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- 2021-06-23 发布
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专题 08 数列
1.【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】设 是等比数列,且 , ,则
A.12 B.24 C.30 D.32
【答案】D
【解析】设等比数列 的公比为 ,则 ,
,
因此, .
故选:D.
【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算,属于基础题.
2.【2020年高考全国Ⅱ卷文数】记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5–a3=12,a6–a4=24,则
=
A.2n–1 B.2–21–n C.2–2n–1 D.21–n–1
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为 ,
由 可得: ,
所以 ,
因此 .
故选:B.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算,考查了等比数列前 项和公式
的应用,考查了数学运算能力.
{ }na 1 2 3 1a a a+ + = 2 3 4+ 2a a a+ =
6 7 8a a a+ + =
{ }na q ( )2
1 2 3 1 1 1a a a a q q+ + = + + =
( )2 3 2
2 3 4 1 1 1 1 1 2a a a a q a q a q a q q q q+ + = + + = + + = =
( )5 6 7 5 2 5
6 7 8 1 1 1 1 1 32a a a a q a q a q a q q q q+ + = + + = + + = =
n
n
S
a
q
5 3 6 412, 24a a a a− = − =
4 2
1 1
5 3
11 1
12 2
124
a q a q q
aa q a q
− = = ⇒ =− =
1 1 1
1
(1 ) 1 22 , 2 11 1 2
n n
n n n
n n
a qa a q S q
− − − −= = = = = −− −
1
1
2 1 2 22
n
nn
n
n
S
a
−
−
−= = −
n
3.【2020 年高考北京】在等差数列 中, , .记
,则数列 A.有最大项,有最小项
B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项
【答案】B
【解析】由题意可知,等差数列的公差 ,
则其通项公式为: ,
注意到 ,
且由 可知 ,
由 可知数列 不存在最小项,
由于 ,
故数列 中的正项只有有限项: , .
故数列 中存在最大项,且最大项为 .
故选:B.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式,等差数列中项的符号问题,分类讨论的数
学思想等知识,属于中等题.
4.【2020年高考浙江】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差 ,且 .记 ,
, ,下列等式不可能成立的是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于 A,因为数列 为等差数列,所以根据等差数列的下标和性质,由
可得, ,A 正确;
{ }na 1 9a = − 3 1a = −
1 2 ( 1,2, )n nT a a a n= =… … { }nT
5 1 1 9 25 1 5 1
a ad
− − += = =− −
( ) ( )1 1 9 1 2 2 11na a n d n n= + − = − + − × = −
1 2 3 4 5 6 70 1a a a a a a a< < < < < < = < <
5 0T < ( )0 6,iT i i N< ≥ ∈
( )
1
1 7,i
i
i
T a i i NT −
= > ≥ ∈ { }nT
1 2 3 4 5 69, 7, 5, 3, 1, 1a a a a a a= − = − = − = − = − =
{ }nT 2 63T = 4 63 15 945T = × =
{ }nT 4T
0d ≠ 1 1a
d
≤ 1 2b S=
1 2 2 2–n n nb S S+ += n ∗∈N
4 2 62a a a= + 4 2 62b b b= +
2
4 2 8a a a= 2
4 2 8b b b=
{ }na
4 4 2 6+ = + 4 2 62a a a= +
对于 B,由题意可知, , ,
∴ , , , .
∴ , .
根据等差数列的下标和性质,由 可得
,B 正确;
对于 C, ,
当 时, ,C 正确;
对于 D, ,
,
.
当 时, ,∴ 即 ;
当 时, ,∴ 即 ,所以
,D 不正确.
故选:D .
【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用,属于基础题.
5.【2020年高考全国Ⅱ卷文数】记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=−2,a2+a6=2,则
S10=__________.
【答案】
【解析】 是等差数列,且 ,
设 等差数列的公差
根据等差数列通项公式:
可得
即:
.
2 1 21 22 2 2n n n n nb S a aS ++ + += += − 1 2 1 2b S a a= = +
2 3 4b a a= + 4 7 8b a a= + 6 11 12b a a= + 8 15 16b a a= +
( )4 7 82 2b a a= + 2 6 3 4 11 12b b a a a a+ = + + +
3 11 7 7,4 12 8 8+ = + + = +
( )2 6 3 4 11 12 7 8 4=2 =2b b a a a a a a b+ = + + + +
( ) ( )( ) ( )22 2
4 2 8 1 1 1 1 13 7 2 2 2a a a a d a d a d d a d d d a− = + − + + = − = −
1a d= 2
4 2 8a a a=
( ) ( )2 22 2 2
4 7 8 1 1 12 13 4 52 169b a a a d a a d d= + = + = + +
( )( ) ( )( ) 2 2
2 8 3 4 15 16 1 1 1 12 5 2 29 4 68 145b b a a a a a d a d a a d d= + + = + + = + +
( )2 2
4 2 8 1 124 16 8 3 2b b b d a d d d a− = − = −
0d > 1a d≤ ( )1 13 2 2 0d a d d a− = + − > 2
4 2 8 0b b b− >
0d < 1a d≥ ( )1 13 2 2 0d a d d a− = + − < 2
4 2 8 0b b b− >
2
4 2 8 0b b b− >
25
{ }na 1 2a = − 2 6 2a a+ =
{ }na d
( )1 1na a n d+ −=
1 1 5 2a d a d+ + + =
( )2 2 5 2d d− + + − + =
整理可得:
解得:
根据等差数列前 项和公式:
可得:
.
故答案为: .
【点睛】本题主要考查了求等差数列的前 项和,解题关键是掌握等差数列的前 项和
公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
6.【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】数列 满足 ,前 16 项和为 540,
则 .
【答案】
【解析】 ,
当 为奇数时, ;
当 为偶数时, .
设数列 的前 项和为 ,
,
.
故答案为: .
【点睛】本题考查数列的递推公式的应用,以及数列的并项求和,考查分类讨论思想和
数学计算能力,属于较难题.
