高中数学必修1教案：第四章（第30课时）正切函数的图象和性质（2） 11页

课 题：410正切函数的图象和性质（2）‎ 教学目的：‎ ‎1掌握正切函数的性质；‎ ‎2掌握性质的简单应用；‎ ‎3会解决一些实际问题 教学重点：正切函数的性质的应用．‎ 教学难点：灵活应用正切函数的性质解决相关问题．‎ 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ 正切线：‎ 首先练习正切线，画出下列各角的正切线：正切线是AT．‎ 正切函数，且的图象，称“正切曲线”‎ 余切函数y＝cotx，x∈(kπ，kπ+π)，k∈Z的图象（余切曲线）‎ 正切函数的性质： ‎ ‎1．定义域：，‎ ‎2．值域：R ‎ ‎3．当时，当时 ‎4．周期性：‎ ‎5．奇偶性：奇函数 ‎6．单调性：在开区间内，函数单调递增 余切函数y＝cotx，x∈(kπ，kπ+π)，k∈Z的性质：‎ ‎1．定义域：‎ ‎2．值域：R，‎ ‎3．当时，当时 ‎4．周期： ‎ ‎5．奇偶性：奇函数 ‎6．单调性：在区间上函数单调递减 二、讲解范例：‎ 例1 用图象解不等式 解：利用图象知，所求解为 亦可利用单位圆求解 例2求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性 解：由得，‎ 所求定义域为 ‎ 值域为R，周期，是非奇非偶函数 在区间上是增函数 例3作出函数且的简图 解：‎ 例4求下列函数的定义域 ‎1、 2、‎ 解：1、‎ ‎2‎ 例5 已知函数y=sin2x+cos2x-2 ‎ ‎(1)用“五点法”作出函数在一个周期内的图象 ‎ ‎(2)求这个函数的周期和单调区间 ‎ ‎(3)求函数图象的对称轴方程 ‎ ‎(4)说明图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的 ‎ 解：y=sin2x+cos2x-2=2sin(2x+)-2‎ ‎(1)列表 ‎ x ‎0‎ ‎2‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎-2‎ ‎-4‎ ‎-2‎ 其图象如图示 ‎ ‎(2)=π ‎ 由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，知函数的单调增区间为 ‎ ‎［-π+kπ,+kπ］,k∈Z ‎ 由+2kπ≤2x+≤π+2kπ，知函数的单调减区间为 ‎ ‎［+kπ,π+kπ］,k∈Z ‎ ‎(3)由2x+=+kπ得x=+π ‎ ‎∴函数图象的对称轴方程为x=+π,(k∈Z) ‎ ‎(4)把函数y1=sinx的图象上所有点向左平移个单位，得到函数 y2=sin(x+)的图象； ‎ 再把y2图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y3=sin (2x+)的图象； ‎ 再把y3图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y4=2sin (2x+)的图象； ‎ 最后把y4图象上所有点向下平移2个单位，得到函数y=2sin (2x+)-2的图象 ‎ 评注：(1)求函数的周期、单调区间、最值等问题，一般都要化成一个角的三角函数形式 ‎ ‎(2)对于函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴，实际上就是使函数y取得最大值或最小值时的x值 ‎ ‎(3)第(4)问的变换方法不惟一，但必须特别注意平移变换与伸缩变换的先后顺序！‎ 例6 如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+B ‎ ‎(1)求这段时间的最大温差； ‎ ‎(2)写出这段曲线的函数解析式 ‎ 解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是30-10=20(℃) ‎ ‎(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+B的半个周期的图象 ‎ ‎∴·=14-6ω= ‎ 又由图可得 ‎ ‎∴y=10sin(x+φ)+20 ‎ 将x=6，y=10代入上式得：sin(π+φ)=-1 ‎ ‎∴ ‎ 故所求的解析式为 ‎ y=10sin(x+π)+20，x∈［6,14］ ‎ 评注：①本题以应用题的形式考查热点题型，设计新颖别致，匠心独具 ‎ ‎②此类“由已知条件或图象求函数的解析式”的题目，实质上是用“待定系数法”确定A，ω，φ和B，它们的计算方法为： ‎ ω与周期有关，可通过T=求得，而关键一步在于如何确定φ？