2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练（二）平面向量 7页

课时达标训练(二) 平面向量 A组 ‎1．(2018·南京学情调研)设向量a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b.若a∥c，则实数x＝________．‎ 解析：因为a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b＝(－2，－4＋3x)．又a∥c，所以－4＋3x－8＝0，解得x＝4.‎ 答案：4‎ ‎2．(2018·无锡期末)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)，若a－b与ma＋b垂直，则m的值为________．‎ 解析：因为a＝(2，1)，b＝(1，－1)，所以a－b＝(1，2)，ma＋b＝(2m＋1，m－1)，因为a－b与ma＋b垂直，所以(a－b)·(ma＋b)＝0，即2m＋1＋2(m－1)＝0，解得m＝.‎ 答案： ‎3．(2019·南京四校联考)设a，b是单位向量，且a·b＝，向量c满足c·a＝c·b＝2，则|c|＝________．‎ 解析：法一：由题意可设c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则c·a＝λ＋μ＝2，c·b＝λ＋μ＝2，所以λ＝μ＝，所以|c|＝|a＋b|＝ ＝.‎ 法二：由题意不妨令a＝(1，0)，b＝.设c＝(x，y)，则c·a＝x＝2，c·b＝x＋y＝2，所以c＝(2，)，所以|c|＝.‎ 答案： ‎4．已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为________．‎ 解析：∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝，∴〈a，b〉＝.‎ 答案： ‎5．(2019·南京三模)已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是夹角为60°的两个单位向量．若向量c满足c·＝－5，则|c|的最小值为________．‎ 解析：设向量c与a＋2b的夹角为θ.由c·(a＋2b)＝－5，得|c|·|a＋2b|cos θ ‎＝－5，因为|a＋2b|＝＝＝，所以|c|· cos θ＝－5，则|c|＝.因为－1≤cos θ＜0，所以当cos θ＝－1时，|c|取得最小值，为.‎ 答案： ‎6.如图，在△ABC中，已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，＝2，＝3―，则||＝________．‎ 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)，‎ 而＝＝(－)，‎ 故＝－＋，‎ 从而||＝ ‎＝ ＝.‎ 答案： ‎7．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为________．‎ 解析：法一：因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以a2＝b2＝a2＋2a·b＋b2，a·b＝－a2＝－b2，‎ 所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝a2，|2a－b|＝＝＝|a|，‎ 所以cos〈a，2a－b〉＝＝＝＝.‎ 法二：因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以〈a，b〉＝，‎ 所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2a2－|a|·|b|cos＝a2，|2a－b|＝＝＝＝|a|.‎ 所以cos〈a，2a－b〉＝＝＝＝.‎ 答案： ‎8．在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是对角线BD上的任意一点，则·＝________．‎ 解析：如图所示，由条件知△ABC为正三角形，AC⊥BP，所以·＝(＋)·＝·＋·＝·＝×cos 60°＝2×2×＝2.‎ 答案：2‎ ‎9．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边上BC，DC上，＝t，＝m，若·＝1，·＝－，则t＋m＝________．‎ 解析：因为＝＋＝＋t＝＋t；＝＋＝＋m＝＋m，‎ 所以·＝(＋t)·(＋m)＝－2－2tm＋4t＋4m＝1；‎ ·＝－2(1－t)(1－m)＝－2＋2m＋2t－2tm＝－，联立解得t＋m＝.‎ 答案： ‎10．(2019·常州期末)平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，∠AOB的平分线交线段AB于D，若||＝，则||＝________．‎ 解析：法一：由点C为线段AB的中点，得＝，又||＝，||＝1，| ‎|＝2，所以＝，得cos∠AOB＝－，∠AOB＝.由S△AOD＋S△BOD＝S△AOB得×||×||sin＋×||×||sin ＝×||×||sin，得||＝.‎ 答案： ‎11.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若·＝－7，则·的值是________．‎ 解析：因为·＝(－)·(－)＝(＋)·(－)＝OC2－OD2，同理：·＝AO2－OD2＝－7，所以OD2＝16，所以·＝OC2－OD2＝9.‎ 答案：9‎ ‎12．已知A(0，1)，B(0，－1)，C(1，0)，动点P满足·＝2||2，则|＋|的最大值为________．