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- 2021-06-22 发布
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2018 年河南省安阳市高考一模数学文
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内,复数12
12
i
i
所对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:∵
2
12 3 4 3 4
5 5 51 2 1 2
12
12
i i
ii
i ii
= = ,
∴复数 所对应的点的坐标为( 34
55 , ),位于第二象限.
答案:B
2.设集合 A={x|﹣2≤x≤2},B={y|y=3x﹣1,x∈R},则 A∩B=( )
A.(﹣1,+∞)
B.[﹣2,+∞)
C.[﹣1,2]
D.(﹣1,2]
解析:∵集合 A={x|﹣2≤x≤2},
B={y|y=3x﹣1,x∈R}={y|y>﹣1},
∴A∩B={x|﹣1<x≤2}=(﹣1,2].
答案:D
3.已知函数 f(x)满足:①对任意 x1,x2∈(0,+∞)且 x1≠x2,都有 12
12
0
f x f x
xx
> ;②
对定义域内任意 x,都有 f(x)=f(﹣x),则符合上述条件的函数是( )
A.f(x)=x2+|x|+1
B. 1f x xx =
C.f(x)=ln|x+1|
D.f(x)=cosx
解析:由题意得:f(x)是偶函数,在(0,+∞)递增,
对于 A,f(﹣x)=f(x),是偶函数,且 x>0 时,f(x)=x2+x+1,f′(x)=2x+1>0,
故 f(x)在(0,+∞)递增,符合题意;
对于 B,函数 f(x)是奇函数,不合题意;
对于 C,由 x+1=0,解得:x≠﹣1,定义域不关于原点对称,
故函数 f(x)不是偶函数,不合题意;
对于 D,函数 f(x)在(0,+∞)无单调性,不合题意;
答案:A
4.若1 cos 3sin
= ,则 cosα ﹣2sinα =( )
A.﹣1
B.1
C. 2
5
D.﹣1 或 2
5
解析:若1 cos 3sin
= ,则 1+cosα =3sinα ,又 sin2α +cos2α =1,
∴sinα = 3
5
,∴cosα =3sinα ﹣1= 4
5
,∴cosα ﹣2sinα = 2
5 .
答案:C
5.已知等比数列{an}中,a1=1,a3+a5=6,则 a5+a7=( )
A.12
B.10
C.12 2
D. 62
解析:∵a1=1,a3+a5=6,
∴a3+a5=q2+q4=6,
得 q4+q2﹣6=0,
即(q2﹣2)(q2+3)=0,
则 q2=2,
则 a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12,
答案:A
6.执行如图所示的程序框图,若输入 p=0.8,则输出的 n=( )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析:第一次运行 n=1,s=0,满足条件 s<0.8,s= 1
2 =0.5,n=2,
第二次运行 n=2,s=0.5,满足条件 s<0.8,s= 11
24 =0.75,n=3,
第三次运行 n=3,s=0.75,满足条件 s<0.8,s=0.75+ 1
8 =0.75+0.125=0.875,n=4,
此时 s=0.875 不满足条件 s<0.8 输出,n=4.
答案:B
7.如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是( )
A.4+2π
B. 34 2
C.4+π
D. 4 2
解析:由几何体的三视图得:
该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体,
其中长方体的长为 4,宽为 1,高为 1,
半圆柱的底面半径为 r=1,高为 h=1,如图,
∴该几何体的体积:
214 1 1 1 1 422V .
答案:D
8.在边长为 a 的正三角形内任取一点 P,则点 P 到三个顶点的距离均大于
2
a 的概率是( )
A. 11 3
12 6
B. 31 6
C. 1
3
D. 1
4
解析:满足条件的正三角形 ABC 如下图所示:
边长 AB=a,
其中正三角形 ABC 的面积 S 三角形
2213sin2 3 4aa ;
满足到正三角形 ABC 的顶点 A、B、C
的距离至少有一个小于 1 的平面区域,
如图中阴影部分所示,其加起来是一个半径为
2
a 的半圆,
∴S 阴影= 2 21
2 2 8
aa ,
∴使取到的点到三个顶点 A、B、C 的距离都大于
2
a 的概率是:
2
2
381163
4
a
P
a
﹣ .
