2013届人教A版理科数学课时试题及解析（19）三角函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质及三角函数模型的简单应用B 7页

课时作业(十九)B　 ‎[时间：45分钟　　分值：100分]‎ ‎1．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)‎ A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝ C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝ ‎2．将函数y＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍长度，再向右平移个单位长度，所得到的图象解析式是(　　)‎ A．f(x)＝sinx B．f(x)＝cosx C．f(x)＝sin4x D．f(x)＝cos4x ‎3． 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图K19－3所示，则f(x)的解析式是(　　)‎ 图K19－3‎ A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin ‎4．有一种波，其波形为函数y＝sin的图象，若在区间[0，t](t>0)上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．‎ ‎5．若函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)的最小正周期为π，则它的图象的一个对称中心为(　　)‎ A. B. C．(0,0) D. ‎6．已知函数f(x)＝sin，g(x)＝cos，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．函数y＝f(x)·g(x)的周期为2‎ B．函数y＝f(x)·g(x)的最大值为1‎ C．将f(x)的图象向左平移个单位后得到g(x)的图象 D．将f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)的图象 ‎7． 设函数f(x)＝2cosx－，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为(　　)‎ A．4 B．‎2 C．1 D. 图K19－4‎ ‎8． 设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图K19－4所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f的值为(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D. ‎9．将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位得函数g(x)的图象，再将g(x)的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到h(x)的图象，则g(x)与h(x)的解析式分别为(　　)‎ A．g(x)＝sin，h(x)＝sin B．g(x)＝sin2x，h(x)＝sinx C．g(x)＝sin，h(x)＝sin D．g(x)＝sin2x，h(x)＝sin4x 图K19－5‎ ‎10．如图K19－5所示的是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA>0，ω>0，|φ|∈0，图象的一部分，则f＝________.‎ ‎11．某同学利用描点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，列出的一组数据如下表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎－1‎ ‎－2‎ 经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式应是________．‎ ‎12． 已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．‎ ‎13． 若函数y＝f(x)同时具有下列三个性质：(1)最小正周期为π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在区间上是增函数，则y＝f(x)的解析式可以是________．‎ ‎14．(10分) 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)当x∈时，求f(x)的值域．‎ ‎15．(13分)图K19－6是某简谐运动的一段图象，它的函数模型是f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x≥0)，其中A>0，ω>0，－<φ<.‎ ‎(1)根据图象求函数y＝f(x)的解析式；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在上的最大值和最小值．‎ 图K19－6‎ ‎16．(12分)如图K19－7是某简谐运动的一段图象，其函数模型是f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x≥0)，其中A>0，ω>0，－<φ<.‎ ‎(1)根据图象求函数y＝f(x)的解析式；‎ ‎(2)若函数g(x)＝f，实数α满足0<α<π，且g(x)dx＝3，求α的值．‎ 图K19－7‎ 课时作业(十九)B ‎【基础热身】‎ ‎1．A　[解析] ∵图象过点(0,1)，∴2sinφ＝1，即sinφ＝，‎ ‎∵|φ|<，∴φ＝，T＝＝6，故选A.‎ ‎2．A　[解析] 将函数y＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin的图象；再向右平移个单位长度，得到函数y＝sinx的图象，故选A.‎ ‎3．B　[解析] 显然A＝1，＝4＝π，所以ω＝2，令2×＋φ＝，得φ＝，故选B.‎ ‎4．5　[解析] ∵函数y＝sin的周期T＝4，y＝sin的图象在[0，t]上至少有2个波峰，‎ ‎∴t≥T＝5，故正整数t的最小值是5.