7.【2020 年高考浙江】我国古代数学家杨辉,朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,
6 6d =
1d =
n *
1
( 1) ,2n
n nS na d n N
−= + ∈
( )10
10 (10 1)10 2 20 45 252S
× −= − + = − + =
∴ 10 25S =
25
n n
{ }na 2 ( 1) 3 1n
n na a n+ + − = −
1a =
7
2 ( 1) 3 1n
n na a n+ + − = −
n 2 3 1n na a n+ = + −
n 2 3 1n na a n+ + = −
{ }na n nS
16 1 2 3 4 16S a a a a a= + + + + +
1 3 5 15 2 4 14 16( ) ( )a a a a a a a a= + + + + + + +
1 1 1 1 1 1( 2) ( 10) ( 24) ( 44) ( 70)a a a a a a= + + + + + + + + + +
1 1( 102) ( 140) (5 17 29 41)a a+ + + + + + + +
1 18 392 92 8 484 540a a= + + = + =
1 7a∴ =
7
如数列 就是二阶等差数列.数列 的前 3 项和是_______.
【答案】
【解析】因为 ,所以 .
即 .
故答案为: .
【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和,属于容易题.
8.【2020 年高考江苏】设{an}是公差为 d 的等差数列,{bn}是公比为 q 的等比数列.已知
数列{an+bn}的前 n 项和 ,则 d+q 的值是 ▲ .
【答案】
【解析】设等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为 ,根据题意 .
等差数列 的前 项和公式为 ,
等比数列 的前 项和公式为 ,
依题意 ,即 ,
通过对比系数可知 ,故 .
故答案为: .
【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前 项和公式,属于中档题.
9.【2020 年新高考全国Ⅰ卷】将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an},
则{an}的前 n 项和为________.
【答案】
【解析】因为数列 是以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列,
( 1){ }2
n n + *( 1){ }( )2
n n n
+ ∈N
10
( )1
2n
n na
+= 1 2 31, 3, 6a a a= = =
3 1 2 3 1 3 6 10S a a a= + + = + + =
10
2 2 1( )n
nS n n n += − + − ∈N
4
{ }na d { }nb q 1q ≠
{ }na n
( ) 2
1 1
1
2 2 2n
n n d dP na d n a n
− = + = + −
{ }nb n
( )1 1 11
1 1 1
n
n
n
b q b bQ qq q q
−
= = − +− − −
n n nS P Q= + 2 2 1 1
12 1 2 2 1 1
n nb bd dn n n a n qq q
− + − = + − − + − −
1
1
12
12
2
11
d
da
q
b
q
=
− = −
=
= − −
⇒ 1
1
2
0
2
1
d
a
q
b
=
= =
=
4d q+ =
4
n
23 2n n−
{ }2 1n −
数列 是以 1 首项,以 3 为公差的等差数列,
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以 1 为首项,以 6 为公差的等差数列,
所以 的前 项和为 ,
故答案为: .
【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成
新数列的特征,等差数列求和公式,属于简单题目.
10.【2020 年高考全国Ⅲ卷文数】设等比数列{an}满足 , .
(1)求{an}的通项公式;
(2)记 为数列{log3an}的前 n 项和.若 ,求 m.
【解析】(1)设 的公比为 ,则 .由已知得
,
解得 .
所以 的通项公式为 .
(2)由(1)知 故
由 得 ,即 .
解得 (舍去), .
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算,以及等差数列求和公式的应用,考
查计算求解能力,属于基础题目.
11.【2020 年高考江苏】已知数列 的首项a1=1,前 n 项和为 Sn.设 λ 与 k 是常
数,若对一切正整数 n,均有 成立,则称此数列为“λ~k”数列.
(1)若等差数列 是“λ~1”数列,求 λ 的值;
(2)若数列 是“ ”数列,且 ,求数列 的通项公式;
(3)对于给定的 λ,是否存在三个不同的数列 为“λ~3”数列,且 ?若存在,
求 λ 的取值范围;若不存在,说明理由.
{ }3 2n −
{ }na
{ }na n 2( 1)1 6 3 22
n nn n n
−⋅ + ⋅ = −
23 2n n−
1 2 4a a+ = 13 8a a− =
nS 1 3m m mS S S+ ++ =
{ }na q 1
1
n
na a q −=
1 1
2
1 1
4
8
a a q
a q a
+ = − =
1 1, 3a q= =
{ }na 1=3n
na −
3log 1.na n= − ( 1).2n
n nS
−=
1 3m m mS S S+ ++ = ( 1) ( 1) ( 3)( 2)m m m m m m− + + = + + 2 5 6 0m m− − =
1m = − 6m =
{ }( )na n∈ *N
1 11
1 1
k kkn n nS S aλ+ +− =
{ }na
{ }na 3 ~23
0na > { }na
{ }na 0na ≥
【解析】(1)因为等差数列 是“λ~1”数列,则 ,即 ,
也即 ,此式对一切正整数n均成立.
若 ,则 恒成立,故 ,而 ,
这与 是等差数列矛盾.
所以 .(此时,任意首项为1的等差数列都是“1~1”数列)
(2)因为数列 是“ ”数列,
所以 ,即 .
因为 ,所以 ,则 .
令 ,则 ,即 .
解得 ,即 ,也即 ,
所以数列 是公比为4的等比数列.
因为 ,所以 .
则
(3)设各项非负的数列 为“ ”数列,
则 ,即 .
因为 ,而 ,所以 ,则 .
令 ,则 ,即 .(*)
①若 或 ,则(*)只有一解为 ,即符合条件的数列 只有一个.
