2020高中数学第四章函数应用4 7页

‎4.2 实际问题的函数建模 一、选择题 ‎1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次 ，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　)‎ A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)‎ B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)‎ C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)‎ D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　因为自行车x辆，∴电动车4 000－x辆，y＝0.2x＋0.3(4 000－x)＝－0.1x＋1 200，故选D.‎ ‎2．用长度为‎24m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为(　　)‎ A．‎3m B．‎‎4m C．‎6m D．‎‎12m ‎[答案]　A ‎[解析]　如图所示，设隔墙长为xm，则矩形长为＝12－2x(m)．‎ ‎∴S矩形＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18.‎ ‎∴当x＝‎3m时，矩形的面积最大．‎ ‎3．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5 ，如果按此速度，设2000年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2000年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　)‎ A．y＝0.95·m B．y＝(1－0.05)·m C．y＝0.9550－x·m D．y＝(1－0.0550－x)·m ‎[答案]　A ‎[解析]　设北冰洋冬季冰雪覆盖面积每年为上一年的q ，则(q )50＝0.95，∴q ＝0.95，‎ 7‎ 即x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积为y＝0.95·m.‎ ‎4．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20 ，则第四年造林(　　)‎ A．14 400亩　　　 B．172 800亩 C．17 280亩 D．20 736亩 ‎[答案]　C ‎[解析]　因为年增长率为20 ，所以第四年造林为10 000×(1＋20 )3＝17 280(亩)，故选C.‎ ‎5．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎…‎ 下面的函数关系式中，能表达这种关系的是(　　)‎ A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1‎ C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋1‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　代入数值检验，把x＝2代入可排除A、B、C，把x＝1,2,3 代入D选项，符合题意．‎ ‎6．某种动物繁殖数量y(只)与繁殖时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则第七年它们发展到(　　)‎ A．300只 B．400只 C．500只 D．600只 ‎[答案]　A ‎[解析]　∵由题意知，当x＝1时，y＝100，‎ 即100＝alog22，‎ ‎∴a＝100.‎ ‎∴y＝100log2(x＋1)．‎ ‎∴当x＝7时，y＝100log28＝300(只)．‎ 二、填空题 ‎7．为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：‎ 明文密文密文明文 已知加密函数为y＝ax－2(x为明文、y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．‎ ‎[答案]　4‎ 7‎ ‎[解析]　依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，‎ 故6＝a3－2，解得a＝2，‎ 所以加密函数为y＝2x－2，‎ 因此当y＝14时，由14＝2x－2，‎ 解得x＝4.‎ ‎8．某汽车在同一时间内速度v( m/h)与耗油量之间有近似的函数关系Q＝0.0025v2－0.175v＋4.27，则车速为________ m/h时，汽车的耗油量最少．‎ ‎[答案]　35‎ ‎[解析]　由Q＝0.0025v2－0.175v＋4.27‎ ‎＝0.0025(v2－70v)＋4.27‎ ‎＝0.0025[(v－35)2－352]＋4.27‎ ‎＝0.0025(v－35)2＋1.2075.‎ ‎∴v＝‎35 m/h时，耗油量最少．‎ 三、解答题 ‎9．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．‎ ‎(1)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；‎ ‎(2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？(服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂的单价－成本)‎ ‎[解析]　(1)当0，8＝<，‎ ‎∴由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．