【数学】2020届一轮复习北师大版综合法与分析法课时作业 5页

知识点一 综合法和分析法的概念　　　　 　　 　　　　 　　 　　　 　‎ ‎1.下列表述：‎ ‎①综合法是由因导果法；‎ ‎②综合法是顺推法；‎ ‎③分析法是执果索因法；‎ ‎④分析法是间接证明法；‎ ‎⑤分析法是逆推法．‎ 其中正确的语句有(　　)‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 答案　C 解析　由综合法与分析法的定义可知①②③⑤正确．‎ ‎2．要证明＋＜＋(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是(　　)‎ A．综合法 B．类比法 C．分析法 D．归纳法 答案　C 解析　用综合法直接证明很难入手，由分析法的特点知用分析法最合理．‎ ‎3．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x取导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．‎ 答案　综合法 解析　证明过程利用已知条件，通过导数与函数的单调性之间的关系，推导出“f(x)在区间(0,1)上是增函数”的结论，故应用的证明方法是综合法.‎ 知识点二 综合法和分析法的应用 ‎4.已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋.(要求用两种方法证明)‎ 证明　综合法：因为a＞0，b＞0，所以＋－－＝＋＝＋＝(a－b)·＝≥0，所以＋≥＋.‎ 分析法：要证＋≥＋，只需证a＋b≥a＋b，即证(a－b)(－)≥0，因为a＞0，b＞0，所以a－b与－符号相同，不等式(a－b)(－)≥0成立，所以原不等式成立．‎ ‎5．求证：＋＋＜2.‎ 证明　因为＝logab，‎ 所以左边＝log195＋2log193＋3log192‎ ‎＝log195＋log1932＋log1923＝log19(5×32×23)‎ ‎＝log19360.‎ 因为log19360＜log19361＝2，‎ 所以＋＋＜2.‎ ‎6．已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：≥9.‎ 证明　要证明≥9，‎ 只需证明≥9，‎ 只需证明(a＋1)(2－a)≥9a(1－a)，‎ 即证(2a－1)2≥0，‎ ‎∵(2a－1)2≥0成立，‎ ‎∴≥9.‎ 一、选择题 ‎1．用分析法证明不等式：欲证①A＞B，只需证②C＜D，这里①是②的(　　)‎ A．既不充分也不必要条件 B．充要条件 C．充分条件 D．必要条件 答案　D 解析　因为②⇒①，但①不一定推出②，故选D.‎ ‎2．A、B为△ABC的内角，“A＞B”是“sinA＞sinB”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　由正弦定理＝＝2R，又A、B为三角形的内角，∴sinA＞0，sinB＞0，∴sinA＞sinB⇔2RsinA＞2RsinB⇔a＞b⇔A＞B.‎ ‎3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)‎ A．1≤ab≤ B.＜ab＜1‎ C.＜ab＜1 D．ab＜1＜ 答案　D 解析　取a＝，b＝，则a＋b＝2，这时＝＝＞1.‎ ab＝×＝＜1.‎ ‎∴ab＜1＜.‎ ‎4．设sinα是sinθ，cosθ的等差中项，sinβ是sinθ，cosθ的等比中项，则cos4β－4cos4α的值为(　　)‎ A．－1 B. C. D．3‎ 答案　D 解析　由已知条件，得sinα＝，sin2β＝sinθcosθ.‎ 消去θ，得4sin2α＝1＋2sin2β，由二倍角公式，得cos2β＝2cos2α.又cos4β－4cos4α＝cos(2×2β)－4cos(2×2α)＝2cos22β－1－4(2cos22α－1)＝2cos22β－8cos22α＋3＝2(2cos2α)2－8cos22α＋3＝3，故选D.‎ ‎5．已知a、b、c、d为正实数，且<，则(　　)‎ A.<< B.<< C.<< D．以上均可能 答案　A 解析　先取特值检验，∵<，‎ 可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，‎ 则＝，满足<<.‎ ‎∴B、C不正确．‎ 要证<，∵a、b、c、d为正实数，‎ ‎∴只需证a(b＋d)