- 339.00 KB
- 2021-06-23 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
南京市2020届高三年级第三次模拟考试
数 学
注意事项:
1.本试卷共4页,包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本试卷满分为160分,考试时间为120分钟.
2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡.
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题卡的指定位置上)
1.已知集合A={x|2<x<4},B={x|1<x<3},则A∪B= ▲ .
2.若z=+i (i是虚数单位)是实数,则实数a的值为 ▲ .
3.某校共有教师300人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本,则从男学生中抽取的人数为 ▲ .
4.如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为 ▲ .
5.将甲、乙、丙三人随机排成一行,则甲、乙两人相邻的概率为 ▲ .
6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ) (其中ω>0,-<φ<)的部分图象如图所示,则f()的值为 ▲ .
O
x
y
2
-2
(第6题图)
-
(第4题图)
S←0
For i From 1 To 4
S←S+i
End For
Print S
7.已知数列{an}为等比数列.若a1=2,且a1,a2,a3-2成等差数列,则{an}的前n项和为 ▲ .
8.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F.若以F为圆心,a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A,B两点,且AB=2b,则该双曲线的离心率为 ▲ .
高三数学试题第19页(共4页)
9.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则三棱锥A-B1CD1的体积为 ▲ .
10.已知函数f(x)=g(x)=f(x-2).若g(x-1)≥1,则x的取值范围为 ▲ .
11.在平面直角坐标系xOy中,A,B是圆O:x2+y2=2上两个动点,且⊥.若A,B两点到直线l:3x+4y-10=0的距离分别为d1,d2,则d1+d2的最大值为 ▲ .
12.若对任意a∈[e,+∞) (e为自然对数的底数) ,不等式x≤eax+b对任意x∈R恒成立,则实数b的取值范围为 ▲ .
13.已知点P在边长为4的等边三角形ABC内,满足=λ+μ,且2λ+3μ=1,延长AP交边BC于点D.若BD=2DC,则·的值为 ▲ .
14.在△ABC中,∠A=,D是BC的中点.若AD≤BC,则sinBsinC的最大值为 ▲ .
二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内.
15.(本小题满分14分)
F
E
P
B
D
C
A
(第15题图)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,E,F分别为AD,PB的中点.
求证:(1)EF∥平面PCD;
(2)平面PAB⊥平面PCD.
16.(本小题满分14分)
已知向量m=(cosx,sinx),n=(cosx,-sinx),函数f(x)=m·n+.
高三数学试题第19页(共4页)
(1)若f()=1,x∈(0,π),求tan(x+)的值;
(2)若f(α)=-, α∈(,),sinβ=,β∈(0,),求2α+β的值.
17.(本小题满分14分)
如图,港口A在港口O的正东100海里处,在北偏东方向有一条直线航道OD,航道和正东方向之间有一片以B为圆心,半径8海里的圆形暗礁群(在这片海域行船有触礁危险),其中OB=20海里,tan∠AOB=,cos∠AOD=.现一艘科考船以10海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶,经过2个小时后,一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A出发,并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇.
(1)若快艇立即出发,判断快艇是否有触礁的危险,并说明理由;
(2)在无触礁危险的情况下,若快艇再等x小时出发,求x的最小值.
A
O
D
东
北
B
(第17题图)
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)经过点 (-2,0)和 (1,),椭圆C上三点A,M,B与原点O构成一个平行四边形AMBO.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点B是椭圆C的左顶点,求点M的坐标;
高三数学试题第19页(共4页)
(第18题图)
A
O
M
x
y
B
(3)若A,M,B,O四点共圆,求直线AB的斜率.
19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)= (a∈R) ,其中e为自然对数的底数.
(1)若a=1,求函数f(x)的单调减区间;
(2)若函数f(x)的定义域为R,且f(2)>f(a),求a的取值范围;
(3)证明:对任意a∈(2,4),曲线y=f(x)上有且仅有三个不同的点,在这三点处的切线经过坐标原点.
20.(本小题满分16分)
若数列{an}满足n≥2,n∈N*时,an≠0,则称数列{}(n∈N*)为{an}的“L数列”.