(此数列为1,0,0,0,…)
{ }na 1 1n n nS S aλ+ +− = 1 1n na aλ+ +=
1( 1) 0naλ +− =
1λ ≠ 1 0na + = 3 2 0a a− = 2 1 1a a− = −
{ }na
1λ =
*{ }( )na n∈N 3 ~23
1 1
3
3n n nS S a+ +− = 1 1
3
3n n n nS S S S+ +− = −
0na > 1 0n nS S+ > > 1 131 13
n n
n n
S S
S S
+ +− = −
1n
n
n
S bS
+ = 231 13n nb b− = − 2 21( 1) ( 1)( 1)3n n nb b b− = − >
2nb = 1 2n
n
S
S
+ = 1 4n
n
S
S
+ =
{ }nS
1 1 1S a= = 14n
nS −=
2
1( 1),
3 4 ( 2).n n
na
n−
== × ≥
*{ }( )na n∈N ~ 3λ
1 1 1
3 3 3
1 1n n nS S aλ+ +− = 3 3 3
1 1n n n nS S S Sλ+ +− = −
0na ≥ 1 1a = 1 0n nS S+ ≥ > 3 131 1= 1n n
n n
S S
S S
λ+ +− −
3 1 =n
n
n
S
S c+ 331 1( 1)n n nc c cλ− = − ≥ 3 3 3( 1) ( 1)( 1)n n nc c cλ− = − ≥
0λ ≤ =1λ =1nc { }na
②若 ,则(*)化为 ,
因为 ,所以 ,则(*)只有一解为 ,
即符合条件的数列 只有一个.(此数列为1,0,0,0,…)
③若 ,则 的两根分别在(0,1)与(1,+∞)内,
则方程(*)有两个大于或等于1的解:其中一个为1,另一个大于1(记此解为t).
所以 或 .
由于数列 从任何一项求其后一项均有两种不同结果,所以这样的数列 有无数
多个,则对应的 有无数多个.
综 上 所 述 , 能 存 在 三 个 各 项 非 负 的 数 列 为 “ ” 数 列 , 的 取 值 范 围 是
.
12.【2020 年新高考全国Ⅰ卷】
已知公比大于 的等比数列 满足 .
(1)求 的通项公式;
(2)记 为 在区间 中的项的个数,求数列 的前 项和 .
【解析】(1)设 的公比为 .由题设得 , .
解得 (舍去), .
由题设得 .
所以 的通项公式为 .
(2)由题设及(1)知 ,
且当 时, .
所以
.
1λ >
3
2
3
2( 1)( 1) 01n n nc c c
λ
λ
+− + + =−
1nc ≥
3
2
3
2 1 01n nc c
λ
λ
++ + >− =1nc
{ }na
0 1λ< <
3
2
3
2 1 01n nc c
λ
λ
++ + =−
1n nS S+ = 3
1n nS t S+ =
{ }nS { }nS
{ }na
{ }na ~ 3λ λ
0 1λ< <
1 { }na 2 4 320, 8a a a+ = =
{ }na
mb { }na *(0, ]( )m m∈N { }mb 100 100S
{ }na q 3
1 1 20a q a q+ = 2
1 8a q =
1
2q = − 2q =
1 2a =
{ }na 2n
na =
1 0b =
12 2n nm +≤ < mb n=
100 1 2 3 4 5 6 7 32 33 63 64 65 100( ) ( ) ( ) ( )S b b b b b b b b b b b b b= + + + + + + + + + + + + + + +
2 3 4 50 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 (100 63)= + × + × + × + × + × + × −
480=
13.【2020 年高考天津】
已知 为等差数列, 为等比数列, .
(Ⅰ)求 和 的通项公式;
(Ⅱ)记 的前 项和为 ,求证: ;
(Ⅲ)对任意的正整数 ,设 求数列 的前 项
和.
【解析】(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为 .由 ,
,可得 ,从而 的通项公式为 .由 ,
又 ,可得 ,解得 ,从而 的通项公式为 .
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得 ,故 ,
,从而 ,所以
.
(Ⅲ)解:当 为奇数时, ;当 为偶
数时, .
对任意的正整数 ,有 ,
和 . ①
由①得 . ②
{ }na { }nb ( ) ( )1 1 5 4 3 5 4 31, 5 , 4a b a a a b b b= = = − = −
{ }na { }nb
{ }na n nS ( )2 *
2 1n n nS S S n+ +< ∈N
n
( )
2
1
1
3 2 , ,
, .
n n
n n
n
n
n
a b na ac
a nb
+
−
+
−
=
为奇数
为偶数
{ }nc 2n
{ }na d { }nb q 1 1a =
( )5 4 35a a a= − 1d = { }na na n= ( )1 5 4 31, 4b b b b= = −
0q ≠ 2 4 4 0q q− + = 2q = { }nb 12n
nb −=
( 1)
2n
n nS
+= 2
1 ( 1)( 2)( 3)4n nS S n n n n+ = + + +
( )22 2
1
1 ( 1) 24nS n n+ = + + 2
2 1
1 ( 1)( 2) 02n n nS S S n n+ +− = − + + <
2
2 1n n nS S S+ +<
n
( ) 1 1 1
2
3 2 (3 2)2 2 2
( 2) 2
n n n
n n
n
n n
a b nc a a n n n n
− + −
+
− −= = = −+ + n
1
1
1
2
n
n n
n
a nc b
−
+
−= =
n
2 2 2 2
2 1
1 1
2 2 2 12 1 2 1 2 1
k k nn n
k
k k
c k k n
−
−
= =
= − = − + − +
∑ ∑
2 2 3
1 1
2 1 1 3 5 2 1
4 4 4 4 4
n n
k k n
k k
k nc
= =
− −= = + + + +∑ ∑
2 2 3 1
1
1 1 3 2 3 2 1
4 4 4 4 4
n
k n n
k
n nc +
=
− −= + + + +∑
由①②得 ,从而得
.
因此, .
所以,数列 的前 项和为 .
14 . 【 2020 年 高 考 浙 江 】 已 知 数 列 {an} , {bn} , {cn} 满 足
.
(Ⅰ)若{bn}为等比数列,公比 ,且 ,求 q 的值及数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若{bn}为等差数列,公差 ,证明: .
【解析】(Ⅰ)由 得 ,解得 .
由 得 .
由 得 .
