2021版高考数学一轮复习第五章平面向量复数5-1平面向量的概念及线性运算练习苏教版 8页

‎5.1 平面向量的概念及线性运算 考点一　平面向量的基本概念 ‎ ‎1.下面说法正确的是 (　　)‎ A.平面内的单位向量是唯一的 B.所有单位向量的终点的集合为一个单位圆 C.所有的单位向量都是共线的 D.所有单位向量的模相等 ‎【解析】选D.因为平面内的单位向量有无数个,所以选项A错误;当单位向量的起点不同时,其终点就不一定在同一个圆上,所以选项B错误;当两个单位向量的方向不相同也不相反时,这两个向量就不共线,所以选项C错误;因为单位向量的模都等于1,所以选项D正确.‎ ‎2.给出下列命题:‎ ‎①零向量是唯一没有方向的向量;‎ ‎②零向量的长度等于0;‎ ‎③若a,b都为非零向量,则使+=0成立的条件是a与b反向共线.‎ 其中错误的命题的个数为 (　　)‎ A.0 B‎.1 ‎C.2 D.3‎ ‎【解析】选B.①错误,零向量是有方向的,其方向是任意的;②正确,由零向量的定义可知,零向量的长度为0;③正确,因为与都是单位向量,所以只有当与是相反向量,即a与b反向共线时才成立.‎ ‎1.解答向量概念型题目的要点 ‎(1)准确理解向量的有关知识,应重点把握两个要点:大小和方向.‎ ‎(2)向量线性运算的结果仍是向量,准确运用定义和运算律仍需从大小和方向角度去理解.‎ ‎2.(1)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小.‎ ‎(2)大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征.‎ ‎(3)向量可以自由平移,任意一组平行向量都可以移到同一直线上.‎ - 8 -‎ 考点二　平面向量的线性运算 ‎ ‎【典例】1.(2018·全国卷I)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则= (　　)‎ A.- B.-‎ C.+ D.+‎ ‎2.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+‎ λ2(λ1、λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.  ‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎1‎ 由“则=”及选项,想到平面向量线性运算.‎ ‎2‎ 由“=λ1+λ‎2”‎,想到平面向量线性运算 ‎【解析】1.选A.如图所示 ‎=-=-=-·(+)‎ ‎=-.‎ ‎　【一题多解】选A.在△ABC中,找到向量,,对于选项A,作出向量,,再作-,与向量比较,发现相等,所以选A.‎ - 8 -‎ ‎2.=+=+=+(+)=-+,所以λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=.‎ 答案:‎ ‎1.平面向量的线性运算技巧 ‎(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.‎ ‎(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解.‎ ‎2.三种运算法则的关注点 ‎(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”,平行四边形法则要求“起点相同”.‎ ‎(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”.‎ ‎(3)数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实数运算.‎ ‎　1.在△ABC中,已知M是BC中点,设=a,=b,则= (　　)‎ A.a-b B.a+b C.a-b D.a+b ‎【解析】选A.=-=-=a-b.‎ ‎2.在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=________;‎ y=________. ‎ ‎【解析】由已知,=+=+=+(-)=-=x+y,所以x=,y=-.‎ 答案:　-‎ - 8 -‎ 考点三　 共线向量定理及其应用 ‎ 命 题 精 解 读 考什么:(1)判断向量共线,三点共线问题,含参数综合问题;(2)考查数学运算核心素养,以及数形结合的思想.‎ 怎么考:与解析几何,三角函数图象与性质,三角恒等变换结合考查求参数,最值等.‎ 新趋势:以考查共线向量定理的应用为主.‎ 学 霸 好 方 法 ‎1.证明向量共线的方法:‎ 应用向量共线定理.对于向量a,b(b≠0),若存在实数λ,使得a=λb,则a与b共线.‎ ‎2.证明A,B,C三点共线的方法:若存在实数λ,使得=λ,则A,B,C三点共线.‎ ‎3.解决含参数的共线问题的方法:‎ 经常用到平面几何的性质,构造含有参数的方程或方程组,解方程或方程组得到参数值.‎ 向量共线问题 ‎【典例】(2019·西安模拟)设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b‎-2a)共线,则λ=________. ‎ ‎【解析】因为a+λb与‎2a-b共线,‎ 设a+λb=k(‎2a-b),则(1-2k)a+(k+λ)b=0,所以 解得k=,λ=-.‎ 答案:-‎ 三点共线问题 ‎【典例】(2020·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,‎ ‎=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则k的值为________.  ‎ ‎【解析】因为A,B,D三点共线,所以必存在一个实数λ,使得=λ.又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3‎ - 8 -‎ ‎-k)e1-(2k+1)e2,所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,又e1与e2不共线,所以解得k=-.‎ 答案:-‎ 解决三点共线问题应注意什么问题?‎ 提示:应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C三点共线⇔,共线.‎ 含参数综合问题 ‎【典例】(2020·无锡模拟)在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,‎ AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+μ,则μ的取值范围是________.  ‎ ‎【解析】由已知AD=1,CD=,所以=2.‎ 因为点E在线段CD上,所以=λ(0≤λ≤1).‎ 因为=+,‎ 又=+μ=+2μ=+,‎ 所以=1,即μ=.‎ 因为0≤λ≤1,所以0≤μ≤.‎ 答案:‎ ‎1.已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则=(　　)‎ - 8 -‎ A.-2 B.- C.- D.‎ ‎【解析】选A.=+=+=-+=-,所以λ=1,μ=-,因此=-2.‎ ‎2.(2019·大同模拟)△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选C.因为++=,所以++=-,所以=-2=2,即P是AC边的一个三等分点,且PC=AC,由三角形的面积公式知,==.‎ ‎3.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=________. ‎ ‎【解析】因为a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,所以λa+b=k(a+2b),‎ 所以λ=.‎ 答案:‎ ‎1.已知O,A,B三点不共线,P为该平面内一点,且=+,则 (　　)‎ A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的延长线上 C.点P在线段AB的反向延长线上 D.点P在射线AB上 - 8 -‎ ‎【解析】选D.由=+得-=,所以=·,所以点P在射线AB上.‎ ‎2.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以P,Q,R,S,T为顶点的多边形为正五边形,且=.下列关系中正确的是 (　　)‎ A.-= B.+=‎ C.-= D.+=‎ ‎【解析】选A.由已知,-=-===,所以A正确;+=‎ ‎+==,所以B错误;-=-==,所以C错误;+=+,==-,若+=,则=0,不合题意,所以D错误.‎ ‎3.已知点M是△ABC所在平面内的一点,若点M满足|λ--|=0且S△ABC=‎ ‎3S△ABM,则实数λ=________. ‎ ‎【解析】如图,设D为BC的中点,则+=2,‎ - 8 -‎ 因为|λ--|=0,‎ 所以λ--=0,所以 λ=+=2,‎ 于是A,M,D三点共线,且=,‎ 又S△ABC=3S△ABM,所以=,‎ 又因为S△ABD=S△ABC且==,‎ 所以==×,解得λ=±3.‎ 答案:±3‎ - 8 -‎