2020版高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测试卷 新人教A版选修2-2 8页

第三章 数系的扩充与复数的引入 章末检测试卷(三)‎ ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．若i为虚数单位，则复数z＝5i(3－4i)在复平面内对应的点所在的象限为(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点　复数的乘除法运算法则 题点　运算结果与点的对应 答案　A ‎2．“复数z是实数”的充分不必要条件为(　　)‎ A．|z|＝z B．z＝ C．z2是实数 D．z＋是实数 考点　复数的概念 题点　复数的概念及分类 答案　A 解析　由|z|＝z可知z必为实数，但由z为实数不一定得出|z|＝z，如z＝－2，此时|z|≠z，故“|z|＝z”是“z为实数”的充分不必要条件．‎ ‎3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2等于(　　)‎ A．3－4i B．3＋4i C．4－3i D．4＋3i 考点　复数的乘除法运算法则 题点　乘除法的运算法则 答案　A 解析　∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，‎ ‎∴a＝2，b＝－1，‎ ‎∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.‎ ‎4．若复数z满足＝i，其中i是虚数单位，则z等于(　　)‎ A．－1－i B．1＋i C．1－i D．－1＋i 考点　共轭复数的定义与应用 8‎ 题点　利用定义求共轭复数 答案　C 解析　＝(1－i)i＝－i2＋i＝1＋i，z＝1－i.‎ ‎5．下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)‎ A．(1＋i)2 B．i2(1－i)‎ C．i(1＋i)2 D．i(1＋i)‎ 考点　复数的乘除法运算法则 题点　复数的乘除法运算法则 答案　A 解析　A项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数；‎ B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；‎ C项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝2i2＝－2，不是纯虚数；‎ D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．‎ 故选A.‎ ‎6．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，i为虚数单位，那么对应的复数为(　　)‎ A．4＋7i B．1＋3i C．4－4i D．－1＋6i 考点　复数的加减法运算法则 题点　复数加减法与向量的对应 答案　C 解析　因为，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，＝－＝－(＋)，所以对应的复数为3＋2i－[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i.‎ ‎7．已知复数z＝－＋i，i为虚数单位，则＋|z|等于(　　)‎ A．－－i B．－＋i C.＋i D.－i 考点　复数加减法的运算法则 题点　复数加减法的运算法则 答案　D 8‎ 解析　因为z＝－＋i，‎ 所以＋|z|＝－－i＋ ‎＝－i.‎ ‎8．已知i是虚数单位，若z(i＋1)＝i，则|z|等于(　　)‎ A．1 B. C. D. 考点　复数的模的定义与应用 题点　利用定义求复数的模 答案　B 解析　∵z(i＋1)＝i，∴z＝＝＝(1＋i)，‎ 则|z|＝.‎ ‎9．已知复数z满足(1－i)z＝i2 016(其中i为虚数单位)，则的虚部为(　　)‎ A. B．－ C.i D．－i 考点　复数的乘除法运算法则 题点　利用乘除法求复数中的未知数 答案　B 解析　∵i4＝1，∴i2 016＝(i4)504＝1，‎ ‎∴z＝＝，则＝－i，∴的虚部为－.‎ ‎10．已知关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z在复平面内对应的点位于第四象限．其中的真命题为(　　)‎ A．p2，p3 B．p1，p4‎ C．p2，p4 D．p3，p4‎ 考点　复数的乘除法运算法则 题点　乘除法的综合应用 答案　D 8‎ 解析　z＝＝＝1－i，‎ p1：|z|＝＝.‎ p2：z2＝(1－i)2＝－2i.‎ p3：z的共轭复数为1＋i，真命题．‎ p4：z在复平面内对应点的坐标为(1，－1)，位于第四象限，真命题．故选D.‎ ‎11．已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足1·z2是实数，则z2等于(　　)‎ A．