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  • 2021-06-23 发布

江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题含附加题 Word版含答案

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南京市2020届高三年级第三次模拟考试 数 学 注意事项:‎ ‎1.本试卷共4页,包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本试卷满分为160分,考试时间为120分钟.‎ ‎2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡.‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题卡的指定位置上)‎ ‎1.已知集合A={x|2<x<4},B={x|1<x<3},则A∪B= ▲ .‎ ‎2.若z=+i (i是虚数单位)是实数,则实数a的值为 ▲ .‎ ‎3.某校共有教师300人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本,则从男学生中抽取的人数为 ▲ .‎ ‎4.如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为 ▲ .‎ ‎5.将甲、乙、丙三人随机排成一行,则甲、乙两人相邻的概率为 ▲ .‎ ‎6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ) (其中ω>0,-<φ<)的部分图象如图所示,则f()的值为 ▲ .‎ O x y ‎2‎ -2‎ ‎(第6题图)‎ ‎- ‎(第4题图)‎ S←0‎ For i From 1 To 4 ‎ ‎ S←S+i End For Print S ‎7.已知数列{an}为等比数列.若a1=2,且a1,a2,a3-2成等差数列,则{an}的前n项和为 ▲ .‎ ‎8.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F.若以F为圆心,a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A,B两点,且AB=2b,则该双曲线的离心率为 ▲ .‎ 高三数学试题第19页(共4页)‎ ‎9.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则三棱锥A-B1CD1的体积为 ▲ .‎ ‎10.已知函数f(x)=g(x)=f(x-2).若g(x-1)≥1,则x的取值范围为 ▲ .‎ ‎11.在平面直角坐标系xOy中,A,B是圆O:x2+y2=2上两个动点,且⊥.若A,B两点到直线l:3x+4y-10=0的距离分别为d1,d2,则d1+d2的最大值为 ▲ .‎ ‎12.若对任意a∈[e,+∞) (e为自然对数的底数) ,不等式x≤eax+b对任意x∈R恒成立,则实数b的取值范围为 ▲ .‎ ‎13.已知点P在边长为4的等边三角形ABC内,满足=λ+μ,且2λ+3μ=1,延长AP交边BC于点D.若BD=2DC,则·的值为 ▲ .‎ ‎14.在△ABC中,∠A=,D是BC的中点.若AD≤BC,则sinBsinC的最大值为 ▲ .‎ 二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内.‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ F E P B D C A ‎(第15题图)‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,E,F分别为AD,PB的中点.‎ 求证:(1)EF∥平面PCD;‎ ‎(2)平面PAB⊥平面PCD.‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 已知向量m=(cosx,sinx),n=(cosx,-sinx),函数f(x)=m·n+.‎ 高三数学试题第19页(共4页)‎ ‎(1)若f()=1,x∈(0,π),求tan(x+)的值;‎ ‎(2)若f(α)=-, α∈(,),sinβ=,β∈(0,),求2α+β的值.