2020届高三模拟考试试卷南通数学(二) 21页

‎2020届高三模拟考试试卷(二)‎ 数　　学 ‎(满分160分，考试时间120分钟)‎ ‎2020．1‎ 参考公式：‎ 锥体的体积公式：V锥体＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为高．‎ 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1. 已知集合A＝{－1，0，2}，B＝{－1，1，2}，则A∩B＝________．‎ ‎2. 已知复数z满足(1＋i)z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为________．‎ a←1‎ i←1‎ While i≤4‎ ‎　 a←a＋i ‎　 i←i＋1‎ End While Print a ‎　 (第4题)‎ ‎3. 某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为________．‎ ‎4. 根据如图所示的伪代码，输出a的值为________．‎ ‎5. 已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为________．‎ ‎6. 将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为________．‎ ‎7. 在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A1BB1C1的体积为________．‎ 21‎ ‎8. 已知函数f(x)＝sin(ωx－)(ω>0)．若当x＝时，函数f(x)取得最大值，则ω的最小值为________．‎ ‎9. 已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m－8)x(m∈R)是奇函数．若对于任意的x∈R，关于x的不等式f(x2＋1)b>0)的焦距为4，两条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点．‎ ‎(1) 求椭圆E的标准方程；‎ ‎(2) 已知图中四边形ABCD是矩形，且BC＝4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN相交于第一象限内的点P.‎ ‎① 若M，N分别是BC，CD的中点，求证：点P在椭圆E上；‎ ‎② 若点P在椭圆E上，求证：为定值，并求出该定值．‎ 21‎ ‎18. (本小题满分16分)‎ 在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC绕其中心O逆时针旋转θ到三角形A1B1C1，且θ∈(0，)．顺次连结A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六边形徽标AA1BB1CC1.‎ ‎(1) 当θ＝时，求六边形徽标的面积；‎ ‎(2) 求六边形徽标的周长的最大值．‎ 21‎ ‎19. (本小题满分16分)‎ 已知数列{an}满足：a1＝1，且当n≥2时，an＝λan－1＋(λ∈R)．‎ ‎(1) 若λ＝1，求证：数列{a2n－1}是等差数列；‎ ‎(2) 若λ＝2.‎ ‎① 设bn＝a2n＋，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎② 设Cn＝求证：对于任意的p，m∈N*，当p>m时，都有Cp≥Cm.‎ 21‎ ‎20. (本小题满分16分)‎ 设函数f(x)＝(ax－－a)ex(a∈R)，其中e为自然对数的底数．‎ ‎(1) 当a＝0时，求函数f(x)的单调减区间；‎ ‎(2) 已知函数f(x)的导函数f′(x)有三个零点x1，x2，x3(x1BC，所以B>A，所以A∈(0，)，‎ 所以cos A＝＝＝.(8分)‎ 所以sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B 21‎ ‎＝×(－)＋×＝.(10分)‎ 由正弦定理，得＝，‎ 所以AB＝＝＝2.(12分)‎ 所以·＝||·||cos B＝2×3×(－)＝－.(14分)‎ ‎17. (1) 解：设椭圆E的焦距为2c，‎ 则由题意，得解得　所以b2＝a2－c2＝4.‎ 所以椭圆E的标准方程为＋＝1.(3分)‎ ‎(2) 证明：① 由已知，得M(2，2)，N(0，4)，A(－2，0)，B(2，0)．‎ 直线AM的方程为y＝(x＋2)，直线BN的方程为y＝－x＋4.‎ 联立解得即P(，)．(6分)‎ 因为＋＝＋＝1，所以点P在椭圆E上．(8分)‎ ‎② (解法1)设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则＋＝1，y＝(8－x)．‎ 直线AP的方程为y＝(x＋2)，‎ 令x＝2，得yM＝.‎ 直线BP的方程为y＝(x－2)，‎ 令y＝4，得xN－2＝.(12分)‎ 21‎ 所以＝＝|·|＝||＝||＝.