高考数学专题复习教案： 数列的综合应用备考策略 4页

数列的综合应用备考策略 主标题：数列的综合应用备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：数列，数列的综合应用，备考策略 难度：3‎ 重要程度：5‎ 内容 考点一 等差数列与等比数列的综合问题 ‎[例1]已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.‎ ‎[解]　(1)设{an}的公差为d，由题意得a＝a1a13.‎ 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．‎ 于是d(2a1＋25d)＝0.‎ 又a1＝25，所以d＝0(舍去)或d＝－2.‎ 故an＝－2n＋27.‎ ‎(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.‎ 由(1)知a3n－2＝－6n＋31，‎ 故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．‎ 从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.‎ ‎【备考策略】‎ 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．‎ 考点二　数列在实际问题中的应用 ‎【例2】某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．‎ ‎(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；‎ ‎(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．‎ 解　(1)由题意，‎ 得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，‎ a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d，‎ an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.‎ ‎(2)由(1)，得an＝an－1－d ‎＝－d ‎＝an－2－d－d ‎…‎ ‎＝a1－d 整理，得an＝(3 000－d)－2d ‎＝(3 000－3d)＋2d.‎ 由题意，得am＝4 000，‎ 即(3 000－3d)＋2d＝4 000.‎ 故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．‎ ‎【备考策略】 用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论．‎ 考点三　数列与函数、不等式的综合应用 常考查：①以数列为载体，比较两项的大小或证明不等式；②以数列为载体，利用不等式恒成立求参数．在解答时需要我们抓住本质，进行合理变形、求和，再结合与不等式有关的知识求解，试题难度较大．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例3】设b＞0，数列{an}满足a1＝b，an＝(n≥2)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明：对于一切正整数n,2an≤bn＋1＋1.‎ ‎[审题视点] 　‎ ‎(1)对所给递推关系式变形(取倒数)后构造等比数列求解．‎ ‎(2)利用基本不等式放缩．‎ ‎[听课记录]‎ ‎(1)解　由a1＝b＞0，知an＝＞0，＝＋ .‎ 令An＝，A1＝.当n≥2时，‎ An＝＋An－1＝＋…＋＋A1＝＋…＋＋.‎ ‎①当b≠1时，An＝＝；‎ ‎②当b＝1时，An＝n.所以an＝ ‎(2)证明　当b≠1时，欲证2an＝≤bn＋1＋1，只需证2nbn≤(bn＋1＋1).‎ 因为(bn＋1＋1)＝b2n＋b2n－1＋…＋bn＋1＋bn－1＋bn－2＋…＋1＝bn＋‎ ‎＋…＋＞bn(2＋2＋…＋2)＝2nbn，所以2an＝＜1＋bn＋1.‎ 当b＝1,2an＝2＝bn＋1＋1.综上所述，2an≤bn＋1＋1.‎ ‎【备考策略】与数列有关的不等式证明常用的方法有：比较法(作差、作商)、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点．利用放缩法解决“数列＋不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩．‎