‎ ‎17.(本小题满分14分) ‎ 如图,港口A在港口O的正东100海里处,在北偏东方向有一条直线航道OD,航道和正东方向之间有一片以B为圆心,半径8海里的圆形暗礁群(在这片海域行船有触礁危险),其中OB=20海里,tan∠AOB=,cos∠AOD=.现一艘科考船以10海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶,经过2个小时后,一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A出发,并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇.‎ ‎ (1)若快艇立即出发,判断快艇是否有触礁的危险,并说明理由;‎ ‎ (2)在无触礁危险的情况下,若快艇再等x小时出发,求x的最小值.‎ A O D 东 北 B ‎ ‎ ‎(第17题图)‎ ‎18.(本小题满分16分)‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)经过点 (-2,0)和 (1,),椭圆C上三点A,M,B与原点O构成一个平行四边形AMBO.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若点B是椭圆C的左顶点,求点M的坐标;‎ 高三数学试题第19页(共4页)‎ ‎(第18题图)‎ A O M x y B ‎(3)若A,M,B,O四点共圆,求直线AB的斜率.‎ ‎19.(本小题满分16分) ‎ 已知函数f(x)= (a∈R) ,其中e为自然对数的底数.‎ ‎(1)若a=1,求函数f(x)的单调减区间;‎ ‎(2)若函数f(x)的定义域为R,且f(2)>f(a),求a的取值范围;‎ ‎(3)证明:对任意a∈(2,4),曲线y=f(x)上有且仅有三个不同的点,在这三点处的切线经过坐标原点.‎ ‎20.(本小题满分16分) ‎ 若数列{an}满足n≥2,n∈N*时,an≠0,则称数列{}(n∈N*)为{an}的“L数列”.‎ ‎(1)若a1=1,且{an}的“L数列”为{},求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若an=n+k-3(k>0),且{an}的“L数列”为递增数列,求k的取值范围;‎ ‎(3)若an=1+pn-1,其中p>1,记{an}的“L数列”的前n项和为Sn,试判断是否存在等差数列{cn},对任意n∈N*,都有cn<Sn<cn+1成立,并证明你的结论.‎ 高三数学试题第19页(共4页)‎ 南京市2020届高三年级第三次模拟考试 ‎ 数学附加题 注意事项:‎ ‎1.附加题供选修物理的考生使用.‎ ‎2.本试卷共40分,考试时间30分钟.‎ ‎3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡.‎ ‎21.【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.选修4—2:矩阵与变换 已知矩阵A=,a∈R.若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P′(0,-2).‎ ‎(1)求矩阵A;‎ ‎(2)求点Q(0,3)经过矩阵A的2次变换后对应点Q′的坐标.‎ B.选修4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数),求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.‎ C.选修4—5:不等式选讲 已知a,b为非负实数,求证:a3+b3≥(a2+b2).‎ 高三数学试题第19页(共4页)‎ ‎【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,B1C⊥AC1.‎ ‎(1)求AA1的长.‎ ‎(第22题图)‎ A1‎ C A B B1‎ C1‎ P ‎(2)试判断在侧棱BB1上是否存在点P,使得直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角 B-A1C-A的大小相等,并说明理由.‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ 口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球.