(14分)‎ ‎(解法2)设直线AP的方程为y＝k1(x＋2)(k1>0)，令x＝2，得yM＝4k1.‎ 设直线BP的方程为y＝k2(x－2)(k2<0)，令y＝4，得xN－2＝.(10分)‎ 而＝＝|k1k2|.(12分)‎ 设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则＋＝1，‎ 所以k1k2＝·＝＝＝－，‎ 所以＝.(14分)‎ ‎18. 解：连结OA，OA1，OB，OB1，OC，OC1.在正三角形ABC中，∠AOB＝，OA＝×a＝a，∠AOA1＝θ，∠A1OB＝－θ.(2分)‎ 当正三角形ABC绕中心O逆时针旋转到正三角形A1B1C1位置时，‎ 有OA＝OB＝OC＝OA1＝OB1＝OC1，∠AOA1＝∠BOB1＝∠COC1＝θ，‎ ‎∠A1OB＝∠B1OC＝∠C1OA，‎ 所以△AOA1≌△BOB1≌△COC1，△A1OB≌△B1OC≌△C1OA，‎ 所以AA1＝BB1＝CC1，A1B＝B1C＝C1A.(4分)‎ ‎(1) 当θ＝时，设六边形徽标的面积为S，则 S＝3(S△AOA1＋S△A1OB)＝3×(OA1·OAsin ∠AOA1＋OA1·OBsin ∠A1OB)(6分)‎ ‎＝3×(×a×a×sin ＋×a×asin )＝a2.‎ 答：当θ＝时，六边形徽标的面积为a2.(9分)‎ ‎(2) 设六边形徽标的周长为l，则 l＝3(AA1＋A1B)＝3[2OAsin ＋2OA1sin(－)](11分)‎ 21‎ ‎＝2a(sin ＋cos )＝2asin(＋)，θ∈(0，)．(13分)‎ 所以当＋＝，即θ＝时，l取最大值2a.‎ 答：六边形徽标的周长的最大值为2a.(16分)‎ ‎19. (1) 证明：λ＝1时，由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，得(2分)‎ 所以a2n＋1＝a2n－1＋1，即a2n＋1－a2n－1＝1(常数)，‎ 所以数列{a2n－1}是首项为1，公差为1的等差数列．(4分)‎ ‎(2) ① 解：λ＝2时，a1＝1，n≥2时，an＝2an－1＋.‎ n≥2时，所以a2n＝4a2n－2＋2，(6分)‎ 所以a2n＋＝4(a2n－2＋)．‎ 又bn＝a2n＋，所以bn＝4bn－1.(8分)‎ 又b1＝a2＋＝2a1＋＝≠0，所以＝4(常数)．‎ 所以数列{bn}是首项为，公比为4的等比数列，‎ 所以数列{bn}的通项公式为bn＝·4n－1＝·4n(n∈N*)．(10分)‎ ‎② 证明：由①知，a2n＝bn－＝(4n－1)，a2n－1＝a2n＝(4n－1)．‎ 所以 所以Cn＝[－n](n∈N*)．(12分)‎ 所以Cn＋1－Cn＝－＝ 21‎ ‎.(14分)‎ 当n＝1时，C2－C1＝0，所以C2＝C1；当n＝2时，C3－C2＝0，所以C3＝C2；当n≥3，Cn＋1－Cn>0，所以Cn＋1>Cn.‎ 所以若p>m(p，m∈N*)，则Cp≥Cm.(16分)‎ ‎20. (1) 解：a＝0时，f(x)＝－，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝.‎ 令f′(x)<0，得x>1，所以函数f(x)的单调减区间为(1，＋∞)．(3分)‎ ‎(2) ① 解：f′(x)＝，设g(x)＝ax3－x＋1，则导函数f′(x)有三个零点，即函数g(x)有三个非零的零点．‎ 又g′(x)＝3ax2－1，若a≤0，则g′(x)＝3ax2－1<0，‎ 所以g(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，g(x)至多有1个零点，不符合题意，所以a>0.(5分)‎ 令g′(x)＝0，x＝±.列表如下：‎ x ‎(－∞，－)‎ ‎－ ‎(－，)‎ ‎(，＋∞)‎ g′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ g(x)‎ 极大值 极小值 所以即解得00，所以g(x)在(－，)上有且只有1个非零的零点．‎ 因为当0，‎ g(－)＝a(－)3＋＋1＝1－<0，且g()＝a()3－＋1＝1>0，‎ 又函数g(x)的图象是连续不间断的，‎ 21‎ 所以g(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上各有且只有1个非零的零点．‎ 所以实数a的取值范围是(0，)．(10分)‎ ‎② 证明：(证法1)由f(m1)＝f(m2)＝0，得 设p(x)＝ax2－ax－1(a>0)，且p(m1)＝p(m2)＝0，所以m1m2＝－<0.‎ 因为m1m2时，p(x)>0；当m10，x1<00，‎ p(x1＋1)＝a(x1＋1)2－a(x1＋1)－1＝－<0.(14分)‎ 所以x10，所以h′(x)＝2ax－<0，h(x)在(－∞，0)上单调递减．(12分)‎ 又由f(mi)＝0，emi≠0得ami－－a＝0，即am－ami－1＝0(i＝1，2)，‎ 所以m1m2＝－<0.又m10.‎ 于是 ‎(Ⅰ) h(m1)＝am＋－1＝(am1＋1)＋－1＝am1＋<0，即h(m1)0，即h(－m2)>h(x1)＝0.‎ 21‎ 又－m2，x1<0，故－m2