‎ ‎ 解法2：接解法1：()n≤，‎ 则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，‎ 即n≥≈7.4，又n∈N＋，‎ ‎∴n≥8，即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.‎ 一、选择题 ‎1.如右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：‎ ‎①这个指数函数的底数为2；‎ ‎②第5个月时，浮萍面积就会超过‎30m2‎；‎ ‎③浮萍从‎4m2‎蔓延到‎12m2‎只需1.5个月；‎ ‎④浮萍每月增加的面积都相等；‎ ‎⑤若浮萍蔓延到‎2m2、4m2、8m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1＋t2＝t3.‎ 其中正确的是(　　)‎ A．①② B．①②③④‎ C．②③④⑤ D．①②⑤‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　设此指数函数为y＝ax(a>0且a≠1)，‎ 由图像可知：(1,2)，(2,4)代入可得：‎ a＝2，∴y＝2x，故①正确．‎ 当x＝5时，y＝25＝32>30，②正确．‎ 当y＝4时，x＝2，当y＝12时，x＝log212>log22，从而可知浮萍从‎4m2‎蔓延到‎12m2‎用时超过1.5个月，③错，显然④错误．‎ 把y＝2,4,8代入y＝2t分别得t1＝1，t2＝2，t3＝3，故⑤正确．因此选D.‎ ‎2．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x 7‎ ‎(单位：℃)满足函数关系y＝e x＋b(e＝2.718…为自然对数的底数， ，b为常数)．若该食品在‎0 ℃‎的保鲜时间是192小时，在‎22 ℃‎的保鲜时间是48小时，则该食品在‎33 ℃‎的保鲜时间是(　　)‎ A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．21小时 ‎[答案]　C ‎[解析]　由题意，得 于是当x＝33时，y＝e33 ＋b＝(e11 )3·eb＝()3×192＝24(小时)．‎ 二、填空题 ‎3．里约热内卢为成功举办2016年奥运会，决定从2012年底到2015年底三年间更新市内全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10 ，则2013年底已更新现有总车辆数的百分比约为________(保留3位有效数字)．‎ ‎[答案]　30.2 ‎ ‎[解析]　设现有车辆总数为a,2013年底更新了现有总车辆数的百分比为x，则a·x＋a·x(1＋10 )＋ax(1＋10 )2＝a.‎ ‎∴x(1＋1.1＋1.12)＝1.∴x≈30.2 .‎ ‎4．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：‎ ‎(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________________；‎ ‎(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．‎ ‎[答案]　(1)y＝；(2)0.6.‎ ‎[解析]　由图像可知，当0≤t<0.1时，y＝10t；‎ 当t＜0.1时，由1＝0.1－a，得a＝0.1，‎ ‎∴当t＞0.1时，y＝t－.‎ 7‎ ‎∴y＝，‎ 由题意可知()t－＜0.25，得t＞0.6(小时)．‎ 三、解答题 ‎5．某工厂生产商品A，每件售价80元，每年产销80万件，工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定提出商品A的销售金额的p 作为新产品开发费(即每销售100元提出p元)，并将商品A的年产销量减少了10p万件．‎ ‎(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元，求p的取值范围；‎ ‎(2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费，求此时p的值．‎ ‎[解析]　由题意知，当开发费是商品A的销售金额的p 时，销售量为(80－10p)万件，此时销售金额为80×(80－10p)万元，‎ 新产品开发金额f(p)＝80×(80－10p)×p (万元)．‎ ‎(1)由题设知 解得2≤p≤6.‎ 即新产品开发费不少于96万元时，p的取值范围为2≤p≤6.‎ ‎(2)当00，得x∈(0，)．‎ S＝x2＋xy＝x2＋·x ‎＝－(x－)2＋，x∈(0，)．‎ 当x＝时，Smax＝，此时，y＝＝.‎ 答：窗户中的矩形高为，且半径等于矩形的高时，窗户的透光面积最大．‎ 7‎ ‎7．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选择二次函数或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，试 问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．‎ ‎[解析]　设两个函数 y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)；‎ y2＝g(x)＝a·bx＋c.‎ 依题意，有 解得 ‎∴y1＝f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，‎ ‎∴f(4)＝1.3(万件)，‎ 依题意，也有 解得 ‎∴y2＝g(x)＝－0.8×(0.5)x＋1.4，‎ g(4)＝－0.8×(0.5)4＋1.4＝1.35(万件)．‎ 经比较可知，g(4)＝1.35(万件)，比f(4)＝1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件．‎ ‎∴选用y2＝g(x)＝－0.8×(0.5)x＋1.4作为模拟函数较好．‎ 7‎