现有一抽奖游戏规则如下:抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球,最多取球2n+1(n∈N*)次.若取出白球的累计次数达到n +1时,则终止取球且获奖,其它情况均不获奖.记获奖概率为Pn.‎ ‎(1)求P1;‎ ‎(2)证明:Pn+1<Pn.‎ 南京市2020届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案及评分标准 说明:‎ ‎1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.‎ ‎2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.‎ ‎3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.‎ 高三数学试题第19页(共4页)‎ ‎4.只给整数分数,填空题不给中间分数.‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)‎ ‎1.{x|1<x<4} 2.2 3.60 4.10 5. 6. ‎ ‎7.2-2 8. 9. 10.[2,4] 11.6 12. [-2,+∞)‎ ‎13.- 14. 二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)‎ ‎15.(本小题满分14分) ‎ 证明:(1)取PC中点G,连接DG、FG.‎ ‎ 在△PBC中,因为F,G分别为PB,PC的中点,所以GF∥BC,GF=BC.‎ 因为底面ABCD为矩形,且E为AD的中点,‎ 所以DE∥BC,DE=BC, 2分 所以GF∥DE,GF=DE,所以四边形DEFG为平行四边形, ‎ 所以EF∥DG. 4分 又因为EFË平面PCD,DGÌ平面PCD,‎ 所以EF∥平面PCD. 6分 ‎(2)因为底面ABCD为矩形,所以CD⊥AD. ‎ 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CDÌ平面ABCD,‎ 所以CD⊥平面PAD. 10分 因为PAÌ平面PAD,所以CD⊥PA. 12分 又因为PA⊥PD,PDÌ平面PCD,CDÌ平面PCD,PD∩CD=D,所以PA⊥平面PCD.‎ 因为PAÌ平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD. 14分 ‎16.(本小题满分14分)‎ 解:(1) 因为向量m=(cosx,sinx),n=(cosx,-sinx),‎ 高三数学试题第19页(共4页)‎ 所以 f(x)=m·n+=cos2x-sin2x+=cos2x+. 2分 因为f()=1,所以cosx+=1,即cosx=.‎ ‎ 又因为x∈(0,π) ,所以x=, 4分 ‎ 所以tan(x+)=tan(+)==-2-. 6分 ‎(2)若f(α)=-,则cos2α+=-,即cos2α=-.‎ 因为α∈(,),所以2α∈(π,),所以sin2α=-=-. 8分 因为sinβ=,β∈(0,),所以cosβ==, 10分 所以cos(2α+β)=cos2αcosβ-sin2αsinβ=(-)×-(-)×=. 12分 又因为2α∈(π,),β∈(0,),所以2α+β∈(π,2π),‎ 所以2α+β的值为. 14分 ‎17.(本小题满分14分) ‎ 解:如图,以O为原点,正东方向为x轴,正北方向为y轴,建立直角坐标系xOy.‎ ‎ 因为OB=20,tan∠AOB=,OA=100,‎ B E A C O D x y ‎ 所以点B(60,40),且A(100,0). 2分 ‎(1)设快艇立即出发经过t小时后两船相遇于点C,‎ ‎ 则OC=10(t+2),AC=50t.‎ ‎ 因为OA=100,cos∠AOD=,‎ ‎ 所以AC2=OA2+OC2-2OA·OC·cos∠AOD,‎ 高三数学试题第19页(共4页)‎ ‎ 即(50t)2=1002+[10(t+2)]2-2×100×10(t+2)×.‎ ‎ 化得t2=4,解得t1=2,t2=-2(舍去), 4分 ‎ 所以OC=40.‎ ‎ 因为cos∠AOD=,所以sin∠AOD=,所以C(40,80),‎ ‎ 所以直线AC的方程为y=-(x-100),即4x+3y-400=0. 