2020高中数学第二章函数2 6页

‎2.4.1‎二次函数的图像 一、选择题 ‎1．已知抛物线经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则抛物线的解析式是(　　)‎ A．y＝－x2－4x－1 B．y＝x2－4x－1‎ C．y＝x2＋4x－1 D．y＝－x2－4x＋1‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)2＋3.将点(－3,2)代入，得2＝a(－3＋2)2＋3，‎ 即a＝－1.‎ 所以y＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.‎ ‎2．将函数y＝x2图像上各点的纵坐标扩大为原来的2倍后，(横坐标不变)，所得图像对应的函数解析式为(　　)‎ A．y＝2x2 B．y＝4x2‎ C．y＝x2 D．y＝x2‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由图像变换可知选A.‎ ‎3．已知抛物线过点(－1,0)，(2,7)，(1,4)，则其解析式为(　　)‎ A．y＝x2－2x＋ B．y＝x2＋2x＋ C．y＝x2＋2x－ D．y＝x2－2x－ ‎[答案]　B ‎[解析]　设所求抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，‎ 则根据题意得 解得 所以y＝x2＋2x＋，故选B.‎ ‎4．已知a≠0，b<0，一次函数是y＝ax＋b，二次函数是y＝ax2，则下列图像中，可以成立的是(　　)‎ 6‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由b<0，排除B，D；A是抛物线开口向下，a<0，而直线体现了a>0，从而排除A.‎ ‎5．将函数y＝2(x＋1)2－3的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单调长度所得图像对应的函数解析式为(　　)‎ A．y＝2x2 B．y＝2(x＋2)2－6‎ C．y＝2x2－6 D．y＝2(x＋2)2‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　将y＝2(x＋1)2－3的图像向左平移1个单位后，得到y＝2(x＋2)2－3的图像，再将它向上平移3个单位长度得到y＝2(x＋2)2的图像，故选D.‎ ‎6．已知f(x)＝2(x－1)2和g(x)＝(x－1)2，h(x)＝(x－1)2的图像都是开口向上的抛物线，在同一坐标系中，哪个开口最开阔(　　)‎ A．g(x)　 B．f(x)　‎ C．h(x)　 D．不确定 ‎[答案]　A ‎[解析]　因二次函数y＝a(x－h)2＋ 的|a|越小，则二次函数开口越开阔．‎ 二、填空题 ‎7．二次函数f(x)＝x2－x＋的图像的顶点坐标为________．‎ ‎[答案]　(1,1)‎ ‎[解析]　f(x)＝x2－x＋＝(x2－2x＋3)＝(x－1)2＋1，所以其顶点坐标为(1,1)．‎ ‎8．已知二次函数的图像经过点(1,4)，且与x轴的交点为(－1,0)和(3,0)，则该函数的解析式是________．‎ ‎[答案]　f(x)＝－x2＋2x＋3‎ ‎[解析]　设函数的解析式为f(x)＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)，‎ 将点(1,4)代入，得a＝－1.‎ 则f(x)＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.‎ 三、解答题 ‎9．已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P(2,0)，求这个函数的解析式．‎ 6‎ ‎[解析]　解法1：设所求函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，‎ 由题意得解得 ‎∴函数的解析式为y＝3x2－6x.‎ 解法2：设所求函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，‎ 由题意得解得 ‎∴函数的解析式为y＝3x2－6x.‎ 解法3：设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋ (a≠0)，则顶点坐标为(－h， )，‎ 已知顶点为(1，－3)，∴h＝－1， ＝－3，‎ 即所求的二次函数y＝a(x－1)2－3.‎ 又∵图像经过点P(2,0)，‎ ‎∴0＝a×(2－1)2－3，∴a＝3，‎ ‎∴函数的解析式为y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x.‎ 解法4：设解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，‎ 其中x1，x2是抛物线与x轴的两交点的横坐标，‎ 已知抛物线与x轴的一个交点P(2,0)，对称轴是x＝1，‎ ‎∴抛物线与x轴的另一个交点为(0,0)，‎ ‎∴x1＝0，x2＝2，‎ ‎∴所求的解析式为y＝a(x－0)(x－2)，‎ 又∵顶点为(1，－3)，∴－3＝a×1×(1－2)，∴a＝3，‎ ‎∴所求函数的解析式为y＝3x2－6x.