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‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷九 一、 选择题（36分，每小题6分）‎ ‎1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩∁RB是( )‎ ‎(A){2} (B){-1} (C){x|x≤2} (D) Æ ‎2．设sina＞0，cosa＜0，且sin＞cos，则的取值范围是( )‎ ‎(A)(2kp+，2kp+)， kÎZ (B)( + ，+)，kÎ Z ‎(C)(2kp+，2kp+p)，kÎ Z (D)(2kp+，2kp+)∪(2kp+，2kp+p)，kÎ Z ‎3．已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( )‎ ‎ (A) (B) (C)3 (D)6 ‎4．给定正数p，q，a，b，c，其中p¹q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0( )‎ ‎ (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 ‎5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎6．设ω=cos+isin，则以w，w3，w7，w9为根的方程是( )‎ ‎(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4-x3+x2-x+1=0‎ ‎(C) x4-x3-x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2-x-1=0‎ 二．填空题（本题满分54分，每小题9分）‎ ‎1．arcsin(sin2000°)=__________．‎ ‎2．设an是(3-)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++…+))=________.‎ ‎3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________.‎ ‎4．在椭圆+=1 (a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.‎ ‎5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.‎ ‎6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}；‎ ‎(2)a¹b，b¹c，c¹d，d¹a；‎ ‎(3)a是a，b，c，d中的最小值，‎ 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________‎ 三、解答题(60分，每小题20分)‎ ‎1．设Sn=1+2+3+…+n，nÎN*，求f(n)=的最大值．‎ ‎2．若函数f(x)=－x2+在区间[a，b]上的最小值为‎2a，最大值为2b，求[a，b]．‎ ‎3．已知C0：x2+y2=1和C1：+=1 (a＞b＞0)．试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？并证明你的结论．‎ ‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷九 参考答案 一．选择题（本题满分36分，每小题6分）‎ ‎1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩∁RB是( )‎ ‎(A){2} (B){-1} (C){x|x≤2} (D) Æ 解：A={2}，B={2，－1}，故选D．‎ ‎2．设sina＞0，cosa＜0，且sin＞cos，则的取值范围是( )‎ ‎(A)(2kp+，2kp+)， kÎZ (B)( + ，+)，kÎZ ‎(C)(2kp+，2kp+p)，kÎ Z (D)(2kp+，2kp+)∪(2kp+，2kp+p)，kÎZ 解：满足sina＞0，cosa＜0的α的范围是(2kp+，2kp+π)，于是的取值范围是(+，+)，‎ 满足sin＞cos的的取值范围为(2kp+，2kp+)．故所求范围是(2kp+，2kp+)∪(2kp+，2kp+p)，kÎZ．选D．‎ ‎3．已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( )‎ ‎ (A) (B) (C)3 (D)6 解：A(－1，0)，AB方程：y=(x+1)，代入双曲线方程，解得B(2，)，‎ ‎∴ S=3．选C．‎ ‎4．给定正数p，q，a，b，c，其中p¹q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0( )‎ ‎ (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 解：a2=pq，b+c=p+q．b=，c=；‎ △=a2－bc=pq－(2p+q)(p+2q)=－(p－q)2<0．选A．‎ ‎5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) 解：直线即25x－15y+12=0．平面上点(x，y)到直线的距离==．‎ ‎∵5x－3y+2为整数，故|5(5x－3y+2)+2|≥2．且当x=y=－1时即可取到2．选B．‎ ‎6．设ω=cos+isin，则以w，w3，w7，w9为根的方程是( )‎ ‎(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4-x3+x2-x+1=0‎ ‎(C) x4-x3-x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2-x-1=0‎ 解：ω5+1=0，故w，w3，w7，w9 都是方程x5+1=0的根．x5+1=(x+1)(x4－x3+x2－x+1)=0．选B．‎ 二．填空题（本题满分54分，每小题9分）‎ ‎1．arcsin(sin2000°)=__________.‎ 解：2000°=180°×12－160°．故填－20°或－．‎ ‎2．设an是(3-)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++…+))=________.‎ 解：an=3n－‎2C．∴ ==，故填18．‎ ‎3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________.‎ 解：q=====．填．‎ ‎4．在椭圆+=1 (a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.‎ 解：c=a，∴|AF|=a．|BF|=a，|AB|2=|AO|2+|OB|2=a2．‎ 故有|AF|2=|AB|2+|BF|2．即∠ABF=90°．填90°．‎ 或由b2=a2－c2=a2=ac，得解．‎ ‎5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.‎ 解：取球心O与任一棱的距离即为所求．如图，AE=BE=a，‎ AG=a，AO=a，BG=a，AB∶AO=BG∶OH．‎ OH==a．V=πr3=πa3．填πa3．．‎ ‎6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}；‎ ‎(2)a¹b，b¹c，c¹d，d¹a；‎ ‎(3)a是a，b，c，d中的最小值，‎ 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________‎ 解：a、c可以相等，b、d也可以相等．‎ ‎⑴ 当a、c相等，b、d也相等时，有C=6种；‎ ‎⑵ 当a、c相等，b、d不相等时，有A+A=8种；‎ ‎⑶ 当a、c不相等，b、d相等时，有CC+C=8种；‎ ‎⑷ 当a、c不相等，b、d也不相等时，有A=6种；共28种．填28．‎ 三、解答题(本题满分60分，每小题20分)‎ ‎1．设Sn=1+2+3+…+n，nÎN*，求f(n)=的最大值．‎ 解：Sn=n(n+1)，f(n)= = ≤．(n=8时取得最大值)．‎ ‎2．若函数f(x)=－x2+在区间[a，b]上的最小值为‎2a，最大值为2b，求[a，b]．‎ 解：⑴ 若a≤b<0，则最大值为f(b)=－b2+=2b．最小值为f(a)=－a2+=‎2a．即a，b是方程x2+4x－13=0的两个根，而此方程两根异号．故不可能．‎ ‎⑵ 若a<0|b|，从而f(a)是最小值．②f(b)=－b2+==‎2a>0．与a<0矛盾．故舍．‎ ‎⑶ 0≤a