2020年高中数学第三章直线与方程章末检测新人教A版必修2 7页

第三章 直线与方程 章末检测 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知直线l上的两点A(－4,1)与B(x，－3)，并且直线l的倾斜角为135°，则x的值是(　　)‎ A．－8　　　B．－‎4　‎　　　C．0　　　　D．8‎ 解析：直线l的斜率k＝tan 135°＝－1，所以＝－1，解得x＝0，故选C.‎ 答案：C ‎2．已知直线的斜率k＝－，且直线不过第一象限，则直线的方程可能是(　　)‎ A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0‎ C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0‎ 解析：∵k＝－，排除A、D，又直线不过第一象限，在y轴上截距小于0，故选B.‎ 答案：B ‎3．过点P(4，－1)且与直线3x－4y－6＝0垂直的直线方程是(　　)‎ A．4x＋3y－13＝0 B．4x－3y－19＝0‎ C．3x－4y－16＝0 D．3x＋4y－8＝0‎ 解析：所求直线的斜率为－，‎ 由点斜式得y＋1＝－(x－4)，‎ 即4x＋3y－13＝0.‎ 答案：A ‎4．如果直线x＋2ay－1＝0与直线(‎3a－1)x－ay－1＝0平行，则a等于(　　)‎ A．0 B. C．0或1 D．0或 解析：当a＝0时，两直线为x＝1，x＝－1两直线平行．‎ 当a≠0时，两直线平行，则 ＝，解得a＝.‎ 答案：D ‎5．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)‎ 7‎ A．4 B. C. D. 解析：由题意知＝1，＝y，所以x＝4，y＝1，故P(4,1)到原点距离为＝.‎ 答案：D ‎6．直线l过点A(3,4)，且与点B(－3,2)的距离最远，则直线l的方程为(　　)‎ A．3x－y－5＝0 B．3x－y＋5＝0‎ C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0‎ 解析：当l⊥AB时，符合要求，∵kAB＝＝，‎ ‎∴l的斜率为－3，∴直线l的方程为 y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.‎ 答案：D ‎7．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于(　　)‎ A．－2 B．－ C．2 D. 解析：解方程组 得 代入方程x＋ky＝0得－1－2k＝0，‎ 所以k＝－，选B.‎ 答案：B ‎8．已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为(　　)‎ A．(3,4) B．(4,3)‎ C．(3,1) D．(3,8)‎ 解析：设D(m，n)，由题意得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB＝kDC，kAD＝kBC，‎ ‎∴解得∴点D的坐标为(3,4)．‎ 答案：A ‎9．已知点A(－1，－2)，B(2,3)，若直线l：x＋y－c＝0与线段AB有公共点，则直线l在y轴上的截距的取值范围是(　　)‎ A．[－3,5] B．[－5,3]‎ C．[3,5] D．[－5，－3]‎ 解析：直线l：x＋y－c＝0表示斜率为－1的一组平行直线，所以把点A、B代入即可求得在y轴上的截距的取值范围：代入点A得c＝－3，所以直线在y轴上的截距为－3，同理代入点B得直线在y轴上的截距为5.故选A.‎ 答案：A ‎10．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y 7‎ ‎－5＝0上移动，则AB中点到原点的距离的最小值为(　　)‎ A．3 B．2 C．3 D．4 解析：所求最小值即为与l1，l2平行且到l1，l2距离相等的直线到原点的距离．‎ 答案：A ‎11．等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A(0,4)，则点B的坐标可能是(　　)‎ A．(2,0)或(4,6) B．(2,0)或(6,4)‎ C．(4,6) D．(0,2)‎ 解析：设B点坐标为(x，y)，‎ 根据题意知 ‎∴ 解得或 答案：A ‎12．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为(　　)‎ A．2x＋3y－18＝0‎ B．2x－y－2＝0‎ C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0‎ D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0‎ 解析：依题意，设直线l：y－4＝k(x－3)，‎ 即kx－y＋4－3k＝0，则有＝，‎ 因此－5k＋2＝k＋6，或－5k＋2＝－(k＋6)，‎ 解得k＝－或k＝2，‎ 故直线l的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.‎ 答案：D 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．