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- 2021-06-23 发布
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2018 年四川省达州市高考一诊试卷数学文
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1.复数 1+2i 在复平面内所对应的点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:复数 1+2i 在复平面内所对应的点的坐标为(1,2),所以:该点在第一象限.
答案:A
2.已知集合 A={x|1≤x≤3},B={x|-5<x≤3},则 A∩B=( )
A.{x|-3<x≤1}
B.{x|-1<x≤3}
C.{x|-1≤x≤3}
D.{x|1≤x≤3}
解析:∵集合 A={x|1≤x≤3},B={x|-5<x≤3},∴A∩B={x|1≤x≤3}.
答案:D
3.某 8 人一次比赛得分茎叶图如图所示,这组数据的中位数和众数分别是( )
A.85 和 92
B.87 和 92
C.84 和 92
D.85 和 90
解析:这组数据从小到大为:82,83,84,85,89,92,92,93,众数为 92,中位数为中
间两数的平均数,即(85+89)÷2=87.
答案:B
4.在等比数列{an}中,a3=2,a6=16,则数列{an}的公比是( )
A.-2
B. 2
C.2
D.4
解析:根据题意,等比数列{an}中,a3=2,a6=16,则 q3= 6
3
a
a
=8,解可得 q=2.
答案:C
5.已知 sinα = 1
3
,则 cos(π +2α )=( )
A. 7
9
B. 7
9
C. 22
9
D. 22
9
解析:已知 sinα = ,由 cos(π +2α )=-cos2α =-(1-2sin2α )=2× 171.
99
答案:A
6.函数 f(x)=sin(x-
3
),则 f(x)的图象的对称轴方程为( )
A.x= 5
6
+kπ ,k∈Z
B.x= +2kπ ,k∈Z
C.x=
6
+2kπ ,k∈Z
D.x=
3
+kπ ,k∈Z
解析:函数 f(x)=sin(x-
3
),则 f(x)的图象的对称轴方程:x-
32
+kπ ,可得:x=
+kπ ,k∈Z.
答案:A
7.以圆 x2+y2=4 与 x 轴的交点为焦点,以抛物线 y2=10x 的焦点为一个顶点且中心在原点的椭
圆的离心率是( )
A. 1
5
B. 2
5
C. 4
5
D. 1
10
解析:根据题意,x2+y2=4 与 x 轴的交点为(±2,0),抛物线 y2=10x 的焦点为( 5
2
,0),
即椭圆的焦点为(±2,0),椭圆的顶点为( 5
2
,0),
则椭圆中 c=2,a= ,则椭圆的离心率 25 4 .
25
ce
a
答案:C
8.方程 x2-2x+a+1=0 有一正一负两实根的充要条件是( )
A.a<0 B.a<-1 C.-1<a<0 D.a>-1
解析:∵方程 x2-2x+a+1=0 有一正一负两实根,∴ 4 4 1 0
10
a
a
> ,
< ,
解得 a<-1.
答案:B
9.运行如图所示的程序框图,输出 n 的值为( )
A.5
B.6
C.100
D.101
解析:第一次执行循环体后,T=0,n=2,不满足退出循环的条件;
第二次执行循环体后,T=lg2,n=3,不满足退出循环的条件;
第三次执行循环体后,T=lg6,n=4,不满足退出循环的条件;
第四 次执行循环体后,T=lg24,n=5,不满足退出循环的条件;
第五次执行循环体后,T=lg120,n=6,满足退出循环的条件;
故输出的 n 值为 6.
答案:B
10.设函数 f(x)= ()
(
n 1 0
2 1 0)
l
x
xx
x
,
< ,
若从区间[-e,e]上任取一个实数 x0,A 表示事件“f(x0)
≤1”,则 P(A)=( )
A. 1
2
B. 1
2e
C. 1
2
e
e
D. 2e
e
解析:∵函数 f(x) x∈[-e,e],
解 f(x0)≤1 得:x0∈[-1,e-1],故 P(A)=
111 .
