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- 2021-06-23 发布
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4.1 数学归纳法
A级 基础巩固
一、选择题
1.用数学归纳法证明:1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)·(2n+1)时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式为( )
A.1 B.1+3
C.1+2+3 D.1+2+3+4
解析:当n=1时左边所得的代数式为1+2+3.
答案:C
2.设f(n)=1+++…+(n∈N*),则f(n+1)-f(n)等于( )
A. B.+
C.+ D.++
解析:因为f(n)=1+++…+,
所以f(n+1)=1+++…++++,
所以f(n+1)-f(n)=++.
答案:D
3.已知a1=,an+1=,猜想an等于( )
A. B.
C. D.
解析:a2==,a3==,
a4===,
猜想an=.
4
答案:D
4.一个与自然数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立推得当n=k+2时命题也成立,则( )
A.该命题对于n>2的自然数n都成立
B.该命题对于所有的正偶数都成立
C.该命题何时成立与k取什么值无关
D.以上答案都不对
解析:由题意当n=2时成立可推得n=4,6,8,…都成立,因此该命题对所有正偶数都成立.
答案:B
5.记凸k边形的内角和为f(k),则凸(k+1)边形的内角和f(k+1)等于f(k)加上( )
A.2π B.π
C. D.π
解析:从n=k到n=k+1时,内角和增加π.
答案:B
二、填空题
6.当f(k)=1-+-+…+-,则f(k+1)=f(k)+________.
解析:f(k+1)=1-+-+…+-+-,
所以f(k+1)=f(k)+-.
答案:-
7.观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,根据上述规律,猜想13+23+33+43+53+63=________.
解析:已知等式可写为:13+23=32=(1+2)2,13+23+33=62=(1+2+3)2,13+23+33+43=102=(1+2+3+4)2,根据上述规律,猜想13+23+33+43+53+63=(1+2+…+6)2=212.
答案:212
8.已知平面上有n(n∈N*,n≥3)个点,其中任何三点都不共线,过这些点中任意两点作直线,设这样的直线共有f(n)条,则f(3)=________,f(4)=________,f(5)=________,f(n+1)=f(n)+________.
解析:当n=k时,有f(k)条直线.当n=k+1时,增加的第k+1个点与原k个点共连成k条直线,即增加k条直线,所以f(k+1)=f(k)+k.
4
又f(2)=1,
所以f(3)=3,f(4)=6,f(5)=10,f(n+1)=f(n)+n.
答案:3 6 10 n
三、解答题
9.求证:1+++…+=(n∈N*).
证明:(1)当n=1时,左边=1,右边==1,所以左边=右边,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,
即1+++…+=.
则当n=k+1时,
1+++…++
=+=
+==.
所以当n=k+1时,等式也成立.
由(1)(2)可知,对任何n∈N*等式都成立.
10.用数学归纳法证明n3+5n能被6整除.
证明:(1)当n=1时,左边=13+5×1=6,能被6整除,结论正确.
(2)假设当n=k时,结论正确,即k3+5k能被6整除.
则(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=k3+5k+3(k2+k+2)=k3+5k+3(k+1)(k+2),
因为k3+5k能被6整除,(k+1)(k+2)必为偶数,3(k+1)(k+2)能被6整除,
因此,k3+5k+3(k+1)(k+2)能被6整除.
即当n=k+1时结论正确.
根据(1)(2)可知,n3+5n对于任何n∈N+都能被6整除.
B级 能力提升
1.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N+)时,从“n=k到n=k+1”左端需乘以的代数式为( )
A.2k+1 B.2(2k+1)
C. D.
解析:当n=k时,等式为(k+1)(k+2)…(k+k)=2k×1×3×…×(2k-1).
当n=k+1时,左边=[(k+1)+1][(k+1)+2]…[(k+1)+k]·[(
4
k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2).
比较n=k和n=k+1时等式的左边,可知左端需乘以=2(2k+1).
答案:B
2.用数学归纳法证明34n+1+52n+1(n∈N+)能被14整除,当n=k+1时,对于34(k+1)+1+52(k+1)+1应变形为_______________.
解析:34(k+1)+1+52(k+1)+1=34k+5+52k+3=81·34k+1+25×52k+1=81×34k+1+81×52k+1-56×52k+1=81×(34k+1+52k+1)-56×52k+1
答案:81·(34k+1+52k+1)-56·52k+1
3.平面内有n(n≥2,n∈N*)条直线,其中任意两条不平行,任意三条不过同一点,那么这n条直线的交点个数f(n)是多少?并证明你的结论.
解:当n=2时,f(2)=1;当n=3时,f(3)=3;
当n=4时,f(4)=6.
因此猜想f(n)=(n≥2,n∈N*).
下面利用数学归纳法证明:
(1)当n=2时,两条相交直线有一个交点,
又f(2)=×2×(2-1)=1.
所以n=2时,命题成立.
(2)假设当n=k(k≥2且k∈N*)时命题成立,就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)=k(k-1),
当n=k+1时,其中一条直线记为l,剩下的k条直线为l1,l2,…,lk.
由归纳假设知,剩下的k条直线之间的交点个数为f(k)=.
由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点,
所以直线l与l1,l2,l3,…,lk的交点共有k个,
所以f(k+1)=f(k)+k=+k===,
所以当n=k+1时,命题成立.
由(1)(2)可知,命题对一切n∈N*且n≥2时成立.
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