答案:B
9.已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 a3+7=2a5,则 S13=( )
A.49
B.91
C.98
D.182
解析:设等差数列{an}的公差为 d,∵a3+7=2a5,
∴a1+2d+7=2(a1+4d),化为:a1+6d=7=a7.
则 S13= 1 13
13
13
2
aa
S
=13a7=13×7=91.
答案:B
10.已知函数 sin 3f x x = ,要得到 g(x)=cosx 的图象,只需将函数 y=f(x)的图象
( )
A.向右平移 5
6
个单位
B.向右平移 3
个单位
C.向左平移
3
个单位
D.向左平移 5
6
个单位
解析:将函数 y=f(x)=sin(x﹣
3
)的图象向左平移 5
6
个单位,
可得 y=sin(x+ 5
63
)=cosx 的图象.
答案:D
11.已知函数
32
32
xxfx = 与 g(x)=6x+a 的图象有 3 个不同的交点,则 a 的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
解析:函数
32
32
xxfx = 与 g(x)=6x+a 的图象有 3 个不同的交点⇔方程 a=
32
632
xx x
有 3 个不同的实根,
即函数 y=a,g(x)=
32
632
xx x的图象有 3 个不同的交点.
g′(x)=x2+x﹣6=(x+3)(x﹣2)
x∈(﹣∞,﹣3),(2,+∞)时,g(x)递增,x∈(﹣3,2)递减,
函数 g(x)图如下,结合图象,只需 g(2)<a<g(﹣3)即可,
即 22 27
32a < < .
答案:B
12.已知 F1,F2 分别是椭圆
22
221yx
ab
= (a>b>0)的左、右焦点,P 为椭圆上一点,且
11 0PF OF OP= (O 为坐标原点),若 12=2PF PF ,则椭圆的离心率为( )
A. 63
B. 63
2
C. 65
D. 65
2
解析:如图,取 PF1 的中点 A,连接 OA,
∴ 12
12 2OA OF OP OA F P , ,
∴ 12O F O P F P ,
∵ 11 0PF OF OP= ,
∴ 12=0P F F P ,
∴ 12P F F P ,
∵ 12=2PF PF ,
不妨设|PF2|=m,则|PF1|= 2 m,
∵|PF2|+|PF1|=2a=m+ 2 m,
∴ 2 2 2 1
12
m a a
,
∵|F1F2|=2c,
∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2(3﹣2 2 ),
∴ 2 2
2 9 6 2 6 3c
a
,
∴e= 63 ,
答案:A
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
13.命题“∀x∈R,都有 x2+|x|≥0”的否定是________.
解析:由全称命题的否定为特称命题,可得
命题“∀x∈R,都有 x2+|x|≥0”的否定是
“∃x0∈R,使得 2
000xx < ”.
答案:∃x0∈R,使得 2
000xx <
14.长、宽、高分别为 1,2,3 的长方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为________.
解析:∵长、宽、高分别为 1,2,3 的长方体的顶点都在同一球面上,
∴球半径 2 2 21 2 3 14
22R ,
∴该球的表面积为
2
2 144 4 142SR
.
答案:14π
15.已知向量 a =(2,3),b =(x,y),且变量 x,y 满足
0
30
y
yx
xy
,则 z= ab 的最大值为
________.
解析:由约束条件
0
30
y
yx
xy
作出可行域如图,
联立
30
yx
xy
=
=
,解得 A( 33
22
, ),
∵ =(2,3), =(x,y),
∴z= ab =2x+3y,化为 2
33
zyx ,由图可知,当直线 y= 2
33
zx过 A 时,
直线在 y 轴上的截距最大,z 有最小值为15
2
.
答案:15
2
16.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,﹣3),若圆 C:(x﹣a)2+(y﹣a+2)2=1 上存在一点 M
满足|MA|=2|MO|,则实数 a 的取值范围是________.
解析:设点 M(x,y),由|MA|=2|MO|,
得到: 22 2 232x y x y = ,
整理得:x2+y2﹣2y﹣3=0,
∴点 M 在圆心为 D(0,1),半径为 2 的圆上.
又点 M 在圆 C 上,∴圆 C 与圆 D 有公共点,
∴1≤|CD|≤3,
∴ 221 3 3aa ,
解得 0≤a≤3.
