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- 2021-06-22 发布
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简单的线性规划问题
(答题时间:40分钟)
*1. 设z=2y-2x+4,式中的x,y满足条件,则z的取值范围是________。
*2. 某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种至少买两套,共有________种买法。
*3. 在二元一次方程组表示的平面区域内,使得x+2y取得最小值的整点坐标为________。
**4. 已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2。若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值,则a的取值范围为________。
**5. 如果点P在平面区域内,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为________。
**6 . 一批长400 cm的条形钢材,需要将其截成518 mm与698 mm的两种毛坯,则钢材的最大利用率为________。
**7. 已知变量x,y满足,
(1)设y=-2x+p,求p的最大值和最小值;
(2)求的取值范围;
(3)求x2+y2的取值范围。
**8. 已知实数x,y满足,若目标函数z=x-y的最小值的取值范围是[-2,-1],求目标函数的最大值的取值范围。
***9. 某家具厂有方木料90 m3,木工板600 m3,准备加工成书桌和书橱出售,已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3,木工板2 m3;生产每个书橱需要方木料0.2 m3,木工板1 m3
5
,出售一张书桌可以获利80元,出售一张书橱可以获利120元。问:怎样安排生产可以获利最大?
5
1. [4,8]
解析:作出满足不等式组的可行域(如图所示)。
作直线2y-2x=0,并将其平移,
由图象可知当直线经过点A(0,2)时,zmax=2×2-2×0+4=8;
当直线经过点B(1,1)时,zmin=2×1-2×1+4=4。
所以z的取值范围是[4,8]。
2. 16
解析:设票面8角的买x套,票面2元的买y套。由题意得:
即
画出如图平面区域得
y=2时,x=2,3,4,5,6,7,8;
y=3时,x=2,3,4,5,6;
y=4时,x=2,3,4;
y=5时,x=2。
共有7+5+3+1=16种买法。
3. (-1,-2)
解析:不等式组表示的平面区域如图所示:
∵平面区域不包括边界,
5
∴平面区域内的整点共有(-1,-1),(-1,-2),(-2,-1)三个。
代入检验知,整点为(-1,-2)时,x+2y取得最小值。
4. (1,+∞)
解析:由题设知可行域为如图所示的矩形,要使目标函数z=ax+y在点(3,1)处取得最大值,结合图形可知a>1。
5. -1
解析:首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x2+(y+2)2=1,如图所示,从而可知点P到Q的距离最小值是可行域上的点到(0,-2)的最小值减去圆的半径1,由图可知|PQ|min=。
6. 99.65%
解析:设518 mm和698 mm的毛坯个数分别为x,y,最大利用率为z,则z=。
又∵
∴为最优解,此时z==99.65%。
7. 解:作出不等式组表示的平面区域,如图所示。
(1)p的几何意义为直线y=-2x+p在y轴上的截距,由图可知直线y=-2x+p经过(1,1)时,pmin=3;经过(5,2)时,pmax=12。
(2)的几何意义为平面区域内的点与原点连线的斜率,由图可知。
(3)x2+y2的几何意义为平面区域内的点与原点距离的平方,由图可知2≤x2+y2≤29。
5
8. 解:不等式组表示的可行域如图所示,目标函数变形为y=x-z,当z最小时就是直线y=x-z在y轴上的截距最大时。当z的最小值为-1,即直线y=x+1时,由,可得此时点A的坐标是(2,3),此时m=2+3=5;当z的最小值为-2,即直线y=x+2时,由可得此时点A的坐标是(3,5),此时m=3+5=8。故m的取值范围是[5,8]。
而目标函数取最大值时,y=x-z在y轴上截距最小,此时目标函数过B(m-1,1),
于是zmax=m-1-1=m-2。
因为m的取值范围是[5,8],所以目标函数最大值的取值范围是[3,6]。
9. 解:设生产书桌x张,书橱y张,利润为z元,则约束条件为
利润z=80x+120y,作出不等式表示的平面区域如图所示,将直线z=80x+120y平移可知:当生产100张书桌,400张书橱时,利润最大,为z=80×100+120×400=56 000(元)。
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