(1)若a1=1,且{an}的“L数列”为{},求数列{an}的通项公式;
(2)若an=n+k-3(k>0),且{an}的“L数列”为递增数列,求k的取值范围;
(3)若an=1+pn-1,其中p>1,记{an}的“L数列”的前n项和为Sn,试判断是否存在等差数列{cn},对任意n∈N*,都有cn<Sn<cn+1成立,并证明你的结论.
高三数学试题第19页(共4页)
南京市2020届高三年级第三次模拟考试
数学附加题
注意事项:
1.附加题供选修物理的考生使用.
2.本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡.
21.【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4—2:矩阵与变换
已知矩阵A=,a∈R.若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P′(0,-2).
(1)求矩阵A;
(2)求点Q(0,3)经过矩阵A的2次变换后对应点Q′的坐标.
B.选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数),求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.
C.选修4—5:不等式选讲
已知a,b为非负实数,求证:a3+b3≥(a2+b2).
高三数学试题第19页(共4页)
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,B1C⊥AC1.
(1)求AA1的长.
(第22题图)
A1
C
A
B
B1
C1
P
(2)试判断在侧棱BB1上是否存在点P,使得直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角
B-A1C-A的大小相等,并说明理由.
23.(本小题满分10分)
口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球.现有一抽奖游戏规则如下:抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球,最多取球2n+1(n∈N*)次.若取出白球的累计次数达到n +1时,则终止取球且获奖,其它情况均不获奖.记获奖概率为Pn.
(1)求P1;
(2)证明:Pn+1<Pn.
南京市2020届高三年级第三次模拟考试
数学参考答案及评分标准
说明:
1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
高三数学试题第19页(共4页)
4.只给整数分数,填空题不给中间分数.
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)
1.{x|1<x<4} 2.2 3.60 4.10 5. 6.
7.2-2 8. 9. 10.[2,4] 11.6 12. [-2,+∞)
13.- 14.
二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)
15.(本小题满分14分)
证明:(1)取PC中点G,连接DG、FG.
在△PBC中,因为F,G分别为PB,PC的中点,所以GF∥BC,GF=BC.
因为底面ABCD为矩形,且E为AD的中点,
所以DE∥BC,DE=BC, 2分
所以GF∥DE,GF=DE,所以四边形DEFG为平行四边形,
所以EF∥DG. 4分
又因为EFË平面PCD,DGÌ平面PCD,
所以EF∥平面PCD. 6分
(2)因为底面ABCD为矩形,所以CD⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CDÌ平面ABCD,
所以CD⊥平面PAD. 10分
因为PAÌ平面PAD,所以CD⊥PA. 12分
又因为PA⊥PD,PDÌ平面PCD,CDÌ平面PCD,PD∩CD=D,所以PA⊥平面PCD.
因为PAÌ平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD. 14分
16.(本小题满分14分)
解:(1) 因为向量m=(cosx,sinx),n=(cosx,-sinx),
高三数学试题第19页(共4页)
所以 f(x)=m·n+=cos2x-sin2x+=cos2x+. 2分
因为f()=1,所以cosx+=1,即cosx=.
又因为x∈(0,π) ,所以x=, 4分
所以tan(x+)=tan(+)==-2-. 6分
(2)若f(α)=-,则cos2α+=-,即cos2α=-.
因为α∈(,),所以2α∈(π,),所以sin2α=-=-. 8分
因为sinβ=,β∈(0,),所以cosβ==, 10分
所以cos(2α+β)=cos2αcosβ-sin2αsinβ=(-)×-(-)×=. 12分
又因为2α∈(π,),β∈(0,),所以2α+β∈(π,2π),
所以2α+β的值为. 14分
17.(本小题满分14分)
解:如图,以O为原点,正东方向为x轴,正北方向为y轴,建立直角坐标系xOy.
因为OB=20,tan∠AOB=,OA=100,
B
E
A
C
O
D
x
y
所以点B(60,40),且A(100,0). 2分
(1)设快艇立即出发经过t小时后两船相遇于点C,
则OC=10(t+2),AC=50t.
因为OA=100,cos∠AOD=,
所以AC2=OA2+OC2-2OA·OC·cos∠AOD,
高三数学试题第19页(共4页)
即(50t)2=1002+[10(t+2)]2-2×100×10(t+2)×.