6分 ‎ 因为圆心B到直线AC的距离d==8,而圆B的半径r=8,‎ ‎ 所以d<r,此时直线AC与圆B相交,所以快艇有触礁的危险.‎ ‎ 答:若快艇立即出发有触礁的危险. 8分 ‎(2)设快艇所走的直线AE与圆B相切,且与科考船相遇于点E.‎ ‎ 设直线AE的方程为y=k(x-100),即kx-y-100k=0.‎ ‎ 因为直线AE与圆B相切,所以圆心B到直线AC的距离d==8,‎ ‎ 即2k2+5k+2=0,解得k=-2或k=-. 10分 ‎ 由(1)可知k=-舍去.‎ ‎ 因为cos∠AOD=,所以tan∠AOD=2,所以直线OD的方程为y=2x.‎ ‎ 由解得所以E(50,100),‎ ‎ 所以AE=50,OE=50, 12分 ‎ 此时两船的时间差为-=5-,所以x≥5--2=3-.‎ ‎ 答:x的最小值为(3-)小时. 14分 ‎18.(本小题满分16分)‎ 解:(1)因为椭圆+=1(a>b>0)过点(-2,0)和 (1,),‎ 所以a=2,+=1,解得b2=1,‎ 所以椭圆C的方程为+y2=1. 2分 ‎(2)因为B为左顶点,所以B (-2,0).‎ 因为四边形AMBO为平行四边形,所以AM∥BO,且AM=BO=2. 4分 设点M(x0,y0),则A(x0+2,y0).‎ 高三数学试题第19页(共4页)‎ 因为点M,A在椭圆C上,所以解得 所以M(-1,±). 6分 ‎(3) 因为直线AB的斜率存在,所以设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由消去y,得(4k2+1)x2+8kmx+‎4m2‎-4=0,‎ 则有x1+x2=,x1x2=. 8分 因为平行四边形AMBO,所以=+=(x1+x2,y1+y2).‎ 因为x1+x2=,所以y1+y2=k(x1+x2)+‎2m=k·+‎2m=,‎ 所以M(,). 10分 因为点M在椭圆C上,所以将点M的坐标代入椭圆C的方程,‎ 化得‎4m2‎=4k2+1.① 12分 ‎ 因为A,M,B,O四点共圆,所以平行四边形AMBO是矩形,且OA⊥OB,‎ 所以·=x1x2+y1y2=0.‎ 因为y1y2=(kx1+m)(kx1+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=,‎ 所以x1x2+y1y2=+=0,化得‎5m2‎=4k2+4.② 14分 由①②解得k2=,m2=3,此时△>0,因此k=±. ‎ 所以所求直线AB的斜率为±. 16分 ‎19. (本小题满分16分) ‎ 解:(1)当a=1时,f(x)=,‎ 高三数学试题第19页(共4页)‎ 所以函数f(x)的定义域为R,f'(x)=. ‎ 令f'(x)<0,解得1<x<2,‎ 所以函数f(x)的单调减区间为(1,2). 2分 ‎(2)由函数f(x)的定义域为R,得x2-ax+a≠0恒成立,‎ 所以a2-‎4a<0,解得0<a<4. 4分 方法1‎ 由f(x)=,得f'(x)=.‎ ‎ ①当a=2时,f(2)=f(a),不符题意.‎ ‎ ②当0<a<2时,‎ 因为当a<x<2时,f ′(x)<0,所以f(x)在(a,2)上单调递减,‎ ‎ 所以f(a)>f(2),不符题意. 6分 ‎ ③当2<a<4时,‎ 因为当2<x<a时,f ′(x)<0,所以f(x)在(2,a)上单调递减,‎ ‎ 所以f(a)<f(2),满足题意.‎ ‎ 综上,a的取值范围为(2,4). 8分 ‎ 方法2‎ 由f(2)>f(a),得>.‎ ‎ 因为0<a<4,所以不等式可化为e2>(4-a).‎ ‎ 设函数g(x)=(4-x)-e2, 0<x<4. 6分 因为g'(x)=ex·≤0恒成立,所以g(x)在(0,4)上单调递减.‎ 又因为g(2)=0,所以g(x)<0的解集为(2,4).‎ 所以,a的取值范围为(2,4). 8分 高三数学试题第19页(共4页)‎ ‎(3)证明:设切点为(x0,f(x0)),则f'(x0)=,‎ 所以切线方程为y-=×(x-x0). ‎ 由0-=×(0-x0),‎ 化简得x03-(a+3)x02+3ax0-a=0. 10分 设h(x)=x3-(a+3)x2+3ax-a,a∈(2,4),‎ 则只要证明函数h(x)有且仅有三个不同的零点. ‎ 由(2)可知a∈(2,4)时,函数h(x)的定义域为R,h'(x)=3x2-2(a+3)x+3a.