2
e
ee
答案:A
11.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且在[-1,0]上单调递减,设 a=f(-2.8),
b=f(-1.6),c=f(0.5),则 a,b,c 大小关系是( )
A.a>b>c
B.c>a>b
C.b>c>a
D.a>c>b
解析:∵偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),∴函数的周期为 2.
由于 a=f(-2.8)=f(-0.8),
b=f(-1.6)=f(0.4)=f(-0.4),
c=f(0.5)=f(-0.5),
-0.8<-0.5<-0.4,且函数 f(x)在[-1,0]上单调递减,
∴a>c>b,
答案:D
12.如图(二),需在正方体的盒子内镶嵌一个小球,使得镶嵌后三视图均为图(一)所示,且
面 A1C1B 截得小球的截面面积为 2
3
,则该小球的体积为( )
A.
6
B. 4
3
C. 32
3
D. 82
3
解析:设正方体盒子的棱长为 2a,则内接球的半径为 a,
平面 A1BC1 是边长为 22a 的正三角形,
且球与以点 B1 为公共点的三个面的切点恰为△A1BC1 三边的中点,
∴所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积,
则由图得,△A1BC1 内切圆的半径是 62 tan 30
3
aa ,
则所求的截面圆的面积是 26 6 2 2 1
3 3 3 3
a a a a ,
∴该小球的体积为 3441
33
V 球 .
答案:B
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分,请将答案填在答题卡上相应位置)
13.过点 P(1,2),斜率为-3 的直线的一般式方程为 .
解析:由题意可得直线的点斜式方程为:y-2=-3(x-1),
化为一般式可得 3x+y-5=0.
答案:3x+y-5=0
14.向量 a =(λ ,1),b =(1,-2),若 ab ,则λ 的值为 .
解析:向量 =(λ ,1), =(1,-2),若 ,则 ab =λ -2=0,解答λ =2.
答案:2
15.已知 x,y 满足
1
2
0
xy
xy
y
,
,
,
则 2x-y 的最大值是 .
解析:根据 x,y 满足 画出可行域,如图:
由图得当 z=2x-y 过 2
0
xy
y
,
的交点 A(2,0)时,z 最大为 4.
答案:4
16.若任意 a,b 满足 0<a<b<t,都有 blna<alnb,则 t 的最大值为 .
解析:∵0<a<b<t,blna<alnb,
∴ ln lnab
ab
< ,(a<b),令 ln xy
x
,则函数在(0,t)递增,
故 2
1 ln xy
x
>0,解得:0<x<e,故 t 的最大值是 e.
答案:e
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60
分.
17.已知函数 f(x)=sin(2x-
6
).
(1)求函数 f(x)的周期;
(2)在△ABC 中,f(A)=1,且满足 sin2B+ 2 sinA·sinC=sin2A+sin2C,求角 C.
解析:(1)根据三角函数的周期公式求解即可;
(2)根据 f(A)=1,求解角 A,利用正弦定理化简,结合余弦定理即求解 C.
答案:函数 f(x)=sin(2x-
6
).
(1)函数 f(x)的周期
||
22
2
T
;
(2)由 f(A)=1,即 sin(2A-
6
)=1,
∵0<A<π ,∴ 2
62
A ,
可得:A=
3
.∵sin2B+ sinA·sinC=sin2A+sin2C,
正弦定理可得:b2+ ac=a2+c2
由余弦定理:cosB=
2 2 2 22
2 2 2
a c b ac
ac ac
.
∵0<B<π ,可得:B=
4
.那么:C=π -A-B= 5 .
12
18.已知函数 f(x)=ax2+bx 的图象经过(-1,0)点,且在 x=-1 处的切线斜率为-1,设数列{an}
的前 n 项和 Sn=f(n)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{
1
1
nnaa
}前 n 项的和 Tn.
解析:(1)直接利用点的坐标求出 a 和 b 的关系,进一步利用导数求出直线的斜率,进一步
建立方程组求出 a 和 b,再利用递推关系式求出数列的通项公式.