化得t2=4,解得t1=2,t2=-2(舍去), 4分
所以OC=40.
因为cos∠AOD=,所以sin∠AOD=,所以C(40,80),
所以直线AC的方程为y=-(x-100),即4x+3y-400=0. 6分
因为圆心B到直线AC的距离d==8,而圆B的半径r=8,
所以d<r,此时直线AC与圆B相交,所以快艇有触礁的危险.
答:若快艇立即出发有触礁的危险. 8分
(2)设快艇所走的直线AE与圆B相切,且与科考船相遇于点E.
设直线AE的方程为y=k(x-100),即kx-y-100k=0.
因为直线AE与圆B相切,所以圆心B到直线AC的距离d==8,
即2k2+5k+2=0,解得k=-2或k=-. 10分
由(1)可知k=-舍去.
因为cos∠AOD=,所以tan∠AOD=2,所以直线OD的方程为y=2x.
由解得所以E(50,100),
所以AE=50,OE=50, 12分
此时两船的时间差为-=5-,所以x≥5--2=3-.
答:x的最小值为(3-)小时. 14分
18.(本小题满分16分)
解:(1)因为椭圆+=1(a>b>0)过点(-2,0)和 (1,),
所以a=2,+=1,解得b2=1,
所以椭圆C的方程为+y2=1. 2分
(2)因为B为左顶点,所以B (-2,0).
因为四边形AMBO为平行四边形,所以AM∥BO,且AM=BO=2. 4分
设点M(x0,y0),则A(x0+2,y0).
高三数学试题第19页(共4页)
因为点M,A在椭圆C上,所以解得
所以M(-1,±). 6分
(3) 因为直线AB的斜率存在,所以设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
由消去y,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
则有x1+x2=,x1x2=. 8分
因为平行四边形AMBO,所以=+=(x1+x2,y1+y2).
因为x1+x2=,所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=k·+2m=,
所以M(,). 10分
因为点M在椭圆C上,所以将点M的坐标代入椭圆C的方程,
化得4m2=4k2+1.① 12分
因为A,M,B,O四点共圆,所以平行四边形AMBO是矩形,且OA⊥OB,
所以·=x1x2+y1y2=0.
因为y1y2=(kx1+m)(kx1+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=,
所以x1x2+y1y2=+=0,化得5m2=4k2+4.② 14分
由①②解得k2=,m2=3,此时△>0,因此k=±.
所以所求直线AB的斜率为±. 16分
19. (本小题满分16分)
解:(1)当a=1时,f(x)=,
高三数学试题第19页(共4页)
所以函数f(x)的定义域为R,f'(x)=.
令f'(x)<0,解得1<x<2,
所以函数f(x)的单调减区间为(1,2). 2分
(2)由函数f(x)的定义域为R,得x2-ax+a≠0恒成立,
所以a2-4a<0,解得0<a<4. 4分
方法1
由f(x)=,得f'(x)=.
①当a=2时,f(2)=f(a),不符题意.
②当0<a<2时,
因为当a<x<2时,f ′(x)<0,所以f(x)在(a,2)上单调递减,
所以f(a)>f(2),不符题意. 6分
③当2<a<4时,
因为当2<x<a时,f ′(x)<0,所以f(x)在(2,a)上单调递减,
所以f(a)<f(2),满足题意.
综上,a的取值范围为(2,4). 8分
方法2
由f(2)>f(a),得>.
因为0<a<4,所以不等式可化为e2>(4-a).
设函数g(x)=(4-x)-e2, 0<x<4. 6分
因为g'(x)=ex·≤0恒成立,所以g(x)在(0,4)上单调递减.
又因为g(2)=0,所以g(x)<0的解集为(2,4).
所以,a的取值范围为(2,4). 8分
高三数学试题第19页(共4页)
(3)证明:设切点为(x0,f(x0)),则f'(x0)=,
所以切线方程为y-=×(x-x0).
由0-=×(0-x0),
化简得x03-(a+3)x02+3ax0-a=0. 10分
设h(x)=x3-(a+3)x2+3ax-a,a∈(2,4),
则只要证明函数h(x)有且仅有三个不同的零点.