‎ 因为△=4(a+3)2-36a=4(a-)2+27>0恒成立,‎ 所以h'(x)=0有两不相等的实数根x1和x2,不妨x1<x2.‎ 因为 x ‎(-∞,x1)‎ x1‎ ‎(x1,x2)‎ x2‎ ‎(x2,+∞)‎ h’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ h(x)‎ 增 极大 减 极小 增 所以函数h(x)最多有三个零点. 12分 因为a∈(2,4),所以h(0)=-a<0,h(1)=a-2>0,h(2)=a-4<0,h(5)=50-11a>0,‎ 所以h(0)h(1)<0,h(1)h(2)<0,h(2)h(5)<0.‎ 因为函数的图象不间断,所以函数h(x)在(0,1),(1,2),(2,5)上分别至少有一个零点.‎ 综上所述,函数h(x)有且仅有三个零点. 16分 ‎20.(本小题满分16分)‎ 解:(1) 因为{an}的“L数列”为{},所以=,n∈N*,即=2n,‎ 所以n≥2时,an=··…··a1=2n-1·2n-2·…·2·1=2(n-1)+(n-2)+…+1=2. ‎ 高三数学试题第19页(共4页)‎ 又a1=1符合上式,所以{an}的通项公式为an=2,n∈N*. 2分 ‎(2)因为an=n+k-3(k>0),且n≥2,n∈N*时,an≠0,所以k≠1.‎ 方法1‎ 设bn=,n∈N*,所以bn==1-.‎ 因为{bn}为递增数列,所以bn+1-bn>0对n∈N*恒成立,‎ 即->0对n∈N*恒成立. 4分 因为-=,‎ 所以->0等价于(n+k-2)(n+k-1)>0.‎ 当0<k<1时,因为n=1时,(n+k-2)(n+k-1)<0,不符合题意. 6分 当k>1时,n+k-1>n+k-2>0,所以(n+k-2)(n+k-1)>0,‎ 综上,k的取值范围是(1,+∞). 8分 方法2‎ 令f(x)=1-,所以f(x)在区间(-∞,2-k)和区间(2-k,+∞)上单调递增. ‎ 当0<k<1时,‎ f(1)=1->1,f(2)=1-<1,所以b2<b1,不符合题意. 6分 当k>1时,‎ 因为2-k<1,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以{bn}单调递增,符合题意.‎ 综上,k的取值范围是(1,+∞). 8分 ‎ (3)存在满足条件的等差数列{cn},证明如下:‎ 因为==+ ,k∈N*, 10分 高三数学试题第19页(共4页)‎ 所以Sn=+(1-)·(++…++).‎ ‎ 又因为p>1,所以1->0,所以<Sn<+(1-)·(++…++),‎ 即<Sn<+·[1-()n]. 14分 ‎ 因为·[1-()n]<,所以<Sn<.‎ 设cn=,则cn+1-cn=-=,且cn<Sn<cn+1,‎ 所以存在等差数列{cn}满足题意. 16分 高三数学试题第19页(共4页)‎ 南京市2020届高三年级第三次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 说明:‎ ‎1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.‎ ‎2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.‎ ‎3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.‎ ‎4.只给整数分数,填空题不给中间分数.‎ ‎21.【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.选修4—2:矩阵与变换 解:(1) =. 2分 因为点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P′(0,-2),所以a=-2,‎ ‎ 所以A=. 4分 ‎ (2)因为A=,所以A2= =, 6分 ‎ 所以A2= =,‎ ‎ 所以,点Q′的坐标为(-3,6). 10分 B.选修4—4:坐标系与参数方程 解:由l的参数方程(t为参数)得直线l方程为x-y+=0. 2分 曲线C上的点到直线l的距离d= 4分 ‎=. 6分 当θ+=2kπ,即θ=-+2kπ(k∈Z)时, 8分 曲线C上的点到直线l的距离取最大值. 10分 高三数学试题第19页(共4页)‎ C.选修4—5:不等式选讲 证明:因为a,b为非负实数,‎ 所以a3+b3-(a2+b2)=a2(-)+b2(-)‎ ‎ =(-)[()5-()5]. 