点不共线，‎ 所以(x－4)2＋(y－2)2＝10(去掉(3，5)，(5，－1)两点)．‎ ‎15．已知M为等腰△ABC底边BC上的任意一点．‎ 求证：|AB|2＝|AM|2＋|BM|·|MC|.‎ 证明　取BC的中点O为坐标原点，OA所在直线为y轴，建立如图的直角坐标系．‎ 设A(0，b)，B(－a，0)，则C(a，0)，‎ 从而|AB|2＝a2＋b2.‎ 令M的坐标为(x，0)(－a≤x≤a)，‎ 则|AM|2＋|BM|·|MC|＝x2＋b2＋(a＋x)(a－x)‎ ‎＝x2＋b2＋a2－x2‎ ‎＝a2＋b2.‎ 所以|AB|2＝|AM|2＋|BM|·|MC|.‎ ‎1．在△ABC中，底边BC长为8，顶点A到B、C两点距离之和为10，则顶点A的轨迹为(　　)‎ A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 答案　C ‎2．在体育场排练团体操，甲、乙两名同学所在位置的坐标分别为(2，1)、(3，2)，丙同学所在位置的坐标为(5，a)．若这三名同学所在位置是在一条直线，则a的值为________．‎ 答案　4‎ 解析　设A(2，1)、B(3，2)、C(5，a)，则过A、B两点的直线方程为＝，即y＝x－1，∵点C在直线AB上，∴a＝5－1＝4.‎ ‎3．定义运算：＝ad－bc，则符合条件＝0的点P(x，y)的轨迹方程为________．‎ 答案　(x－1)2＋4y2＝1‎ 解析　由定义运算＝ad－bc，∴＝0，‎ 得到(x－1)2－(1－4y2)＝0.∴(x－1)2＋4y2＝1.‎ ‎4．已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A(0，2‎ 6‎ ‎)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．‎ 解析　设点M(x，y)是曲线上的任意一点，根据题意，得它到x轴的距离是y，所以－y＝2，化简整理可得y＝x2.‎ 因为曲线在x轴的上方，y<0，虽然原点O的坐标(0，0)满足方程y＝x2，但不属于已知曲线，‎ 所以所求曲线方程为y＝x2(x≠0)．‎ ‎5．有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地的运费的3倍，已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．‎ 解析　如右图，以A、B所在的直线为x轴，‎ AB中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，‎ 则A(－5，0)，B(5，0)．‎ 设某地P的坐标为(x，y)，且P地居民选择到A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a元/公里，B地的运费为a元/公里．‎ 价格＋运费×到A地的距离≤价格＋运费×到B地的距离，即3a≤a.‎ ‎∵a>0，∴3≤.‎ 即(x＋)2＋y2≤()2.‎ ‎∴以点C(－，0)为圆心，为半径的圆是这两地购货的分界线．‎ 圆C内的居民从A地购货便宜．‎ 圆C外的居民从B地购货便宜．‎ 圆C上的居民从A、B两地购货的总费用相等，因此，可随意从A、B两地之一购货．‎ 6‎