2020年高中数学第三章空间向量与立体几何3 5页

第1课时 空间向量与平行关系 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．若平面α，β的法向量分别为a＝，b＝(－1,2,6)，则(　　)‎ A．α∥β B．α与β相交但不垂直 C．α⊥β D．α∥β或α与β重合 解析：∵a＝－b，∴a∥b，∴α∥β.‎ 答案：A ‎2．下列各组向量中不平行的是(　　)‎ A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)‎ B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)‎ C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)‎ D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)‎ 解析：A项中，b＝－‎2a⇒a∥b；B项中，d＝－‎3c⇒d∥c；C项中，零向量与任何向量都平行．只有D中两向量不平行．‎ 答案：D ‎3．已知直线l与平面 α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于(　　)‎ A．3　　　 B．‎6　‎　　 　C．－9　　　　D．9‎ 解析：∵l⊥α，v与平面α平行，所以u⊥v，即u·v＝0，‎ ‎∴1×3＋3×2＋z×1＝0，‎ ‎∴z＝－9，故选C.‎ 答案：C ‎4．若u＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　)‎ A．(0，－3,1) B．(2,0,1)‎ C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)‎ 解析：同一个平面的法向量平行，故选D.‎ 答案：D ‎5．如图所示，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A‎1M＝AN＝，则MN与平面BB‎1C1C的位置关系是(　　)‎ 5‎ A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 解析：建立如图所示的空间直角坐标系如图，‎ ‎∵A‎1M＝AN＝，‎ ‎∴M(a，，)，N(，，a)，‎ ‎∴＝(－，0，)，∴MN∥平面BB‎1C1C.‎ 答案：B ‎6．已知直线l的方向向量为v＝(1，－1,2)，平面α的法向量为n＝(2,4,1)，且l⊄α，则l与α的位置关系是________．‎ 解析：因为v·n＝2－4＋2＝0，所以v⊥n，又l⊄α ，所以l∥α.‎ 答案：l∥α ‎7．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是_______．‎ 解析：∵＝λ＋μ(λ，μ∈R)，‎ ‎∴与，共面．‎ ‎∴AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE.‎ 答案： AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE ‎8．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是________．‎ 解析：∵l∥平面ABC，‎ ‎∴存在实数x，y，使a＝x ＋y，＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，‎ ‎∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)‎ ‎＝(x，y，－x－y)，‎ ‎∴∴m＝－3.‎ 答案：－3‎ ‎9.如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，‎ ‎△ODE，△ODF都是正三角形．求证：直线BC∥EF.‎ 解析：过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，连接QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q为坐标原点，为x轴正向，为y 5‎ 轴正向，为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系．‎ 由条件知 E(，0,0)，F(0,0，)，‎ B，C.‎ 则有＝，‎ ＝(－，0，)．‎ 所以＝2，即得BC∥EF.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中能表示l∥α的是(　　)‎ A．a＝ B．a＝k C．a＝p＋λ D．以上均不能 解析：A，B，C均能表示l∥α或l⊂α.‎ 答案：D ‎2．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝(　　)‎ A．2∶3∶4 B．2∶3∶(－4)‎ C．(－2)∶3∶(－4) D．(－2)∶(－3)∶4‎ 解析：＝，‎ ＝，由 得解得 则x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．‎ 答案：B ‎3．设直线l1的方向向量为a＝(1，－2,2)，l2的方向向量为b＝(2,3,2)，则l1与l2的关系是________．‎ 解析：∵a·b＝1×2－2×3＋2×2＝0，‎ ‎∴a⊥b，∴l1⊥l2.‎ 5‎ 答案：垂直 ‎4．如图，在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为______．‎ 解析：建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，‎ 设|AB|＝a，点P坐标为(0,0，b)‎ 则B1(a,0,1)，D(0,1,0)，E(，1,0)‎ 1＝(a,0,1)，＝(，1,0)‎ ＝(0，－1，b)，∵DP∥平面B1AE，‎ ‎∴存在实数λ，μ，设＝λ＋μ 即(0，－1，b)＝λ(a,0,1)＋μ(，1,0)‎ ‎＝(λa＋，μ，λ)‎ ‎∴∴b＝λ＝，即|AP|＝.‎ 答案： ‎5.如图，在长方体OAEBO‎1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，‎ OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，‎ 且SB1＝2BS，点Q，R分别是O1B1，AE的中点，求证：PQ∥RS.‎ 证明：如图所示，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，则A(3，0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3，0,2)，B1(0,4,2)，E(3,4,0)，‎ ‎∵AP＝2PA1，‎ ‎∴＝2＝，‎ 即＝(0,0,2)＝(0,0，)，‎ ‎∴P点坐标为.‎ 同理可得Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S.‎ ‎∴＝(－3,2，)＝，∴∥，‎ 又∵R∉PQ，∴PQ∥RS.‎ ‎6．如图，四棱锥PABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和 5‎ ‎△PAD是两个边长为2的正三角形，DC＝4，O为BD的中点，E为PA的中点．‎ 求证：OE∥平面PDC；‎ 解析：过O分别作AD，AB的平行线，以它们为x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 由已知得：‎ A(－1，－1,0)，B(－1,1,0)，D(1，－1,0)，F(1,1,0)，C(1,3,0)，P(0,0，)，‎ E，‎ 则＝，＝(1,1，－)，＝(1，－1，－)，‎ ＝(1,3，－)．‎ ‎∴＝－，‎ ‎∴OE∥PF.‎ ‎∵OE⊄平面PDC，PF⊂平面PDC，‎ ‎∴OE∥平面PDC.‎ 5‎