4分 若a≥b时,≥,从而()5≥()5,‎ 得(-)·[()5-()5]≥0. 6分 若a<b时,<,从而()5<()5,‎ 得(-)·[()5-()5]>0. 8分 综上,a3+b3≥(a2+b2). 10分 A1‎ C A B B1‎ C1‎ P x y z ‎22.(本小题满分10分)‎ 解:(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以AA1⊥平面ABC,‎ 所以AA1⊥AB,AA1⊥AC.‎ 又AB⊥AC,所以以{,,}为正交基底建立如图所示的 空间直角坐标系A—xyz.‎ 设AA1=t(t>0),又AB=3,AC=4,‎ 则A(0,0,0),C1(0,4,t),B1(3,0,t),C(0,4,0),‎ 所以=(0,4,t),=(-3,4,-t). 2分 因为B1C⊥AC1,所以·=0,即16-t2=0,解得t=4,‎ 所以AA1的长为4. 4分 ‎(2)由(1)知B(3,0,0),C(0,4,0),A1(0,0,4),‎ 所以=(0,4,-4),=(-3,4,0).‎ 设n=(x,y,z)为平面A1CB的法向量,‎ 则n·=0,n·=0,即 取y=3,解得z=3,x=4,所以n=(4,3,3)为平面A1CB的一个法向量.‎ 又因为AB⊥面AA1C1C,所以=(3,0,0)为平面A1CA的一个法向量,‎ 则cos<n,>===, 6分 高三数学试题第19页(共4页)‎ 所以sin<n,>=.‎ 设P(3,0,m),其中0≤m≤4,则=(3,-4,m).‎ 因为=(3,0,0)为平面A1CA的一个法向量,‎ 所以cos<,>===,‎ 所以直线PC与平面AA1C1C的所成角的正弦值为. 8分 因为直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角B-A1C-A的大小相等,‎ 所以=,此时方程无解,‎ 所以侧棱BB1上不存在点P,使得直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角B-A1C-A的大小相等 . ‎ ‎ 10分 ‎23.(本小题满分10分)‎ 解:(1)根据题意,每次取出的球是白球的概率为,取出的球是黑球的概率为.‎ 所以P1=×+C×()2×=+=. 2分 ‎(2)证明:累计取出白球次数是n +1的情况有:‎ 前n 次取出n次白球,第n +1次取出的是白球,概率为C×()n+1;‎ 前n +1次取出n次白球,第n +2次取出的是白球,概率为C×()n+1×;‎ ‎ 4分 ‎……‎ 前2n-1 次取出n次白球,第2n 次取出的是白球,概率为C×()n+1×()n-1;‎ 前2n 次取出n次白球,第2n +1次取出的是白球,概率为C×()n+1×()n;‎ 高三数学试题第19页(共4页)‎ 则Pn=C×()n+1+C×()n+1×+…+C×()n+1×()n-1+C×()n+1×()n ‎=()n+1×[C+C×+…+C×()n-1+C×()n] ‎ ‎ =()n+1×[C+C×+…+C×()n-1+C×()n], 6分 因此Pn+1-Pn=()n+2×[C+C×+…+C×()n+C×()n+1] ‎ ‎-()n+1×[C+C×+…+C×()n-1+C×()n]‎ ‎=()n+1×{×[C+C×+…+C×()n+C×()n+1]‎ ‎-[C+C×+…+C×()n-1+C×()n]}‎ ‎=()n+1×{(1-)×[C+C×+…+C×()n+C×()n+1]‎ ‎-[C+C×+…+C×()n-1+C×()n]}‎ ‎=()n+1×{[C+C×+…+C×()n+C×()n+1]‎ ‎- [C×+C×()2+…+C×()n+1+C×()n+2]‎ ‎-[C+C×+…+C×()n-1+C×()n]}‎ ‎ 8分 ‎=()n+1×{[C+C×+…+C×()n+C×()n+1]‎ 高三数学试题第19页(共4页)‎ ‎-[C+C×+…++C×()n+C×()n+1+C×()n+2]},‎ 则Pn+1-Pn=()n+1×[C×()n+1-C×()n+1-C×()n+2]‎ ‎=()n+1×()n+1×(C-C-C)‎ ‎=()n+1×()n+1×(C-C).‎ 因为C-C=C-(C+C)=C-C=-C,‎ 所以Pn+1-Pn=()n+1×()n+1×(-)× C<0,‎ 因此Pn+1<Pn. 10分 ‎ ‎ ‎ ‎ 高三数学试题第19页(共4页)‎