(Ⅱ)由 得 ,
所以 ,
由 , 得 ,因此 .
15.【2020 年高考北京】已知 是无穷数列.给出两个性质:
①对于 中任意两项 ,在 中都存在一项 ,使 ;
②对于 中任意项 ,在 中都存在两项 .使得 .
(Ⅰ)若 ,判断数列 是否满足性质①,说明理由;
2 2 1 1
1
2 113 1 2 2 2 1 1 2 14 4
14 4 4 4 4 4 41 4
n n
k n n n
k
n nc + +
=
− − − = + + + − = − −
−
∑
2
1
5 6 5
9 9 4
n
k n
k
nc
=
+= − ×∑
2
2 1 2
1 1 1
4 6 5 4
2 1 9 4 9
nn n n
k k k n
k k k
nc c c n−
= = =
+= + = − −+ ×∑ ∑ ∑
{ }nc 2n 4 6 5 4
2 1 9 4 9
n
n
n
n
+− −+ ×
1 1 1 1 1
2
1, , ,n
n n n n n
n
ba b c c a a c c nb+ +
+
= = = = − = ∈ *N
0q > 1 2 36b b b+ =
0d > *
1 2 3
11 ,nc c c c nd
+ + + + < + ∈N
1 2 36b b b+ = 21 6q q+ = 1
2q =
1 4n nc c+ = 14n
nc −=
1
1 4n
n na a −
+ − =
1
2
1
4 21 4 4 3
n
n
na a
−
− += + + + + =
1
2
n
n n
n
bc cb+
+
= 1 2 1
1 1
1 1 1( )n
n n n n
b b c dc b b d b b+ +
+= = −
1 2 3
1
1 1(1 )n
n
dc c c c d b +
++ + + + = −
1 1b = 0d > 1 0nb + > *
1 2 3
11 ,nc c c c nd
+ + + + < + ∈N
{ }na
{ }na , ( )i ja a i j> { }na ma
2
i
m
j
a aa
=
{ }na ( 3)na n { }na , ( )k la a k l>
2
k
n
l
aa a
=
( 1,2, )na n n= = { }na
(Ⅱ)若 ,判断数列 是否同时满足性质①和性质②,说明理由;
(Ⅲ)若 是递增数列,且同时满足性质①和性质②,证明: 为等比数列.
【解析】 (Ⅰ) 不具有性质①;
(Ⅱ) 具有性质①;
具有性质②;
(Ⅲ)【解法一】
首先,证明数列中的项数同号,不妨设恒为正数:
显然 ,假设数列中存在负项,设 ,
第一种情况:若 ,即 ,
由①可知:存在 ,满足 ,存在 ,满足 ,
由 可知 ,从而 ,与数列的单调性矛盾,假设不成立.
第二种情况:若 ,由①知存在实数 ,满足 ,由 的定义可知:
,
另一方面, ,由数列 单调性可知: ,
这与 的定义矛盾,假设不成立.
同理可证得数列中的项数恒为负数.
综上可得,数列中的项数同号.
其次,证明 :
利用性质②:取 ,此时 ,
的
12 ( 1,2, )n
na n−= = { }na
{ }na { }na
{ }2
3
2 3
2
92, 3, 2 n
aa aa Za
= = = ∉ ∴
{ }2 2
* (2 ) 1 *
2, , , 2 ,2i ji i
i j n
j j
a ai j N i j i j N aa a a− −
−∀ ∈ > = − ∈ ∴ = ∴
{ }2
* (2 ) 1 1, 3, 1, 2, 2 2 ,k l nk
n n
l
an N n k n l an aa
− − −∀ ∈ ≥ ∃ = − = − = = = ∴
( )0 *na n N≠ ∉ { }0 max | 0nN n a= <
0 1N = 0 1 2 30a a a a< < < < <
1m 1
2
2
1
0m
aa a
= < 2m 2
2
3
1
0m
aa a
= <
0 1N =
22
32
1 1
aa
a a
= 2 3a a=
0 2N ≥ m 0
2
1
0N
m
aa a
= < 0N
0m N≤
0 0
0
0
2 2
1
N N
m N
N
a aa aa a
= > = 0m N>
0N
2
2
3
1
aa a
=
3n = ( )2
3
k
l
aa k la
= >
由数列的单调性可知 ,
而 ,故 ,
此时必有 ,即 ,
最后,用数学归纳法证明数列为等比数列:
假设数列 的前 项成等比数列,不妨设 ,
其中 ,( 情况类似)
由①可得:存在整数 ,满足 ,且 (*)
由②得:存在 ,满足: ,由数列的单调性可知: ,
由 可得: (**)
由(**)和(*)式可得: ,
结合数列的单调性有: ,
注意到 均为整数,故 ,
代入(**)式,从而 .
总上可得,数列 的通项公式为: .
即数列 为等比数列.
【解法二】假设数列中的项数均为正数:
首先利用性质②:取 ,此时 ,
由数列的单调性可知 ,
而 ,故 ,
的
0k la a> >
3
k
k k
l
aa a aa
= ⋅ > 3k <
2, 1k l= =
2
2
3
1
aa a
=
{ }na ( )3k k ≥ ( )1
1 1s
sa a q s k−= ≤ ≤
1 0, 1a q> > 1 0,0 1a q< < <
m
2
1
1
kk
m k
k
aa a q aa −
= = > 1 1
k
m ka a q a += ≥
s t>
2
1
s s
k s s
t t
a aa a aa a+ = = ⋅ > 1t s k< ≤ +
( )1
1 1s
sa a q s k−= ≤ ≤
2
2 1 1
1 1 1
s t ks
k k
t
aa a q a a qa
− − −
+ = = > =
2 1 1
1 1 1
k s t ka q a q a q− − −≥ >
2 1 1k s t k≥ − − > −
, ,s t k 2 1k s t= − −
1 1
k
ka a q+ =
{ }na 1
1
n
na a q −=
{ }na
3n = ( )2
3
k
l
aa k la
= >
0k la a> >
3
k
k k
l
aa a aa
= ⋅ > 3k <
此时必有 ,即 ,
即 成等比数列,不妨设 ,
然后利用性质①:取 ,则 ,
即数列中必然存在一项的值为 ,下面我们来证明 ,
否则,由数列的单调性可知 ,
在性质②中,取 ,则 ,从而 ,
与前面类似的可知则存在 ,满足 ,
若 ,则: ,与假设矛盾;
若 ,则: ,与假设矛盾;
若 ,则: ,与数列的单调性矛盾;
即不存在满足题意的正整数 ,可见 不成立,从而 ,
同理可得: ,从而数列 为等比数列,
同理,当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.