即实数 a 的取值范围是[0,3].
答案:[0,3]
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答.第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60
分.
17.已知在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 a+2acosB=c.
(Ⅰ)求证:B=2A;
(Ⅱ)若△ABC 为锐角三角形,且 c=2,求 a 的取值范围.
解析: ( Ⅰ ) 根 据 题 意 , 由 正 弦 定 理 可 以 将 a+2acosB=c 变 形 为
sinA+2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,进而将其变形可得 A=B﹣A,即可得
结论;
(Ⅱ)根据题意,由(Ⅰ)的结论分析可得
32B< < 由 a+2acosB=2 得 2
1 2 cosa B
= ,有
cosB 的范围分析可得答案.
答案:(Ⅰ)证明:根据题意,在△ABC 中,a+2acosB=c,
由正弦定理知 sinA+2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
即 sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin(B﹣A).
因为 A,B∈(0,π ),
所以 B﹣A∈(﹣π ,π ),且 A+(B﹣A)=B∈(0,π ),所以 A+(B﹣A)≠π ,
所以 A=B﹣A,B=2A.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
2
BA= , 3
2
BC A B = = .
由△ABC 为锐角三角形得
0 22
0 2
30 22
B
B
B
< <
< <
< <
,
得 ,则 0<cosB< 1
2 ,
由 a+2acosB=2 得 2
1 2 cosa B
= ,
又由 0<cosB< 1
2 ,
则 2 121 2 cosa B
= , .
18.某公司为了准确把握市场,做好产品计划,特对某产品做了市场调查:先销售该产品 50
天 , 统 计 发 现 每 天 的 销 售 量 x 分布在[50 , 100] 内 , 且 销 售 量 x 的 分 布 频 率
0.5 10 10 110
10 10 120
n n x n n
fx
n a n x n n
, < , 为 偶 数
=
, < , 为 奇 数
.
(Ⅰ)求 a 的值.
(Ⅱ)若销售量大于等于 80,则称该日畅销,其余为滞销,根据是否畅销从这 50 天中用分层
抽样的方法随机抽取 5 天,再从这 5 天中随机抽取 2 天,求这 2 天中恰有 1 天是畅销日的概
率(将频率视为概率).
解析: ( Ⅰ ) 由 题 知
10 50
10 1 100
n
n
,解得 n 可取 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 从 而
6 8 5 7 90.5 0.5 110 10 20 20 20aaa = ,由此能出 a.
(Ⅱ)滞销日与畅销日的频率之比为 2:3,则抽取的 5 天中,滞销日有 2 天,记为 a,b,畅
销日有 3 天,记为 C,D,E,再从这 5 天中抽出 2 天,利用列举法能求出这 2 天中恰有 1 天
是畅销日的概率.
答案:(Ⅰ)由题知
10 50
10 1 100
n
n
,解得 5≤n≤9,n 可取 5,6,7,8,9,
代入
0.5 10 10 110
10 10 120
n n x n n
fx
n a n x n n
, < , 为 偶 数
=
, < , 为 奇 数
中,
得 6 8 5 7 90.5 0.5 110 10 20 20 20aaa = ,
解得 a=0.15.
(Ⅱ)滞销日与畅销日的频率之比为(0.1+0.1+0.2):(0.3+0.3)=2:3,
则抽取的 5 天中,滞销日有 2 天,记为 a,b,畅销日有 3 天,记为 C,D,E,
再从这 5 天中抽出 2 天,基本事件有 ab,aC,aD,aE,bC,bD,bE,CD,CE,DE,共 10 个,
2 天中恰有 1 天为畅销日的事件有 aC,aD,aE,bC,bD,bE,共 6 个,
则这 2 天中恰有 1 天是畅销日的概率为 p= 63=10 5
.
19.如图,已知在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA⊥PD,PA=PD,AD=4,BC
∥AD,AB=BC=CD=2,E 为 PD 的中点.
(Ⅰ)证明:CE∥平面 PAB;
(Ⅱ)求三棱锥 E﹣PBC 的体积.
解析:(Ⅰ)取 PA 的中点 F,连接 BF,EF,EF 为中位线,从而四边形 BCEF 为平行四边形,
得 CE∥BF,由此能证明 CE∥平面 PAB.