‎ ‎10．已知二次函数满足f(x－2)＝f(－x－2)，且其图像在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2，求f(x)的表达式．‎ ‎[解析]　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，‎ 由f(x－2)＝f(－x－2)得对称轴为x＝－＝－2，‎ ‎∴b＝‎4a.‎ ‎∵图像在y轴上的截距为1，∴c＝1，‎ 又|x1－x2|＝＝2，‎ ‎∴b＝2或b＝0(舍去)，a＝，‎ ‎∴f(x)＝x2＋2x＋1.‎ 一、选择题 6‎ ‎1．如图所示的是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像，则|OA|·|OB|等于(　　)‎ A. B．－ C．± D．以上都不对 ‎[答案]　B ‎[解析]　∵f(x)＝ax2＋bx＋c，‎ ‎∴f(0)＝c>0，a<0，‎ 设ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，则x1·x2＝，‎ ‎∴|OA|＝－x1，|OB|＝x2，‎ ‎∴|OA|·|OB|＝－.故正确答案为B.‎ ‎2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么它的图像是下图中的(　　)‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　因为a>b>c且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0.故排除B、C，又因为当x＝1时，y＝a＋b＋c＝0，只有A正确．‎ 二、填空题 ‎3．若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图像关于直线x＝1对称，则b＝____________.‎ ‎[答案]　6‎ ‎[解析]　解法1：二次函数y＝x2＋(a＋2)x＋3的图像关于直线x＝1对称，说明二次函数的对称轴为直线x＝1，则－＝1，∴a＝－4.‎ 而该函数是定义在[a，b]上的，即a、b关于x＝1也是对称的，则有a 6‎ 到对称轴的距离与b到对称轴的距离相等，∴1－a＝b－1，∴b＝6.‎ 解法2：∵二次函数y＝x2＋(a＋2)x＋3的图像的对称轴为直线x＝1，∴该函数可表示为y＝(x－1)2＋c，与原二次函数的表达式比较同类项系数，可得a＋2＝－2，∴a＝－4.求b同解法1.‎ ‎4．把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像的解析式为y＝x2－2x＋1，则b＝________，c＝________.‎ ‎[答案]　－6　6‎ ‎[解析]　由题意知y＝x2＋bx＋c的图像可由y＝x2－2x＋1＝(x－1)2先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，即y＝x2＋bx＋c＝(x－3)2－3＝x2－6x＋6.所以b＝－6，c＝6.‎ 三、解答题 ‎5．已知二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，图像过原点，求g(x)的解析式．‎ ‎[解析]　由题意设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，‎ ‎∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图像过原点，‎ ‎∴∴∴g(x)＝3x2－2x.‎ ‎6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，试判断点(，)所在的象限．‎ ‎[解析]　由抛物线开口向上知a>0，‎ ‎∵抛物线与y轴的交点(0，c)在y轴负半轴，‎ ‎∴c<0.又∵对称轴x＝－在y轴左边，‎ ‎∴－<0.∴>0.‎ ‎∴a，b同号．‎ ‎∵a>0，∴b>0.‎ 又∵抛物线与x轴有两个交点，‎ ‎∴b2－‎4ac>0.‎ ‎∴>0，<0.‎ ‎∴点(，)在第四象限．‎ ‎7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个不同的交点A(x1,0)、B(x2,0)且x＋x 6‎ ＝，试问该抛物线由y＝－3(x－1)2的图像向上平移几个单位得到？‎ ‎[解析]　由题意可设所求抛物线的解析式为 y＝－3(x－1)2＋ ，展开得y＝－3x2＋6x－3＋ ，‎ 由题意得x1＋x2＝2，x1x2＝，‎ 所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝，得 ‎4－＝，解得 ＝.‎ 所以，该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移个单位得到的，它的解析式为y＝－3(x－1)2＋，‎ 即y＝－3x2＋6x－.‎ 6‎