由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负,不会同时出现正数和负数.
从而题中的结论得证,数列 为等比数列.
【点睛】本题主要考查数列的综合运用,等比数列的证明,数列性质的应用,数学归纳
法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识,意在考查学生的转化能力和推理能力.
1.【2020 届黑龙江省大庆实验中学高三下学期第二次“战疫”线上测试数学】在等差数列
2, 1k l= =
2
2
3
1
aa a
=
1 2 3, ,a a a ( )2
2 1 3 1, 1a a q a a q q= = >
3, 2i j= =
2 2 4
33 1
1
2 1
m
a a qa a qa a q
= = =
3
1a q 3
4 1a a q=
3
4 1a a q<
4n =
2
4
k k
k k
l l
a aa a aa a
= = > 4k <
{ } { }( ), 1,2,3k l k l⊆ >
2
4
k
l
aa a
=
3, 2k l= =
2
3
4 1
k
l
aa a qa
= =
3, 1k l= =
2
4 3
4 1 1
k
l
aa a q a qa
= = >
2, 1k l= =
2
2
4 1 3
k
l
aa a q aa
= = =
,k l 3
4 1a a q< 3
4 1a a q=
4 5
5 1 6 1, ,a a q a a q= = { }na
{ }na
中,若 , ,则 和 的等比中项为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意得: ,所以 , ,
所以 . ,
所以 和 的等比中项为 .
故选 A.
2.【河北省正定中学2019-2020 学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】把 100 个面包
分给 5 个人,使每个人的所得成等差数列,且使较大的三份之和的 是较小的两份之和,
则最小一份的量为
A.5 B. C. D.10
【答案】C
【解析】设最小的一份为 ,公差为 d,
由题意可得 ,且
,
解得 ,
故选 C.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式的计算以及等差数列前 n 项和公式的应用,属于基础题. 基
本元的思想是在等差数列中有 5 个基本量 ,列出方程组,可求得数列中的
量.
{ }na 3 8 13 7a a a+ + = 2 11 14 14a a a+ + = 8a 9a
7 2
3
± 7 2
3
2 7
3
± 2 7
3
3 8 13 83 7a a a a+ + = = 8
7
3a = 2 11 14 93 14a a a a+ + = =
9
14
3a = 8 9
98
9a a⋅ =
8a 9a 7 2
3
±
1
6
5
3
20
7
1a
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1
12 3 4 6a d a d a d a a d + + + + + × = + +
( )
1
5 5 15 1002a d
× −+ =
1
20
7a =
1, , , ,n na d a S n
3.【湘赣粤2020 届高三(6 月)大联考】已知数列 的前 n 项和为 , ,
,则数列 的通项公式为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为数列 的前 项和为 , , ,
当 时, ;
把 代入检验,只有答案 AB 成立,排除 CD;
当 时, ;排除 B.
故选 A .
【点睛】
本题主要考查数列递推关系式的应用以及排除法在选择题中的应用,属于基础题.
4.【广东省深圳外国语学校2020 届高三下学期 4 月综合能力测试数学】已知等比数列
的前 项和为 ,若 , ,则
A. B. C. D.6
【答案】A
【解析】设等比数列 的首项为 ,公比为 ,
因为 且 ,
所以 ,解得 或 ,
{ }na nS 2 4a =
*( 1) ( )2
n
n
n aS n N∈+= { }na
*( )2na n n N= ∈ *2 ( )n
na n N= ∈
*( )2na n n N= + ∈ 2 *( )na n n N= ∈
{ }na n nS 2 4a = *( 1) ( )2
n
n
n aS n N∈+=
∴ 2n = 2
2 1 2 1
(2 1) 22
aS a a a
+= = + ⇒ =
1n =
3n = 3
3 1 2 3 3
(3 1) 62
aS a a a a
+= = + + ⇒ =
{ }na
n nS 2
2
3a =
1 2 3
1 1 1 13
2a a a
+ + =
3S =
26
9
13
3
13
9
{ }na 1a q
2
2
3a =
1 2 3
1 1 1 13
2a a a
+ + =
1
2
1 1 1
2
3
1 1 1 13
2
a q
a a q a q
=
+ + =
1
2
9
3
a
q
=
=
1 2
1
3
a
q
= =
当 , 时, ;
当 , 时, .
所以 .
故选 A.
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式和前 项和公式,考查学生对公式的熟练程度及计算
能力,属于基础题.
5.【黑龙江省大庆市第四中学2020 届高三 4 月月考数学】已知数列 的前 项和 ,
且满足 ,则
A.1013 B.1022 C.2036 D.2037
【答案】A
【解析】由数列 的前 项和 ,且满足 ,
当 时, ,
两式相减,可得 ,即 ,
令 ,可得 ,解得 ,
所以数列 表示首项为 ,公比为 的等比数列,所以 ,
则 ,所以 ,
所以
.