已知点A(2,1)，B(－2,3)，C(0,1)，则△ABC中，BC边上的中线长为________．‎ 解析：BC中点为，即(－1,2)．所以BC边上中线长为＝.‎ 答案： ‎14．设点P在直线x＋3y＝0上，且P到原点的距离与P到直线x＋3y＝2的距离相等，则点P的坐标为________．‎ 解析：根据题意可设P(－‎3m，m)，‎ 7‎ ‎∴ ＝.‎ 解之得m＝±.‎ ‎∴P点坐标为或.‎ 答案：或 ‎15．直线l和两条直线l1：x－3y＋10＝0，及l2：2x＋y－8＝0都相交，且这两个交点所成的线段的中点是P(0,1)，则直线l的方程是________．‎ 解析：设两交点坐标分别为A(3y1－10，y1)，B(x2，－2x2＋8)，‎ ‎∵AB的中点是P(0,1)，得 解得y1＝2，x2＝4.‎ ‎∴A，B两点坐标分别为A(－4,2)，B(4,0)．‎ ‎∴过A，B两点的直线方程是 x＋4y－4＝0.‎ 答案：x＋4y－4＝0‎ ‎16．函数y＝a2x－2(a>0，a≠1)的图象恒过点A，若直线l：mx＋ny－1＝0经过点A，则坐标原点O到直线l的距离的最大值为________．‎ 解析：因为直线l：mx＋ny－1＝0经过点A(1,1)，‎ 所以m＋n＝1，所以坐标原点O到直线l的距离为 d＝＝＝，‎ 当m＝时，d取最大值.‎ 答案： 三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分12分)一条直线被两条直线l1：4x＋y＋6＝0和l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程．‎ 解析：设所求直线与直线l1交于A(x0，y0)，‎ A关于原点的对称点为B(－x0，－y0)．‎ 由题意得B在直线l2上，‎ ‎∴ 解得 ‎∴所求直线方程为x＋6y＝0.‎ 7‎ ‎18．(本小题满分12分)已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．‎ 解析：设l：3x＋4y＋m＝0，‎ 当y＝0时x＝－；‎ 当x＝0时y＝－.‎ ‎∵直线l与两坐标轴围成的三角形面积为24，‎ ‎∴··＝24.‎ ‎∴m＝±24.‎ ‎∴直线l的方程为3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0.‎ ‎19．(本小题满分12分)已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，‎ ‎(1)若l1与l2交于点P(m，－1)，求m，n的值；‎ ‎(2)若l1∥l2，试确定m，n需要满足的条件；‎ ‎(3)若l1⊥l2，试确定m，n需要满足的条件．‎ 解析：(1)将点P(m，－1)代入两直线方程得：m2－8＋n＝0和‎2m－m－1＝0，解得m＝1，n＝7.‎ ‎(2)由l1∥l2得：m2－8×2＝0⇒m＝±4，‎ 又两直线不能重合，所以有8×(－1)－nm≠0，‎ 对应得n≠±2，‎ 所以当m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.‎ ‎(3)当m＝0时，直线l1：y＝－和l2：x＝，此时l1⊥l2，‎ 当m≠0时，此时两直线的斜率之积等于，‎ 显然l1与l2不垂直，‎ 所以当m＝0，n∈R时直线l1和l2垂直．‎ ‎20．(本小题满分12分)(1)求与点P(3,5)关于直线l：x－3y＋2＝0对称的点P′的坐标；‎ ‎(2)求直线y＝－4x＋1关于点M(2,3)的对称直线的方程．‎ 解析：(1)设P′(x0，y0)，则kPP′＝.‎ PP′中点为M.‎ 根据对称关系x0，y0满足 解得故点P′坐标为(5，－1)．‎ 7‎ ‎(2)设(x，y)是对称直线上任一点，‎ 则(x，y)关于M(2,3)的对称点为(4－x,6－y)，‎ 根据对称关系，则(4－x,6－y)在直线y＝－4x＋1上．代入整理有4x＋y－21＝0，即为所求直线方程．‎ ‎21．(本小题满分13分)如图所示，在△ABC中，BC边上的高所在直线l的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．‎ 解析：由方程组 解得顶点A(－1,0)．‎ 又AB的斜率为kAB＝1，且x轴是∠A的平分线，故直线AC的斜率为－1，AC所在的直线方程为y＝－(x＋1)．‎ 已知BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1＝0，故BC的斜率为－2，BC所在的直线方程为y－2＝－2(x－1)．‎ 解方程组 得顶点C的坐标为(5，－6)．‎ 所以点A的坐标为(－1,0)，点C的坐标为(5，－6)．‎ ‎22．(本小题满分13分)已知点M(3,5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小．‎ 解析：如图，由点M(3,5)及直线l，可求得点M关于l的对称点M1(5,1)，同样容易求得点M关于y轴的对称点M2(－3,5)．‎ 根据M1及M2两点可得到直线M‎1M2‎的方程为x＋2y－7＝0.‎ 7‎ 令x＝0，得到直线M‎1M2‎与y轴的交点Q.‎ 解方程组得交点P.‎ 故点P，Q即为所求．‎ 7‎