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- 2021-06-23 发布
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4.3.2 函数的极大值和极小值
1.下列关于函数的极值的说法正确的是
( )
A.导数值为0的点一定是函数的极值点
B.函数的极小值一定小于它的极大值
C.函数在定义域内有一个极大值和一个极小值
D.若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数
答案 D
解析 由极值的概念可知只有D正确.
2.函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)
( )
A.无极大值点,有四个极小值点
B.有三个极大值点,两个极小值点
C.有两个极大值点,两个极小值点
D.有四个极大值点,无极小值点
答案 C
解析 在x=x0的两侧,f′(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值;f′(x)的符号由负变正,则f(x0)是极小值,由图象易知有两个极大值点,两个极小值点.
3.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为
( )
A.-1<a<2 B.-3<a<6
C.a<-1或a>2 D.a<-3或a>6
答案 D
解析 f′(x)=3x2+2ax+(a+6),
因为f(x)既有极大值又有极小值,
那么Δ=(2a)2-4×3×(a+6)>0,
解得a>6或a<-3.
4.设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,则实数a的值为________.
答案 9
解析 f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a.由已知f′(x1)=f′(x2)=0,从而x1x2==1,所以a=9.
2
1.在极值的定义中,取得极值的点称为极值点,极值点指的是自变量的值,极值指的是函数值.
2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点x=x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0且在x=x0两侧f′(x)符号相反.
3.利用函数的极值可以确定参数的值,解决一些方程的解和图象的交点问题.
2
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