(Ⅱ)由 E 为 PD 的中点,知点 D 到平面 PBC 的距离是点 E 到平面 PBC 的距离的两倍,则
.由此能证明三棱锥 E﹣PBC 的体积.
答案:(Ⅰ)取 PA 的中点 F,连接 BF,EF.
在△PAD 中,EF 为中位线,
则 11/ / / / / /22EF AD BC AD BC EF,又 ,故 ,
则四边形 BCEF 为平行四边形,得 CE∥BF,
又 BF⊂平面 PAB,CE⊄平面 PAB,
故 CE∥平面 PAB.
(Ⅱ)由 E 为 PD 的中点,知点 D 到平面 PBC 的距离是点 E 到平面 PBC 的距离的两倍,
则 11
22E PBC D PBC P BCDV V V = = .
由题意知,四边形 ABCD 为等腰梯形,且 AB=BC=CD=2,AD=4,其高为 3 ,
则 1 2332BCDS = = .
取 AD 的中点 O,在等腰直角△PAD 中,有 1 22PO AD= = ,PO⊥AD,
又平面 PAD⊥平面 ABCD,故 PO⊥平面 ABCD,
则点 P 到平面 ABCD 的距离即为 PO=2.
1 2 3
33P BCD BCDV S PO = = ,
故三棱锥 E﹣PBC 的体积 13
23E PBC P BCDVV= = .
20.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l1:y=x 与直线 l2:y=﹣x 之间的阴影部分记为 W,
区域 W 中动点 P(x,y)到 l1,l2 的距离之积为 1.
(Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程;
(Ⅱ)动直线 l 穿过区域 W,分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点,若直线 l 与轨迹 C 有且只有一
个公共点,求证:△OAB 的面积恒为定值.
解析:(Ⅰ)根据点到直线的距离关系建立方程即可求出点的轨迹方程.
(Ⅱ)根据直线和双曲线的位置关系,结合三角形的面积公式进行求解即可.
答案:(Ⅰ)由题意得 1
22
x y x y
= ,|(x+y)(x﹣y)|=2.
因为点 P 在区域 W 内,所以 x+y 与 x﹣y 同号,得(x+y)(x﹣y)=x2﹣y2=2,
即点 P 的轨迹 C 的方程为
22
122
yx = .
(Ⅱ)设直线 l 与 x 轴相交于点 D,当直线 l 的斜率不存在时, 2 2 2OD AB= , = ,得
1 22OABS AB OD= = .
当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y=kx+m,显然 k≠0,则 0mD k , ,
把直线 l 的方程与 C:x2﹣y2=2 联立得(k2﹣1)x2﹣2kmx+m2+2=0,
由直线 l 与轨迹 C 有且只有一个公共点,知△=4k2m2﹣4(k2﹣1)(m2+2)=0,
得 m2=2(k2﹣1)>0,得 k>1 或 k<﹣1.
设 A(x1,y2),B(x2,y2),由 y kx m
yx
=
=
得 1 1
my k
= ,同理,得 2 1
my k
= .
所以
2
12 2
11 22 2 1 1 1OAB
m m m mS OD y y k k k k
= = = .
综上,△OAB 的面积恒为定值 2.
21.已知函数
222 xefx ex= ,g(x)=3elnx,其中 e 为自然对数的底数.
(Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性.
(Ⅱ)试判断曲线 y=f(x)与 y=g(x)是否存在公共点并且在公共点处有公切线.若存在,求出公
切线 l 的方程;若不存在,请说明理由.
解析:(Ⅰ)求出原函数的导函数,由导函数的零点把定义域分段,利用导函数在各区间段内
的符号可得函数 f(x)的单调区间;
(Ⅱ)假设曲线 y=f(x)与 y=g(x)存在公共点且在公共点处有公切线,且切点横坐标为 x0>0,
可得
00
00
f x g x
f x g x
=
=
,求出使方程组成立的 x 值,进一步得到曲线 y=f(x)与 y=g(x)的公
共点的坐标,则曲线 y=g(x)与 y=g(x)的公切线 l 的方程可求.