通常是将图象上已知点的坐标代入函数解析式，得到一个关于φ的简单三角方程，但φ到底取何值值得考虑若得方程sinφ=，那么φ是取，还是取π呢？这就要看所代入的点是在上升的曲线上，还是在下降的曲线上，若在上升的曲线上，φ就取，否则就取π，而不能同时取两个值 例7 a为何值时，方程sin2x+2sinxcosx-2cos2x=a有实数解 ‎ 分析：所给方程的特征较明显，即是关于sinx与cosx的奇式方程，通过变形就可化为以tanx为变元的一元二次方程，从而据判别式进行求解 ‎ 解法一：原方程可化为： ‎ sin2x+2sinxcosx-2cos2x=a(sin2x+cos2x) ‎ 即(1-a)sin2x+2sinxcosx-(2+a)cos2x=0 ‎ ‎(1)当a≠1时，∵cosx≠0, ‎ ‎∴方程两边同除以cos2x得(1-a)tan 2x+2tanx-(2+a)=0 ‎ ‎∵tanx∈R∴Δ≥0即4+4(1-a)(2+a)≥0 ‎ 即a2+a-3≤0又a≠1, ‎ ‎∴a∈［,1］∪(1,］ ‎ ‎(2)当a=1时，原方程化为2sinxcosx-3cos2x=0, ‎ 此方程有实根 ‎ 综合(1)、(2)可得a∈［,］时，原方程有实数根 ‎ 解法二：(用函数观点) ‎ 当实数a取函数y=sin2x+2sinxcosx-2cos2x 值域中的数值时，原方程有实根因此，求a的范围，实质上就是求上述函数的值域 ‎ ‎∵y=sin2x+2sinxcosx-2cos2x =1+sin2x-3cos2x ‎ ‎=1+sin2x-(1+cos2x) =sin2x-cos2x-‎ ‎=sin(2x-φ)- 其中 ‎ ‎∴y∈［］ ‎ 即a∈［］时，原方程有实数根 ‎ 评注：解法一是常规解法，解法二利用了变换的观点通过函数思想来解方程函数与方程是数学中两个重要的概念，在解决数学问题时，如能灵活运用，将使解答具有创造性 EF EF 例8 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室(如图所示)，ABCD是一块边长为50 m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40 m，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中G、M分别在AB和AD上，H在 上设矩形AGHM的面积为S，∠HCF=θ，请将S表示为θ的函数，并指出当点H在 的何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少？ ‎ 分析：主要考查学生解决实际问题的能力及函数最值的求解 ‎ 解：延长GH交CD于N，则NH=40 sinθ,CN=40 cosθ ‎ ‎∴HM=ND=50-40 cosθ,AM=50-40 sinθ ‎ 故S=(50-40 cosθ)(50-40 sinθ) ‎ ‎=100［25-20(sinθ+cosθ)+16sinθcosθ］(0≤θ≤)‎ 令t=sinθ+cosθ=sin(θ+) ‎ 则sinθcosθ=且t∈［1, ］ ‎ ‎∴S=100［25-20t+8(t2-1)］=800(t-)2+450 ‎ 又t∈［1, ］∴当t=1时，Smax=500 ‎ 此时sin(θ+)=1sin (θ+)= ‎ ‎∵≤θ+≤π ∴θ+=或π ‎ 即θ=0或θ= ‎ EF 答：当点H在 的端点E或F处时，该健身室的面积最大，最大值是500 m2‎ 三、课堂练习：‎ ‎1．利用单位圆中的三角函数线：‎ ‎（1）证明当0＜x＜时tanx＞x，（2）解方程tanx＝x，（－＜x＜）．