‎ 解析：设动点P(x，y)，因为A(0，1)，B(0，－1)，C(1，0)，·＝2||2，‎ 所以(x，y－1)·(x，y＋1)＝2[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝1.‎ 因为|＋|＝2，‎ 所以|＋|表示圆(x－2)2＋y2＝1上的点到原点距离的2倍，所以|＋|的最大值为2×(2＋1)＝6.‎ 答案：6‎ ‎13．(2019·苏北三市一模)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，P为△ABC所在平面内一点，满足＝＋2，则·的值为________. ‎ 解析：法一：因为＝＋2，所以－＝(－)－2，得＝＋，所以·＝(－)·＝·＝2－·＝－×3×2×cos 60°＝－1.‎ 法二：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，因为AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，所以A(0，0)，B(2，0)，C.设P(x，y)，由＝＋2，得 解得即P，所以·＝·(2，0)＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎14．(2019·盐城三模)已知圆O的半径为2，A，B，C为该圆上的三点，且AB＝2，·＞0，则·(＋)的取值范围是________．‎ 解析：建立平面直角坐标系如图所示，其中BA与x轴平行，且位于x轴上方，点B在点A左侧，则结合题意得B(－1，)，A(1，)，设C(2cos θ，2sin θ)(－π≤θ≤π)，则＋＝(3，－)，·＝(2，0)·(2cos θ＋1，2sin θ－)＝2(2cos θ＋1)＞0，因为C与A，B都不重合，所以－＜θ＜或＜θ＜，所以·(＋)＝(2cos θ，2sin θ)·(3，－)＝6cos θ－2 sin θ＝4 cos∈(－6，0)∪(0，4 ]．‎ 答案：(－6，0)∪(0，4 ]‎ B组——力争难度小题 ‎1．在△ABC中，若·＋2·＝·，则的值为________．‎ 解析：由·＋2·＝·，‎ 得2bc·＋ac·＝ab·，‎ 化简可得a＝c.‎ 由正弦定理得，＝＝.‎ 答案： ‎2．(2019·无锡期末)已知点P在圆M：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，A，B为圆C：x2‎ ‎＋(y－4)2＝4上两动点，且AB＝2，则·的最小值为________．‎ 解析：取AB的中点D，因为AB＝2，圆C的半径R＝2，所以CD＝＝1，所以·＝(＋)·(＋)＝2－3.C(0，4)，M(a，a－2)，易知当C，D，P，M在一条直线上时，PD最小，此时，PD＝CM－CD－PM＝－2＝－2≥3－2(当且仅当a＝3时等号成立)，所以·＝2－3≥19－12，当a＝3时取到最小值19－12.‎ 答案：19－12 ‎3．在直角坐标系xOy中，已知三点A(a，1)，B(2，b)，C(3，4)，若·＝·，则a2＋b2的最小值为________．‎ 解析：因为·－·＝0，所以·＝0，‎ 从而有(a－2，1－b)·(3，4)＝0，即3a－4b＝2.则(a，b)可视为直线l：3x－4y＝2上的动点，设其为P，则为坐标原点O到P的距离，故|OP|min＝d(O，l)＝＝，故(a2＋b2)min＝＝.‎ 答案： ‎4．(2019·苏锡常镇四市一模)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，D，E分别为BC，AD的中点，过点E的直线交AB于点P，交AC于点Q，则·的最大值为________．‎ 解析：法一：如图，以A为原点，AC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，那么B(0，2)，C(1，0)，易知点E的坐标为，可设直线PQ的方程为y＝k＋(k≠0)，所以有P，Q.则·＝·＝－＋＋≤－－2 ＝－，当且仅当k＝－1时取等号，故·的最大值为－.‎ 法二：如图，以A为原点，AB所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，那么B(2，0)，C(0，1)．因为D，E 分别为BC，AD的中点，所以D，E，设P(a，0)，Q(0，b)，a＞0，b＞0，则直线PQ的方程为＋＝1，因为直线PQ过点E，所以＋＝1.易知＝(－2，b)，＝(a，－1)，所以·＝－2a－b＝－(2a＋b)·＝－≤－，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，故·的最大值为－.‎ 法三：设＝λ，＝μ，λ＞0，μ＞0，则＝＝(＋)＝＋，因为E，P，Q三点共线，所以＋＝1，所以·＝(－)·(－)＝－·－·＝－(μ＋4λ)＝－(μ＋4λ)＝－≤－，当且仅当λ＝，μ＝时取等号，故·的最大值为－.‎ 答案：－ ‎5．设O是△ABC的三边中垂线的交点，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知b2－2b＋c2＝0，则·的取值范围是________．‎ 解析：由O是△ABC的三边中垂线的交点，知O是三角形外接圆的圆心，如图所示．‎ 连接AO并延长交外接圆于点D，则AD是⊙O的直径，连接BD，CD，则∠ABD＝∠ACD＝90°，cos∠BAD＝，cos∠CAD＝，‎ 所以·＝(－)·＝||||·cos∠CAD－||||cos∠BAD＝(b2－c2)＝(b2－2b＋b2)＝－.‎ 因为c2＝2b－b2＞0，所以0＜b＜2，设f(b)＝－(0＜b＜2)，‎ 则当b＝时，f(b)取最小值－，又－＝2，所以f(b)∈，‎ 所以·的取值范围是.‎ 答案：