1
2
9a = 3q = ( )3
3
2 1 3 269
1 3 9S
−
= =−
1 2a = 1
3q =
3
3
12 1 3 26
1 91 3
S
− = =
−
3
26
9S =
n
{ }na n nS
1n na S+ = 3 91 2
1 2 3 9
S SS S
a a a a
+ + +⋅⋅⋅+ =
{ }na n nS 1n na S+ =
2n ≥ 1 1 1n na S− −+ =
1 1 1( ) 2 0n n n n n na a S S a a− − −− + − = − =
1
1 ( 2)2
n
n
a na −
= ≥
1n = 1 1 12 1a S a+ = = 1
1
2a =
{ }na 1
2
1
2
1( )2
n
na =
1 1[1 ( ) ] 12 2 1 ( )1 21 2
n
n
nS
−
= = −
−
11 ( )2 2 11( )2
n
nn
nn
S
a
−
= = −
2 93 91 2
1 2 3 9
(2 2 2 ) (1 1 1)S SS S
a a a a
+ + +⋅⋅⋅+ = + + + − + +
9
102(1 2 ) 9 2 11 10131 2
− − = − =−
故选:A.
【点睛】
本题考查了等比数列的定义,等比数列的通项公式以及等比数列的前 项和公式的综合
应用,着重考查推理与计算能力,属于中档试题.
6.【山西省阳泉市2020 届高三下学期第二次质量调研数学】已知数列 中, ,
,则
A. B. C. D.5051
【答案】D
【解析】由题意,数列 中, , ,
则 ,
各式相加,可得
,
所以 .
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项,以及等差数列的前 项和公式的应
用,其中解答中根据数列的递推关系式,合理利用叠加法求解是解答的关键,着重考查
了推理与运算能力,属于中档试题.
7.【2020 届广东省中山市高三上学期期末数学】已知数列 是各项均为正数的等比数列,
为数列 的前 项和,若 ,则 的最小值为
A.9 B.12 C.16 D.18
【答案】D
【解析】由 得 ,所以
.所以
n
{ }na 1 1a =
( )2 *
1 ( 1)n
n na a n n N+ = + − ⋅ ∈ 101a =
5150− 5151− 5050
{ }na 1 1a = ( )2 *
1 ( 1)n
n na a n n N+ = + − ⋅ ∈
2 2 2 2
2 1 3 2 4 3 101 100,1 2 , , ,3 100a a a a a a a a− = − − = − = − − =
2 2 2 2
101 1
2 21 2 3 4 9 109 0a a + − −− = − + − +
( 1 2) (1 2) ( 3 4) (3 4) ( 99 100) (99 100)− + ⋅ + + − + ⋅ + + + − + ⋅ +
100(1 100)1 2 3 100 50502
+= + + + + = =
101 1 5050 5051a a= + =
n
{ }na
nS { }na n 2 2 3 3S a S+ = − 4 23a a+
2 2 3 3S a S+ = − 2 3 2 33 3a S S a= − − = −
2
1 1 1 2
33, 0 1a q a q a qq q
= − = > ⇒ >− 4 23a a+
.当且仅当
时取得最小值.
故选 D.
8.【2020 届安徽省马鞍山市高三第一次教学质量监测数学】中国古代数学著作《算法统宗》
中有这样一个问题:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其
关……”其大意为:有一个人走 378 里路,第一天健步走,从第二天起因脚痛每天走的路程
为前一天的一半,走了 6 天到达目的地…….则此人后四天走的路程比前两天走的路程少
()里.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设每天走的路程里数为 ,则 是公比为 的等比数列,
由 得 , 解得:
所以
后四天走的路程: ,前两天走的路程: ,
又 ,且 ,∴ ,
∴
故此人后四天走的路程比前两天走的路程少 198,
故选:A.
9.【河北省衡水中学2020 届高三下学期(5 月)第三次联合考试数学】若 是公比为
的等比数列,记 为 的前 项和,则下列说法正确的是
( ) ( )3 2
3
1 1 2
3 3 3 3
3 1
q q q
a q a q q q q
+ +
= + = =− −
( ) ( )21 2 1 43 1
q q
q
− + − += × −
( ) 43 1 61q q
= − + + −
( ) 43 2 1 6 181q q
≥ × − ⋅ + =−
41 3 11q qq
− = ⇒ = >−
198 191 63 48
{ }na { }na 1
2
6 378S = 1 6
11 2 37811 2
a − =
−
∴ 1 192a =
11192 2
n
na
− = ⋅
∴ 53 4 6a a a a+ ++ 1 2a a+
1 2 192 96 288a a =+ = + 6 378S = 63 4 5 378 288 90a a a a+ = − =+ +
( ) ( )41 52 3 6 288 90 198a a a a a a− + + = − =+ +
{ }na
( )0q q ≠ nS { }na n
A.若 是递增数列,则 ,
B.若 是递减数列,则 ,
C.若 ,则
D.若 ,则 是等比数列
【答案】D
【解析】A 选项中, ,满足 单调递增,故 A 错误;
B 选项中, ,满足 单调递减,故 B 错误;
C 选项中,若 ,则 ,故 C 错误;
D 选项中, ,所以 是等比数列.故 D 正确.
故选 D.
【点睛】
本题考查了等比数列的定义,考查了数列的单调性,考查了特值排除法,属于基础题.
10.【2020 届湖南省高三上学期期末统测数学】已知数列 是等比数列, ,
则 __________.
【答案】
【解析】设 的公比为 ,由 ,得 ,故 .
故答案为:
11.【2020 届安徽省亳州市高三上学期期末教学质量检测数学】记 为等差数列 的前
项和.已知 , ,则公差 __________.
【答案】
【解析】设等差数列 的首项为 ,公差为 ,
,
{ }na 1 0a < 0q <
{ }na 1 0a > 0 1q< <
0q > 4 6 52S S S+ >
1
n
n
b a
= { }nb
1 2, 3a q= = { }na
1 1, 2a q= − = { }na
1
11, 2a q= = 6 5 6 5 5 4,a a S S S S< − < −
( )1
1
1 0n n
n n
b a qb a q
+
+
= = ≠ { }nb
{ }na 1 31, 36a a= =
2a =
6±
{ }na q 1 31, 36a a= = 2 36, 6q q= = ± 2 6a = ±
6±
nS { }na
n 3 0a = 8 48S = d =
4
{ }na 1a d
3 0a = 8 48S =
解得
故答案为:
12.【河北省 2020 届高三上学期第一次大联考数学】等差数列 , 的前 项和分别
为 , ,若对任意正整数 都有 ,则 的值为 .