‎ ‎（1）证明：如图x＝AP，角x的正切线为AT 即tanx＝AＴ，由Ｓ扇形AOP＜Ｓ△ＯAＴ 即 ‎∴x＜tanx（0＜x＜）‎ 又由于y＝x与y＝tanx为奇函数，当0＜x＜时，x＜tanx ‎（2）解：由（1）结论，得∴当－＜x＜0时x＞tanx 又x＝0是方程x＝tanx的解 因此方程x＝tanx在（－，）内有惟一解即x＝0 ‎2．已知f(x)=tanx，对于x1，x2∈（0，）且x1≠x2试证 证明：∵0＜x1＜ 0＜x2＜‎ ‎∴－＜x1－x2＜且x1≠x2 ∴cos（x1－x2）＜1‎ 即1＋cos（x1＋x2）＞2cosx1cosx2 ，‎ ‎ ‎ 说明：通过本题的证明可知函数y＝tanx的图象，当x∈（0，）时是下凸的，同样可以证明函数y＝tanx的图象当x∈（－，0）时是上凸的 ‎3．求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期、并作出它在区间［－π，π］内的图象 解：（1）要使函数y＝tan2x有意义，必须且只须2x≠＋ｋπ，ｋ∈Z 即x≠＋，ｋ∈Z ‎∴函数y＝tan2x的定义域为｛x∈R｜，x≠，ｋ∈Z｝‎ ‎（2）设ｔ＝2x，由x≠，ｋ∈Z｝知ｔ≠＋ｋπ，ｋ∈Z ‎∴y＝tanｔ的值域为（－∞，＋∞）‎ 即y＝tan2x的值域为（－∞，＋∞）‎ ‎（3）由tan2（x＋）＝tan（2x＋π）＝tan2x ‎∴y＝tan2x的周期为．‎ ‎（4）函数y＝tan2x在区间［－π，π］的图象如图 四、小结： 讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如y＝tan(ωx)，x≠ (k∈Z ‎)的周期T＝；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的 五、课后作业：‎ ‎1函数y＝的定义域是( )‎ A｛x｜0＜x≤） B｛x｜2kπ＜x≤2kπ＋，k∈Z C｛x｜kπ＜x≤kπ＋，k∈Z D｛x｜kπ－＜x≤kπ＋，k∈Z 解析：由logtanx≥0，得0＜tanx≤1‎ 根据y＝tanx在x∈(－，)上的图象可知0＜x≤‎ 结合周期性，可知原函数的定义域为：｛x｜kπ＜x≤kπ＋，k∈Z｝‎ 答案：C ‎2求函数y＝的定义域 解：∵cotxsinx＝·sinx＝cosx ‎∴函数的定义域由确定 解之得2kπ-≤x≤2kπ＋，且x≠kπ，(k∈Z)‎ 从而原函数的定义域为：［2kπ－，2kπ∪(2kπ，2kπ＋ (k∈Z)‎ ‎3如果α、β∈(，π)且tanα＜cotβ，那么必有( )‎ Aα＜β Bβ＜α Cα＋β＜ Dα＋β＞‎ 解：tanα＜cotβtanα＜tan(－β ‎∵α、β∈(，π)，－β∈(，π)‎ 又∵y＝tanx在(，π)上是增函数 ‎∴α＜－β 即α＋β＜‎ 答案：C ‎4函数y＝lg(tanx)的增函数区间是( )‎ A(kπ－，kπ＋)(k∈Z) B(kπ，kπ＋)(k∈Z)‎ C(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z) D(kπ，kπ＋π)(k∈Z)‎ 解：函数y＝lg(tanx)为复合函数，要求其增函数区间则要满足tanx＞0，且y＝tanx是增函数的区间 解之得kπ＜x＜kπ＋ (k∈Z)‎ ‎∴原函数的增函数区间为：(kπ，kπ＋)(k∈Z)‎ 答案：B ‎5试讨论函数y＝logatanx的单调性 解：y＝logatanx可视为y＝logau与u＝tanx复合而成的，复合的条件为tanx＞0，‎ 即x∈(kπ，kπ＋)(k∈Z)‎ ‎①当a＞1时，y＝logau在u∈(0，＋∞)上单调递增；‎ 当x∈(kπ，kπ＋)时，u＝tanx是单调递增的，‎ ‎∴y＝logatanx在x∈(kπ，kπ＋)(k∈Z)上是单调增函数 ‎②当0＜a＜1时，y＝logau在u∈(0，＋∞)上单调递减；‎ 当x∈(kπ，kπ＋)时，u＝tanx是单调递增的 ‎∴y＝logatanx在x∈(kπ，kπ＋)(k∈Z)上是单调减函数 故当a＞1时，y＝logatanx在x∈(kπ，kπ＋)(k∈Z)上单调递增；‎ 当0＜a＜1时，y＝logatanx在x∈(kπ，kπ＋)(k∈Z)上单调递减；‎ 六、板书设计（略）‎ 七、课后记： ‎