2011高考数学专题复习：《数学归纳法》专题训练一 10页

‎2011《数学归纳法》专题训练一 一、解答题 ‎1、首项为正数的数列满足 ‎(1)证明：若为奇数，则对一切n≥2，都是奇数；‎ ‎(2)若对一切都有>，求的取值范围．‎ ‎2、已知数列是等差数列，‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设数列的通项（其中>0且≠1．记是数列的前n项和，试比较与的大小，并证明你的结论．‎ ‎3、设数列满足，其中为实数．‎ ‎(1)证明:∈[0，1]对任意成立的充分必要条件是∈[0，1]；‎ ‎(2)设．证明：‎ ‎(3)设，证明：‎ ‎4、已知数列 记：‎ 求证：当时，‎ ‎5、设函数数列满足 ‎(1)证明：函数在区间(0，1)上是增函数；‎ ‎(2)证明：‎ ‎(3)设 (，1)，整数证明：>．‎ ‎6、已知数列中，‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若数列中，证明：‎ ‎7、已知数列满足：=0．求证：‎ ‎(1) -l<<0；‎ ‎(2) > 对一切都成立；‎ ‎(3)数列{}为递增数列．‎ ‎8、已知数列的前项和（为正整数）．‎ ‎(1)令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎(2)令，试比较与的大小，并予以证明．‎ ‎9、求证：‎ 以下是答案 一、解答题 ‎1、解析(1)已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，‎ 则由递推关系得是奇数．‎ 根据数学归纳法可知，对一切, 都是奇数．‎ ‎(2)方法一 由知，当且仅当<1‎ 或>3时，．‎ 另一方面，若O< <1，则；若>3，则>‎ 根据数学归纳法可知，对一切；对一切 综上所述，对一切，都有>的充要条件是O<<1或>3．‎ 方法二 由，得，于是0<<1或>3.‎ 因为，所以所有的均大于0，因此与 同号，‎ 根据数学归纳法可知，对一切与同号．‎ 因此，对一切，都有的充要条件是0<<1或>3.‎ ‎2、解析(1)设数列的公差为，由题意得 ‎，‎ ‎ (2)由知，‎ 而，于是比较与的大小 比较与的大小，‎ 取，有 取，有 推测：‎ ‎①当时，已验证()式成立；‎ ‎②假设 (≥1)时()式成立，即 则当时，‎ 从而 即当时，（）式成立．‎ 由①②知，()式对任意正整数都成立，‎ 于是，当>l时，；当O<<1时，‎ ‎3、解析(1)必要性：‎ 又 即[0，1].‎ 充分性：设 [O，1]，对用数学归纳法证明。∈[0，1]．‎ 当=l时， =O∈[0，1]，假设∈[0，1]（≥1且N*）‎ 则 且 由数学归纳法知， [0，1]对所有都成立．‎ ‎(2)设，当=l时，=0结论成立，‎ 当≥2且时．‎ ‎，由(I)知且1-‎ ‎(3)设，当=l时，．结论成立，‎ 当≥2且时，由(Ⅱ)知 ‎4、解析(1)用数学归纳法证明．‎ ‎ ①当=l时，因为是方程的正根，所以；‎ ‎ ②假设当（且）时，‎ 因为 所以< .即当时，< 也成立，‎ 根据①和②，可知< 对任何都成立．‎ ‎(2)由 得 因为=O，所以 由得<1，‎ 所以>-2.‎ ‎(3)由，得 所以 于是 故当≥3时，‎ 又因为所以<3．‎ ‎5、解析(1)当0<<1时，‎ 所以函数在区间(0，1)上是增函数．‎ ‎(2)当O<≥．否则，若<，则由0<≤<，证明如下：‎ ‎①当=3时，已证不等式成立；‎ ‎②假设当= (≥3)时，不等式成立，即> 2 +1.‎ 那么当=+l时，‎ 当=+l时，猜想也成立，‎ 综合①②可知，对一切≥3的正整数，都有 综上所述，当=l，2时，；当n3时，‎ ‎9、解析 当时，等式左边=2，右边=2，故等式成立；‎ 假设当=时等式成立，即 那么当时，左边=‎ 这就是说当时等式也成立．综上可知原等式对于任意正整数都成立．‎