由(2)可知a∈(2,4)时,函数h(x)的定义域为R,h'(x)=3x2-2(a+3)x+3a.
因为△=4(a+3)2-36a=4(a-)2+27>0恒成立,
所以h'(x)=0有两不相等的实数根x1和x2,不妨x1<x2.
因为
x
(-∞,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
h’(x)
+
0
-
0
+
h(x)
增
极大
减
极小
增
所以函数h(x)最多有三个零点. 12分
因为a∈(2,4),所以h(0)=-a<0,h(1)=a-2>0,h(2)=a-4<0,h(5)=50-11a>0,
所以h(0)h(1)<0,h(1)h(2)<0,h(2)h(5)<0.
因为函数的图象不间断,所以函数h(x)在(0,1),(1,2),(2,5)上分别至少有一个零点.
综上所述,函数h(x)有且仅有三个零点. 16分
20.(本小题满分16分)
解:(1) 因为{an}的“L数列”为{},所以=,n∈N*,即=2n,
所以n≥2时,an=··…··a1=2n-1·2n-2·…·2·1=2(n-1)+(n-2)+…+1=2.
高三数学试题第19页(共4页)
又a1=1符合上式,所以{an}的通项公式为an=2,n∈N*. 2分
(2)因为an=n+k-3(k>0),且n≥2,n∈N*时,an≠0,所以k≠1.
方法1
设bn=,n∈N*,所以bn==1-.
因为{bn}为递增数列,所以bn+1-bn>0对n∈N*恒成立,
即->0对n∈N*恒成立. 4分
因为-=,
所以->0等价于(n+k-2)(n+k-1)>0.
当0<k<1时,因为n=1时,(n+k-2)(n+k-1)<0,不符合题意. 6分
当k>1时,n+k-1>n+k-2>0,所以(n+k-2)(n+k-1)>0,
综上,k的取值范围是(1,+∞). 8分
方法2
令f(x)=1-,所以f(x)在区间(-∞,2-k)和区间(2-k,+∞)上单调递增.
当0<k<1时,
f(1)=1->1,f(2)=1-<1,所以b2<b1,不符合题意. 6分
当k>1时,
因为2-k<1,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以{bn}单调递增,符合题意.
综上,k的取值范围是(1,+∞). 8分
(3)存在满足条件的等差数列{cn},证明如下:
因为==+ ,k∈N*, 10分
高三数学试题第19页(共4页)
所以Sn=+(1-)·(++…++).
又因为p>1,所以1->0,所以<Sn<+(1-)·(++…++),
即<Sn<+·[1-()n]. 14分
因为·[1-()n]<,所以<Sn<.
设cn=,则cn+1-cn=-=,且cn<Sn<cn+1,
所以存在等差数列{cn}满足题意. 16分
高三数学试题第19页(共4页)
南京市2020届高三年级第三次模拟考试
数学附加题参考答案及评分标准
说明:
1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,填空题不给中间分数.
21.【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4—2:矩阵与变换
解:(1) =. 2分
因为点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P′(0,-2),所以a=-2,
所以A=. 4分
(2)因为A=,所以A2= =, 6分
所以A2= =,
所以,点Q′的坐标为(-3,6). 10分
B.选修4—4:坐标系与参数方程
解:由l的参数方程(t为参数)得直线l方程为x-y+=0. 2分
曲线C上的点到直线l的距离d= 4分
=. 6分
当θ+=2kπ,即θ=-+2kπ(k∈Z)时, 8分
曲线C上的点到直线l的距离取最大值. 10分
高三数学试题第19页(共4页)
C.选修4—5:不等式选讲
证明:因为a,b为非负实数,
所以a3+b3-(a2+b2)=a2(-)+b2(-)
=(-)[()5-()5]. 4分
若a≥b时,≥,从而()5≥()5,
得(-)·[()5-()5]≥0. 6分
若a<b时,<,从而()5<()5,
得(-)·[()5-()5]>0. 8分
综上,a3+b3≥(a2+b2). 10分
A1
C
A
B
B1
C1
P
x
y
z
22.(本小题满分10分)
解:(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以AA1⊥平面ABC,
所以AA1⊥AB,AA1⊥AC.
又AB⊥AC,所以以{,,}为正交基底建立如图所示的
空间直角坐标系A—xyz.
