高中数学（人教版a版选修2-1）配套课时作业：第二章　圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质 6页

2.2.2 椭圆的简单几何性质 课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中 a，b 以及 c，e 的几何意义，a、b、c、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的 简单问题． 1．椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准 方程 范围 顶点 轴长 短轴长＝____，长轴长＝____ 焦点 焦距 对称性 对称轴是______，对称中心是______ 离心率 2.直线与椭圆 直线 y＝kx＋b 与椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 (a>b>0)的位置关系： 直线与椭圆相切⇔ y＝kx＋b x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔ y＝kx＋b x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 有 ______ 组 实 数 解 ， 即 Δ______0 ， 直 线 与 椭 圆 相 离 ⇔ y＝kx＋b x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 ________实数解，即Δ______0. 一、选择题 1．椭圆 25x2＋9y2＝225 的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A．5,3，4 5 B．10,6，4 5 C．5,3，3 5 D．10,6，3 5 2．焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为 4 5，则椭圆的方程为( ) A.x2 36 ＋y2 16 ＝1 B.x2 16 ＋y2 36 ＝1 C.x2 6 ＋y2 4 ＝1 D.y2 6 ＋x2 4 ＝1 3．若焦点在 x 轴上的椭圆x2 2 ＋y2 m ＝1 的离心率为1 2 ，则 m 等于( ) A. 3 B.3 2 C.8 3 D.2 3 4．如图所示，A、B、C 分别 为椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为( ) A.－1＋ 5 2 B．1－ 2 2 C. 2－1 D. 2 2 5．若直线 mx＋ny＝4 与圆 O：x2＋y2＝4 没有交点，则过点 P(m，n)的直线与椭圆x2 9 ＋y2 4 ＝1 的交点个数为( ) A．至多一个 B．2 C．1 D．0 A．(0,1) B. 0，1 2 C. 0， 2 2 D. 2 2 ，1 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 5 5 ，且过点 P(－5,4)，则椭圆的方 程为______________． 8．直线 x＋2y－2＝0 经过椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离 心率等于______． 9．椭圆 E：x2 16 ＋y2 4 ＝1 内有一点 P(2,1)，则经过 P 并且以 P 为中点的弦所在直线方程为 ____________． 三、解答题 10. 如图，已知 P 是椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线 x＝－a2 c (c 是椭圆的半焦距)与 x 轴的交点， 若 PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率 e. 11．已知椭圆 4x2＋y2＝1 及直线 y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 能力提升 12．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.4 5 B.3 5 C.2 5 D.1 3 13．已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 F1(－ 3，0)， 且右顶点为 D(2,0)．设点 A 的坐标是 1，1 2 . (1)求该椭圆的标准方程； (2)若 P 是椭圆上的动点，求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程． 1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判 断性问题中有着重要的应用． 2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆 的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用． 3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率 的值或范围． 4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系． 2.2.2 椭圆的简单几何性质 知识梳理 1. 焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准 方程 x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 y2 a2 ＋x2 b2 ＝1 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 (±a,0)，(0，±b) (±b,0)，(0，±a) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±c,0) (0，±c) 焦距 2c＝2 a2－b2 对称性 对称轴是坐标轴，对称中心是原点 离心率 e＝c a ，0 没有 < 作业设计 1．B [先将椭圆方程化为标准形式：x2 9 ＋y2 25 ＝1， 其中 b＝3，a＝5，c＝4.] 2．A 3.B 4．A [由(a＋c)2＝a2＋2b2＋c2， ∵b2＝a2－c2，∴c2＋ac－a2＝0， ∵e＝c a ，∴e2＋e－1＝0，∴e＝－1＋ 5 2 .] 5．B [∵ 4 m2＋n2>2，∴ m2＋n2<4. ∴点 P(m，n)在椭圆x2 9 ＋y2 4 ＝1 的内部， ∴过点 P(m，n)的直线与椭圆x2 9 ＋y2 4 ＝1 有两个交点．] ∴M 点轨迹方程为 x2＋y2＝c2，其中 F1F2 为直径， 由题意知椭圆上的点在圆 x2＋y2＝c2 外部， 设点 P 为椭圆上任意一点，则|OP|>c 恒成立， 由椭圆性质知|OP|≥b，其中 b 为椭圆短半轴长， ∴b>c，∴c22c2， ∴ c a 2<1 2 ，∴e＝c a< 2 2 .又∵0b>0)， 将点(－5,4)代入得25 a2 ＋16 b2 ＝1， 又离心率 e＝c a ＝ 5 5 ，即 e2＝c2 a2 ＝a2－b2 a2 ＝1 5 ， 解之得 a2＝45，b2＝36，故椭圆的方程为x2 45 ＋y2 36 ＝1. 8.2 5 5 解析 由题意知椭圆的焦点在 x 轴上，又直线 x＋2y－2＝0 与 x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、 (0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以 b＝1，c＝2，从而 a＝ 5，e＝c a ＝2 5 5 . 9．x＋2y－4＝0 解析 设弦的两个端点为 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x21 16 ＋y21 4 ＝1 x22 16 ＋y22 4 ＝1 ， 两式相减，得x1＋x2x1－x2 16 ＋y1＋y2y1－y2 4 ＝0. 又 x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，kMN＝y1－y2 x1－x2 ， ∴kMN＝－1 2 ，由点斜式可得弦所在直线的方程为 y＝－1 2(x－2)＋1，即 x＋2y－4＝0. 10．解 依题意知 H －a2 c ，0 ，F(c,0)，B(0，b)． 设 P(xP，yP)，且 xP＝c，代入到椭圆的方程， 得 yP＝b2 a .∴P c，b2 a . ∵HB∥OP，∴kHB＝kOP，即 b－0 0＋a2 c ＝ b2 a c .∴ab＝c2. ∴e＝c a ＝b c ，∴e2＝a2－c2 c2 ＝e－2－1. ∴e4＋e2－1＝0.∵0