答案:(Ⅰ)由
222 xefx ex= ,得
2 3 3
22
44x e x efx e x ex
= = ,
令 f′(x)=0,得
3 4
ex= .
当
3 4
ex= 且 x≠0 时,f′(x)<0;当
3 4
ex> 时,f′(x)>0.
∴f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,
3 4
e )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增;
(Ⅱ)假设曲线 y=f(x)与 y=g(x)存在公共点且在公共点处有公切线,且切点横坐标为 x0>0,
则
00
00
f x g x
f x g x
=
=
,即
2
2
00
0
2
0
2
00
2 3 ln 1
4 3 2
ex e xx
x ee
exx
=
=
,其中(2)式即 3 2 3
004 3 0x e x e= .
记 h(x)=4x3﹣3e2x﹣e3,x∈(0,+∞),则 h'(x)=3(2x+e)(2x﹣e),
得 h(x)在 0 2
e, 上单调递减,在 2
e , 上单调递增,
又 h(0)=﹣e3, 322
ehe= ,h(e)=0,
故方程 h(x0)=0 在(0,+∞)上有唯一实数根 x0=e,经验证也满足(1)式.
于是,f(x0)=g(x0)=3e,f′(x0)=g'(x0)=3,
曲线 y=g(x)与 y=g(x)的公切线 l 的方程为 y﹣3e=3(x﹣e),
即 y=3x.
(二)选考题:共 10 分.请考生在 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题
计分.[选修 4-4:坐标系与参数方程]
22.设直线 l 的参数方程为
11 2
1
xt
yt
=
=
,(t 为参数),若以直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点,
x 轴的正半轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为
ρ sin2θ =4cosθ .
(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线 C 是什么曲线;
(Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|AB|.
解析:(Ⅰ)直接把极坐标方程转化为直角坐标方程.
(Ⅱ)首先把参数方程转化为直角坐标方程,进一步利用直线和圆锥曲线的位置关系,建立方
程组利用弦长公式求出结果.
答案:(Ⅰ)由于 ρ sin2θ =4cosθ ,
所以 ρ 2sin2θ =4ρ cosθ ,即 y2=4x,
因此曲线 C 表示顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线.
(Ⅱ)
11 2
1
xt
yt
=
=
,化为普通方程为 y=2x﹣1,
代入 y2=4x,
并整理得 4x2﹣8x+1=0,
所以 2
211AB k x x= ,
= 22
2 1 1 21 2 4x x x x ,
= 2 15 2 4 154 = .
[选修 4-5:不等式选讲]
23.已知函数 f(x)=|x+1|+a|2x﹣1|.
(Ⅰ)当 1
2a= 时,若 11 0()f x m nmn , > 对任意 x∈R 恒成立,求 m+n 的最小值;
(Ⅱ)若 f(x)≥|x﹣2|的解集包含[﹣1,2],求实数 a 的取值范围.
解析:(Ⅰ)当 1
2a= 时, min
1 1 3 31 2 1 12 2 2 2f x x x x x f x = = , = ,由
此能求出 m+n 的最小值.
(Ⅱ)f(x)≥|x﹣2|的解集包含[﹣1,2],从而 a|2x﹣1|≥1﹣2x 对 x∈[﹣1,2]恒成立,由
此能求出实数 a 的取值范围.
答案:(Ⅰ)当 1
2a= 时, 1 1 31 2 1 12 2 2f x x x x x = = ,
∴ min
3
2fx = ,∴ 1 1 3
2mn.∴ 3
2
mn
mn
,
∴ 233
2 2 2
mnm n m n ,当且仅当 m=n 时等号成立,
∵m,n>0,解得 8
3mn,当且仅当 m=n 时等号成立,
故 m+n 的最小值为 8
3
.
(Ⅱ)∵f(x)≥|x﹣2|的解集包含[﹣1,2],
当 x∈[﹣1,2]时,有 x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x,
∴a|2x﹣1|≥1﹣2x 对 x∈[﹣1,2]恒成立,
当 11 2x< 时,a(1﹣2x)≥1﹣2x,∴a≥1;
当 1 22 x时,a(2x﹣1)≥1﹣2x,∴a≥﹣1.
综上:a≥1.
故实数 a 的取值范围是[1,+∞).
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