【答案】
【解析】因为 , 是等差数列,所以 ,
则 .
13.【2020 届安徽省池州市高三上学期期末考试数学】已知数列 满足
,则 ________.
【答案】-1.
【解析】 ,
累加得 ,
所以 ,当 时也符合,
.
故答案为:-1
14.【河北省衡水中学2020 届高三下学期(5 月)第三次联合考试数学】记 为正项等差数
列 的前 项和,若 ,则 _________.
【答案】
【解析】设等差数列的公差为 ,
由题得 ,所以
所以 .
( )
1
1
2 0
8 8 18 482
a d
a d
+ =∴ × −+ =
1 8
4
a
d
= −
=
4
{ }na { }nb n
nS nT n 2 1
3 2
n
n
S n
T n
−= −
511
6 10 7 9
aa
b b b b
++ +
29
43
{ }na { }nb 5 11 5 811
6 10 7 9 8 8
2
2 2
a a a aa
b b b b b b
++ = =+ +
15 1 15 8
15 1 15 8
2 2 15 1 29
2 3 15 2 43
S a a a
T b b b
+ × −= = = =+ × −
{ }na 1 1,a =
1
1lgn n
na a n−
−− = ( )*2,n n≥ ∈N 100a =
1
1lgn n
na a n−
−− = ( )*2,n n≥ ∈N
1
1lgna a n
− = lg n= −
1 lgna n= − 1n =
100 1 lg100a = − 1= −
nS
{ }na n 1 3 4 71,a a a S= ⋅ = nS =
23 1
2 2n n−
d
1 7
3 4 7 47 72
a aa a S a
+⋅ = = × = 3 7,a =
1+2 7, 3d d= ∴ =
所以 .
故答案为 .
【点睛】
本题主要考查等差数列的基本量计算,考查等差中项的应用和求和,意在考查学生对这
些知识的理解掌握水平.
15.【广东省深圳市2020 届高三下学期第二次调研数学】《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》
和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作,其中记载了一个这样的问题:
假设每对老鼠每月生子一次,每月生 12 只,且雌雄各半.1 个月后,有一对老鼠生了 12
只小老鼠,一共有 14 只;2 个月后,每对老鼠各生了 12 只小老鼠,一共有 98 只.以此
类推,假设 n 个月后共有老鼠 只,则 _____.
【答案】
【解析】由题意可得 1 个月后的老鼠的只数 ,
2 个月后老鼠的只数 ,
3 个月后老鼠的只数 …,
n 个月后老鼠的只数 .
故答案为: .
【点睛】
本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式,考查运算求解能力.
16.【山西省太原市2019-2020 学年高三上学期期末数学】记数列 的前 项和为 ,若
, , ,则 ___________.
【答案】2559
【解析】因为 , ,
所以 ,
所以 ,
2( 1) 3 132 2 2n
n nS n n n
−= + × = −
23 1
2 2n n−
na na =
2 7n×
1 (1 6) 2 2 7a = + × = ×
2
2 2(1 6) 7 2 7a = + × = ×
2 3
3 2(1 6) 7 2 7a = + × = ×
2 7n
na = ×
2 7n×
{ }na n nS
1 1a = 2 2n na n a= − 2 1 1n na a+ = + 100S =
2 2n na n a= − 2 1 1n na a+ = +
22 1 2 1n naa n+ = ++
( ) ( ) ( ) ( )3 5 97 91 2 4 996 98...a a a aa a a a a+ + + + + + + ++
,
,
,
.
则 .
故答案为:2559
【点睛】
本题主要考查数列递推累加求和,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
17.【广东省广州、深圳市学调联盟2019-2020 学年高三下学期第二次调研数学】已知函数
( , )有两个不同的零点 , , 和 , 三个
数适当排序后既可成为等差数列,也可成为等比数列,则函数 的解析式为
______.
【答案】
【解析】函数 ( , )有两个不同的零点 , ,
可得 ,且 ,
和 , 三个数适当排序后既可成为等差数列,也可成为等比数列,
可得 ,
再设−2, , 为等差数列,可得 ,
代入韦达定理可得 ,
即有 ,解得 a=−5(4 舍去),
则 .
故答案为: .
( )50 1 991 3 5 ... 2 49 1 25002
+= + + + + × + = =
( )100 50 25100 100 50a a a= − = − −
( )12 650 1 51 12a a= + + = + −
( )363 6 57 2 59a= − − = + =
100 2500 59 2559S = + =
( ) 2f x x ax b= + + 0a < 0b > 1x 2x 2− 1x 2x
( )f x
( ) 2 5 4f x x x= − +
( ) 2f x x ax b= + + 0a < 0b > 1x 2x
1 2 1 2,x x a x x b+ = − = 1 20, 0x x> >
2− 1x 2x
2
1 2 ( 2) 4x x b= − = =
1x 2x 1 22 2x x= −
1 2
2 2 2,3 3
a ax x
− − −= =
2 2 2 43 3
a a− − −⋅ =
( ) 2 5 4f x x x= − +
( ) 2 5 4f x x x= − +
【点睛】
本题考查函数的零点和二次方程的韦达定理,以及等差数列和等比数列的中项性质,考
查方程思想和运算能力,属于基础题.
18.【江西省2019-2020 学年高三 4 月新课程教学质量监测卷】设 Sn 为等差数列{an}的前 n
项和,S7=49,a2+a8=18.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若 S3、a17、Sm 成等比数列,求 S3m.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为 d,∵Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S7=49,
a2+a8=18,
∴ ⇒ ,解得:d=2.
∴
(2)由(1)知: .
∵ 成等比数列,∴ ,即 9m2 ,解得 m 11.
故
【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式和求前 项的和,以及等比数列的性质,属于中档题.