(2)利用数列的通项公式,进一步利用裂项相消法求出数列的和.
答案:(1)函数 f(x)=ax2+bx 的图象经过(-1,0)点,则:a-b=0,即 a=b①,
由于:f′(x)=2ax+b,函数 f(x)=ax2+bx 在 x=-1 处的切线斜率为-1,则:-2a+b=-1②,
由①②得:a=1,b=1.
数列{an}的前 n 项和 Sn=f(n)=n2+n,
Sn-1=(n-1)2+(n-1),所以:an=Sn-Sn-1=2n,
当 n=1 时,a1=2 符合上式,则:an=2n.
(2)由于 an=2n,则:
1
1 1 1 1 1
2 2 2 4 1nna a n n n n
,
则: 1 1 1 1 1 1( 1111
4 2 2 3 1 4 1 4 4
)n
nT
n n n n
.
19. 某市去年外出务工返乡创业人员中有 1000 名个人年收入在区间[1,41](单位:万元)
上,从这 1000 名中随机抽取 100 名,得到这 100 名年收入频率分布直方图.这些数据区间是
[1,5],…,(37,41].
(1)用样本估计总体,试用直方图估算这 1000 名外出务工返乡创业人员年收入为(33,41]
万元的人数;
(2)调查发现这 1000 名返乡创业人员中有 600 人接受了职业技术教育,其中 340 人个人年收
入超过 17 万元.请完成个人年收入与接受职业教育 2×2 列联表,是否有 99%的把握认为该
市这 1000 人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关?请说明理由.
参考公式及数据 K2 检验临界值表:
2
2 n ad bc
K
a b c d a c b d
(其中 n=a+b+c+d)
解析(1)计算收入在(33,41]上的返乡创业人员的频率,由此估算频数值;
(2)根据题意填写 2×2 列联表,计算 K2,对照临界值即可得出结论.
答案:(1)收入在(33,41]上的返乡创业人员频率为 0.010×4+0.005×4=0.06,
估算这 1000 名外出务工返乡创业人员年收入为(33,41]万元的人数为 1000×0.06=60(人);
(2)根据题意,这 1000 名返乡创业人员中年收入超过 17 万元的人数是
1000×[1-(0.01+0.02+0.03+0.04)×4]=600,其中参加职业培训的人数是 340 人,
由此填写 2×2 列联表如下;
计算
2
2 n ad bc
K
a b c d a c b d
≈6.944>6.635,
所以有 99%的把握认为该市这 1000 人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关.
20.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 M,N 分别为线段 A1B,B1C 的中点.
(1)求证:MN∥平面 AA1C1C;
(2)若∠ABC=90°,AB=BC=2,AA1=3,求点 B1 到面 A1BC 的距离.
解析(1)根据中位线定理可得 MN∥A1C1,故而 MN∥平面 AA1C1C;
(2)根据
1 1 1 1C A B B B A BCVV 列方程求出点 B1 到面 A1BC 的距离.
答案:(1)连接 BC1,
∵四边形 BCC1B1 是平行四边形,N 是 B1C 的中点,
∴N 是 BC1 的中点,又 M 是 A1B 的中点,∴MN∥A1C1,
又 A1C1 平面 AA1C1C,MN 平面 AA1C1C,∴MN∥平面 AA1C1C.
(2)∵AB⊥BC,BB1⊥BC,AB∩BB1=B,∴BC⊥平面 ABB1A1,
∴
1 1 1 1
1 1 1· 2 3 2 2
3 3 2C A B B A B BV S BC ,
又
1
22
11
113 13 2 13
2A BCA B AB AA S , .
设 B1 到平面 A1BC 的距离的距离为 h,则
1 1 1
1 13·
33B A BC A BC
hV S h ,
∵VC-A1B1B=V B1-A1BC,∴ 13 6 132
3 13
h h , .∴点 B1 到面 A1BC 的距离为 6 13
13
.