1－i B．1＋i C.＋i D.－i 考点　复数的乘除法运算法则 题点　乘除法的综合应用 答案　B 解析　由z1＝2＋i，得1＝2－i，‎ 由z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，‎ 可设z2＝1＋bi(b∈R)，‎ 则1·z2＝(2－i)·(1＋bi)＝2＋b＋(2b－1)i.‎ 又1·z2为实数，所以2b－1＝0，b＝.‎ 所以z2＝1＋i.‎ ‎12．如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)‎ A．1 B. C．2 D. 考点　复数几何意义的综合应用 题点　利用几何意义解决距离、角、面积 答案　A 解析　设复数－2i,2i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋2i|＋|z－2i|＝4，|Z1Z2|＝4，所以复数z的几何意义为线段Z1Z2，如图所示，问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求ZZ3的最小值．‎ 因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0，则Z3与Z0的距离即为所求的最小值，|Z0Z3|＝1.故选A.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．已知i是虚数单位，若＝b＋i(a，b∈R)，则ab的值为________．‎ 8‎ 考点　复数四则运算的综合应用 题点　与混合运算有关的方程问题 答案　－3‎ 解析　∵＝b＋i，∴a＋3i＝(b＋i)i，‎ 则a＋3i＝－1＋bi，可得∴ab＝－3.‎ ‎14．已知复数z＝，i为虚数单位，是z的共轭复数，则z·＝________.‎ 考点　共轭复数的定义与应用 题点　与共轭复数有关的综合问题 答案　 解析　z＝－(－i)，|z|＝，‎ ‎∴z·＝|z|2＝.‎ ‎15．已知m，n∈R，若log2(m2－‎3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，复数z＝m＋ni的对应点在直线x＋y－2＝0上，则|z|＝________.‎ 考点　复数的几何意义 题点　复数与点的对应关系 答案　2 解析　由纯虚数的定义知 解得m＝4，所以z＝4＋ni.‎ 因为z的对应点在直线x＋y－2＝0上，‎ 所以4＋n－2＝0，所以n＝－2.‎ 所以z＝4－2i，‎ 所以|z|＝＝2.‎ ‎16．下列说法中正确的是________．(填序号)‎ ‎①若(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x∈R，y∈∁CR，则必有 ‎②2＋i>1＋i；‎ ‎③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；‎ ‎④若一个数是实数，则其虚部不存在；‎ ‎⑤若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．‎ 考点　复数的概念 8‎ 题点　复数的概念及分类 答案　⑤‎ 解析　由y∈∁CR，知y是虚数，则不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z3＋1＝＋1＝i＋1，对应点在第一象限，故⑤正确．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17．(10分)设复数z＝lg(m2－‎2m－2)＋(m2＋‎3m＋2)i，当m为何值时，‎ ‎(1)z是实数？(2)z是纯虚数？‎ 考点　复数的概念 题点　由复数的分类求未知数 解　(1)要使复数z为实数，需满足 解得m＝－2或－1.‎ 即当m＝－2或－1时，z是实数．‎ ‎(2)要使复数z为纯虚数，需满足 解得m＝3.‎ 即当m＝3时，z是纯虚数．‎ ‎18．(12分)已知复数z＝.‎ ‎(1)求z的共轭复数；‎ ‎(2)若az＋b＝1－i，求实数a，b的值．‎ 考点　复数四则运算的综合应用 题点　与混合运算有关的方程问题 解　(1)因为z＝＝＝1＋i，‎ 所以＝1－i.‎ ‎(2)由题意得a(1＋i)＋b＝1－i，‎ 即a＋b＋ai＝1－i.‎ 解得a＝－1，b＝2.‎ ‎19．(12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－2|<|z1|，求a的取值范围．‎ 考点　转化与化归思想在复数中的应用 题点　转化与化归思想的应用 解　因为z1＝＝2＋3i，‎ z2＝a－2－i，‎ 8‎ 2＝a－2＋i，‎ 所以|z1－2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|‎ ‎＝|4－a＋2i|＝，‎ 又因为|z1|＝，|z1－2|<|z1|，‎ 所以<，‎ 所以a2－‎8a＋7<0，‎ 解得1