设AA1=t(t>0),又AB=3,AC=4,
则A(0,0,0),C1(0,4,t),B1(3,0,t),C(0,4,0),
所以=(0,4,t),=(-3,4,-t). 2分
因为B1C⊥AC1,所以·=0,即16-t2=0,解得t=4,
所以AA1的长为4. 4分
(2)由(1)知B(3,0,0),C(0,4,0),A1(0,0,4),
所以=(0,4,-4),=(-3,4,0).
设n=(x,y,z)为平面A1CB的法向量,
则n·=0,n·=0,即
取y=3,解得z=3,x=4,所以n=(4,3,3)为平面A1CB的一个法向量.
又因为AB⊥面AA1C1C,所以=(3,0,0)为平面A1CA的一个法向量,
则cos<n,>===, 6分
高三数学试题第19页(共4页)
所以sin<n,>=.
设P(3,0,m),其中0≤m≤4,则=(3,-4,m).
因为=(3,0,0)为平面A1CA的一个法向量,
所以cos<,>===,
所以直线PC与平面AA1C1C的所成角的正弦值为. 8分
因为直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角B-A1C-A的大小相等,
所以=,此时方程无解,
所以侧棱BB1上不存在点P,使得直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角B-A1C-A的大小相等 .
10分
23.(本小题满分10分)
解:(1)根据题意,每次取出的球是白球的概率为,取出的球是黑球的概率为.
所以P1=×+C×()2×=+=. 2分
(2)证明:累计取出白球次数是n +1的情况有:
前n 次取出n次白球,第n +1次取出的是白球,概率为C×()n+1;
前n +1次取出n次白球,第n +2次取出的是白球,概率为C×()n+1×;
4分
……
前2n-1 次取出n次白球,第2n 次取出的是白球,概率为C×()n+1×()n-1;
前2n 次取出n次白球,第2n +1次取出的是白球,概率为C×()n+1×()n;
高三数学试题第19页(共4页)
则Pn=C×()n+1+C×()n+1×+…+C×()n+1×()n-1+C×()n+1×()n
=()n+1×[C+C×+…+C×()n-1+C×()n]
=()n+1×[C+C×+…+C×()n-1+C×()n], 6分
因此Pn+1-Pn=()n+2×[C+C×+…+C×()n+C×()n+1]
-()n+1×[C+C×+…+C×()n-1+C×()n]
=()n+1×{×[C+C×+…+C×()n+C×()n+1]
-[C+C×+…+C×()n-1+C×()n]}
=()n+1×{(1-)×[C+C×+…+C×()n+C×()n+1]
-[C+C×+…+C×()n-1+C×()n]}
=()n+1×{[C+C×+…+C×()n+C×()n+1]
- [C×+C×()2+…+C×()n+1+C×()n+2]
-[C+C×+…+C×()n-1+C×()n]}
8分
=()n+1×{[C+C×+…+C×()n+C×()n+1]
高三数学试题第19页(共4页)
-[C+C×+…++C×()n+C×()n+1+C×()n+2]},
则Pn+1-Pn=()n+1×[C×()n+1-C×()n+1-C×()n+2]
=()n+1×()n+1×(C-C-C)
=()n+1×()n+1×(C-C).
因为C-C=C-(C+C)=C-C=-C,
所以Pn+1-Pn=()n+1×()n+1×(-)× C<0,
因此Pn+1<Pn. 10分
高三数学试题第19页(共4页)
相关文档
- 江苏省南京市2019-2020学年高一上2021-06-2310页
- 江苏省南京市溧水区第二高级中学、2021-06-2125页
- 江苏省南京市十校2020届高三下学期2021-06-2017页
- 江苏省南京市2020届高三第三次模拟2021-06-2026页
- 2017-2018学年江苏省南京市程桥高2021-06-198页
- 江苏省南京市秦淮中学2019-2020学2021-06-1912页
- 江苏省南京市2018届高三年级第三次2021-06-1917页
- 数学·江苏省南京市溧水中学2017届2021-06-1729页
- 2017-2018学年江苏省南京市六校联2021-06-177页
- 数学文卷·2018届江苏省南京市多校2021-06-179页