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．A　[解析] f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin，则这个函数的最小正周期是，令＝π，解得ω＝2，即函数f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin，‎ 把选项代入检验，点为其一个对称中心，故选A.‎ ‎6．D　[解析] f(x)＝cosx，g(x)＝sinx，f(x)g(x)＝cosxsinx＝sin2x，故选项A、B中的结论都不正确；‎ 把f(x)＝cosx的图象左移个单位后，得到的是函数y＝cos＝－sinx的图象；‎ 把f(x)＝cosx的图象右移个单位后，得到的是函数y＝cos＝sinx的图象，即g(x)的图象，故选D.‎ ‎7．B　[解析] 由已知函数解析式，得周期T＝＝4；‎ 因为对于任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则f(x1)、f(x2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，故|x1－x 2|的最小值为T＝2，故选B.‎ ‎8．D　[解析] 由KL＝1，得周期T＝2，则ω＝＝π；‎ 由△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，‎ 得A＝|KL|＝；‎ 由f(x)是偶函数，得φ＝，即f(x)＝sin，‎ ‎∴f＝sin＝sin＝，故选D.‎ ‎9．B　[解析] 将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位，得y＝sin＝sin2x的图象，即g(x)＝sin2x，‎ 再将g(x)的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得y＝sinx的图象，即h(x)＝sinx，故选B.‎ ‎10．3　[解析] 由于最大值和最小值之差等于4，故A＝2，B＝1.‎ 由于2＝2sinφ＋1，且|φ|∈，得φ＝.‎ 由图象知ω(－π)＋φ＝2kπ－，‎ 得ω＝－2k＋(k∈Z)．‎ 又>2π，∴0<ω<1.∴ω＝.‎ ‎∴函数f(x)的解析式是f(x)＝2sin＋1.‎ ‎∴f＝2sin＋1＝3.‎ ‎11．y＝2sin　[解析] ∵(0,1)和(2,1)关于直线x＝1对称，故x＝1与函数图象的交点应是最高点或最低点，故数据(1,0)错误，从而由(4，－2)在图象上知A＝2，由过(0,1)点知2sinφ＝1，‎ ‎∵－<φ<，∴φ＝，‎ ‎∴y＝2sin，再将点(2,1)代入得，‎ ‎2sin＝1，‎ ‎∴2ω＋＝＋2kπ或2ω＋＝＋2kπ，k∈Z，‎ ‎∵0<ω<2，∴ω＝，‎ ‎∴函数解析式为y＝2sin.‎ ‎12.　[解析] 由题意知，ω＝2，因为x∈，所以2x－∈，由三角函数图象知：f(x)的最小值为3sin＝－，最大值为3sin＝3，所以f(x)的取值范围是.‎ ‎13．f(x)＝sin(答案不唯一)　[解析] 选择f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)，由函数的最小正周期为π，得ω＝2；‎ 由图象关于直线x＝对称，得＋φ＝＋kπ，k∈Z，‎ 取k＝0，得φ＝－，则f(x)＝sin，满足在区间上是增函数．‎ ‎(说明本题的答案不唯一，y＝f(x)的解析式也可以是f(x)＝cos等)．‎ ‎14．[解答] (1)由最低点为M得，A＝2.‎ 由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得，＝，即T＝π，所以ω＝＝＝2.‎ 由点M在函数f(x)的图象上得，2sin＝－2，‎ 即sin＝－1.‎ 故＋φ＝2kπ－，k∈Z，‎ 所以φ＝2kπ－(k∈Z)．‎ 又φ∈，‎ 所以φ＝，故f(x)的解析式为f(x)＝2sin.‎ ‎(2)因为x∈，所以2x＋∈.‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1.‎ 故函数f(x)的值域为[－1,2]．‎ ‎15．[解答] (1)由函数图象及函数模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)知A＝2；‎ 由＝T＝－＝4π，得ω＝，‎ 由最高点得，×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又－<φ<，‎ ‎∴φ＝－.‎ ‎∴所求函数解析式为y＝f(x)＝2sin(x≥0)．‎ ‎(2)解法一：将y＝f(x)＝2sin图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝g(x)＝2sin的图象，‎ ‎∵≤x≤π，∴≤x－≤，‎ 当x－＝，即x＝时，g(x)有最大值2；‎ 当x－＝，即x＝π时，g(x)有最小值1.‎ 解法二：将y＝f(x)＝2sin图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝g(x)＝2sin的图象，‎ 令t＝x－，∵函数y＝2sint的单调递增区间是，k∈Z，‎ 由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，‎ 设A＝，π，B＝x，则，‎ A∩B＝，‎ ‎∴函数y＝g(x)在区间上单调递增，‎ 同理可得，函数y＝g(x)在区间上单调递减．‎ 又∵g＝，g＝2，g(π)＝1，‎ ‎∴函数y＝g(x)在上的最大值为2，最小值为1.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16．[解答] (1)由函数图象及函数模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)，知A＝2；‎ 由T＝－＝π，得T＝2π，‎ ‎∴ω＝＝1，即f(x)＝2sin(x＋φ)，‎ 把(0，－1)代入上式，得sinφ＝－，‎ ‎∵－<φ<，∴φ＝－，‎ ‎∴所求函数y＝f(x)的解析式为y＝f(x)＝2sin.‎ ‎(2)由(1)知g(x)＝f＝2sinx，‎ ‎∵g(x)dx＝3，‎ ‎∴2sinxdx＝－2cosx＝－2cosπ－(－2cosα)＝3，‎ 解得cosα＝，‎ 又实数α满足0<α<π，则所求α的值为.‎ ‎ ‎