21.已知函数 f(x)=lnx-ax,g(x)= 1
2
x2-(2a+1)x+(a+1)lnx.
(1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极大值;
(2)当 a≥1 时,求证:方程 f(x)=g(x)有唯一实根.
解析:(1)a=1 时,f′(x)= 111 x
xx
,可得 f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,即可
得函数 f(x)取得极大值 f(1)=-1.
(2)方程 f(x)=g(x)的根 1
2
x2-(a+1)x+alnx=0 的根,令 h(x)= x2-(a+1)x+alnx,(x>0,
a≥1), 2 11x a x a x a x
hx
xx
,分 a=1,②a>1 讨论即可
答案:(1)a=1 时,函数 f(x)=lnx-x,f′(x)= 111 x
xx
,x∈(0,1)时,f′(x)>0,x
∈(1,+∞)时,f′(x)<0,
∴f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,
∴x=1 时,函数 f(x)取得极大值 f(1)=-1.
(2)方程 f(x)=g(x)的根 x2-(a+1)x+alnx=0 的根,
令 h(x)= 1
2
x2-(a+1)x+alnx,(x>0,a≥1), ,
①当 a=1 时,h′(x)≥0 在(0,+∞)恒成立,函数 h(x)单调递增,方程 f(x)=g(x)有唯一实
根.
②当 a>1 时,x∈(0,1)时,h′(x)>0,x∈(1,a)时,′(x)<0,x∈(a,+∞)时,h′(x)
>0,
∴h(x)在(0,1),(a,+∞)单调递增,在(1,a)单调递减,
而 h(1)=-a- 1
2
<0,x→+∞时,h(x)→+∞,
函数 h(x)与 x 轴只有一个交点,∴方程 f(x)=g(x)有唯一实根.
综上所述:方程 f(x)=g(x)有唯一实根.
22.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,以 x 轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l:
2
2
21
2
xt
yt
,
,
(t 为参数)曲线 C 的极坐标方程是ρ 2-6ρ cosθ +1=0,l 与 C 相交于两点 A、
B.
(1)求 l 的普通方程和 C 的直角坐标方程;
(2)已知 M(0,-1),求|MA|·|MB|的值.
解析:(1)直接把参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程.
(2)利用方程组,转化为一元二次方程根与系数的关系求出结果.
答案:(1)直线 l 的方程为:
2
2
21
2
xt
yt
,
,
(t 为参数),转化为:x-y-1=0.
曲线 C 的极坐标方程是ρ 2-6ρ cosθ +1=0,转化为:x2+y2-6x+1=0.
(2)把直线 l 的方程:
2
2
21
2
xt
yt
,
,
(t 为参数),代入 x2+y2-6x+1=0 得到:t2-4 2 t+2=0,
A 点的参数为 t1,B 点的参数的为 t2,则:|MA|·|MB|=t1·t2=2.
23.已知正数 a,b,c 满足:a+b+c=1,函数 f(x)= 1 1 1xx
a b c
.
(1)求函数 f(x)的最小值;
(2)求证:f(x)≥9.
解析(1)利用绝对值不等式的性质即可求解.
(2)由(1)结论直接证明即可
答案(1)f(x)= 1 1 1 1 1 1 1 1 1x x x x
a b c a b c a b c
,
∵正数 a,b,c,且 a+b+c=1,
则
1 1 1 3 3 2 2 2 9b c a c a b a b c a b cabc
a b c a a b b c c b a a c c b
,
当且仅当 a=b=c= 1
3
时取等号.
∴f(x)的最小值为 9.
(2)f(x)= 1 1 1 1 1 1 1 1 1x x x x
a b c a b c a b c
,
∵正数 a,b,c,且 a+b+c=1,
则
1 1 1 3 3 2 2 2 9b c a c a b a b c a b cabc
a b c a a b b c c b a a c c b
,
当且仅当 a=b=c= 1
3
时取等号.∴f(x)≥9.
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