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- 2021-06-22 发布
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高二第二学期承智班第2次考试数学试题
一、单选题
1.已知直线与椭圆交于、两点,与圆交于、两点.若存在,使得,则椭圆的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
2.定义在上的函数满足(其中为的导函数),若,则下列各式成立的是( )
A. B. C. D.
3.设实数,若对任意的,不等式恒成立,则的最大值是( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线()与双曲线(,)有相同的焦点,点是两条曲线的一个交点,且轴,则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是( )
A. B. C. D.
5.我国南北朝时间著名数学家祖暅提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所载,若截得的两个截面面积总相等,则这两个几何体的体积相等.为计算球的体积,构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,然后再圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,运用祖暅原理可证明此几何体与半球体积相等(任何一个平面所载的两个截面面积都相等).将椭圆 绕
- 8 -
轴旋转一周后得一橄榄状的几何体,类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线,过点的直线与抛物线交于,两点,交轴于点,若,,则实数的取值是( )
A. B. C. D. 与有关
7.若函数有两个极值点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在三棱锥中,是边长为2的等边三角形,,,则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
9.己知函数,关于的方程恰好有三个不同的实数解,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.若函数在区间有一个极大值和一个极小值,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
- 8 -
11.如图,在中,、分别是、的中点,若(,),且点落在四边形内(含边界),则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.已知,分别是双曲线:(,)的左、右焦点,若上存在一点使得,则的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则_____.
14.已知是双曲线(,)的右焦点,是双曲线上位于第一象限内的一点,,直线的方程为,则双曲线的离心率为__________.
15.已知数列的前项和为,,若数列是公差为2的等差数列,则数列的通项公式为__________.
16.已知等比数列的首项是1,公比为3,等差数列的首项是,公差为1,把
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中的各项按如下规则依次插入到的每相邻两项之间,构成新数列:,,,,,,,,,,…,即在和两项之间依次插入中个项,则__________.(用数字作答)
三、解答题
17.已知函数.
(1)若,求函数的极值点;
(2)若,函数有两个极值点,,且,
求证: .
18.已知抛物线,且,,三点中恰有两点在抛物线上,另一点是抛物线的焦点.
(1)求证:、、三点共线;
(2)若直线过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点,点到轴的距离为,点到轴的距离为,求的最小值.
19.已知函数,曲线在点处的切线方程为.
(1)求,的值;
(2)证明:.
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参考答案
CDDDC BBABA
11.C
12.C
13.或
14.
15.
16.
17.(1)见解析;(2)见解析
(1)的定义域为,,
①若,则,
所以当时,,
所以在上单调递增,
所以无极值点.
②若,则,
由得,.
当的值变化时,,的值的变化情况如下:
+
0
-
0
+
极大值
极小值
- 8 -
所以有极大值点,极小值点
(2)由(1)及条件可知
,
且,,即,,
所以 ,
记,,
因为当时, ,
所以在上单调递减,
因为,所以,即.
18.(1)见解析;(2)8.
(1)由条件,可知,在抛物线上,是抛物线的焦点.
所以 解得
所以,,,
所以,,所以,
所以、、三点共线.
- 8 -
(2)由条件可知,可设,
代入,得,
,解得.
设,,则,
所以 ,
当且仅当,即或时,
19.(1)(2)见解析
(1)解:由已知得,
因为,所以.
(2)证明:由(1)知,
所以.
设,,要证,即要证在恒成立.
因为,所以在上为增函数,在上为减函数,
所以.①
又,所以在上为减函数,在上为增函数,
所以.②
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由于不等式①,②不能同时取等号,故,
所以,成立.
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