19.【辽宁省葫芦岛市2020 届高三 5 月联合考试数学】记 是正项数列 的前 项和,
是 和 的等比中项.
(1)求数列 的通项公式;
(2)记 ,求数列 的前 项和 .
【解析】(1)因为 是 和 的等比中项,
所以 ①,当 时, ②,
由① ②得: ,
7 4
2 8 5
7 49
2 18
S a
a a a
= =
+ = =
4
5
7
9
a
a
=
=
( )4 4 2 1na a n d n= + − × = −
( ) 21 2 1
2n
n nS n
+ −= =
3 17, , mS a S 2
3 17mS S a= 233= =
2
3 33 3 10893mS S == =
n
nS { }na n
1na + 4 nS
{ }na
( ) ( )1
1
1 1n
n n
b a a +
= + ⋅ + { }nb n nT
1na + 4 nS
( )21 4n na S+ = 2n ≥ ( )2
1 11 4n na S− −+ =
− ( ) ( )2 2
1 11 1 4 4n n n na a S S− −+ − + = −
化简得 ,即 或者 (舍去),
故 ,数列 为等差数列,
因为 ,解得 ,
所以数列 是首项为 、公差为 的等差数列, .
(2)因为 ,
所以 .
【点睛】
本题考查数列通项公式的求法以及数列的前 项和的求法,考查等差数列的判定,考查
裂项相消法求和,考查推理能力与计算能力,是中档题.
20.【2020 届广东省中山市高三上学期期末数学】设 为数列 的前 项和,已知
, .
(1)证明 为等比数列;
(2)判断 , , 是否成等差数列?并说明理由.
【解析】(1)证明:∵ , ,∴ ,
由题意得 , ,
∴ 是首项为 2,公比为 2 的等比数列.
(2)由(1) ,∴ .
∴ ,
∴ ,
∴ ,即 , , 成等差数列.
21.【广西南宁市第三中学2020 届高三适应性月考卷】等差数列 的前 项和为 ,
( ) ( )2 2
11 1n na a −− = + 11 1n na a −− = + ( )11 1 0n na a −− + + =
1 2( 2)n na a n−− = ≥ { }na
( )2
1 11 4a S+ = 1 1a =
{ }na 1 2 2 1na n= −
1 1 1 1
2 (2 2) 4 1nb n n n n
= = − ⋅ + +
1 2
1 1 1 1 1 114 2 2 3 1 4( 1)n n
nT b b b n n n
= + + + = − + − +⋅⋅⋅+ − = + +
n
nS { }na n
2 3a = 1 2 1n na a+ = +
{ }1na +
n na nS
2 3a = 2 12 1a a= + 1 1a =
1 0na + ≠ 1 1 2 2 21 1
n n
n n
a a
a a
+ + += =+ +
{ }1na +
1 2n
na + = 2 1n
na = −
1
12 2 2 21 2
n
n
nS n n
+
+−= − = − −−
( )12 2 2 2 2 1 0n n
n nn S a n n++ − = + − − − − =
2n nn S a+ = n na nS
{ }na n nS
,其中 , , 成等比数列,且数列 为非常数数列.
(1)求数列通项 ;
(2)设 , 的前 项和记为 ,求证: .
【解析】(1)因为 , , 成等比数列,
由所以 ,
即 ,
解得得 或 (舍去),
所以 .
(2)由(1)知: ,
,
,
.
【点睛】
本题主要考查等比中项,等差数列的通项公式和前 n 项和公式以及裂项相消法求和,还
考查了运算求解的能力,属于中档题.
22.【广东省深圳市2020 届高三下学期第二次调研数学】已知各项都为正数的等比数列
, , .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 , ,求 .
【解析】 (1)设各项都为正数的等比数列 的公比为 ,则 ,
因为 , ,
3 3a = 1a 3a 9a { }na
na
1
n
n
b S
=
nb n nT 2nT <
1a 3a 9a
2
3 1 9a a a= ⋅
( )( )23 3 2 3 6d d= − +
1d = 0d =
( )3 3 1na a n n= + − ⋅ =
( ) ( )
1
1 1
2 2n
n n n nS na d
− += + × =
( )
1 2 1 121 1
= = = − + + n
n
b S n n n n
1 2
1 1 1 1 1 12 1 2 2 3 1n nT b b b n n
= + +⋅⋅⋅+ = − + − +⋅⋅⋅+ − +
12 1 21n
= − < +
{ }na 2 32a = 3 4 5 8a a a =
{ }na
2logn nb a= 1 2 3n nT b b b b= + + + + nT
{ }na q 0q >
2 32a = 3 4 5 8a a a =
所以 ,
解得 , ,
所以 ,
(2)由(1)知, ,
故 ,
当 时, ;
当 时, ,
故 .
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式、等比中项的性质、等差数列的前 项和公式、对数
运算等知识点,等差数列的前 项和公式为 ,考查计算能力,体现了
基础性与综合性,是中档题.
23.【2020 届辽宁省大连市高三双基测试数学】已知数列 满足: 是公比为2 的等
比数列, 是公差为 1 的等差数列.
(I)求 的值;
(Ⅱ)试求数列 的前 n 项和 .
【解析】(Ⅰ)方法一: 构成公比为 2 的等比数列
2 1
3 3 3
3 4 5 4 1
32
( ) 8
a a q
a a a a a q
= =
= = =
7
1 2a = 1
4q =
( )9 22 n
n na N− ∗= ∈
2
9 2
2log log 2 9 2n n
nb a n-= = = -
9 2 1 4
2 9 4n
n nb n n
− ≤ ≤= −
,
, >
1 4n≤ ≤ 27 9 2 82n
nT n n n+ -= ´ = -
4n > ( ) ( ) 21 2 97 5 3 1 4 8 322n
nT n n n+ += + + + + ´ - = - +
2
2
8 1 4
8 32, 4n
n n nT
n n n
− ≤ ≤= − + >
,
n
n 1
2n
na nS a+= ×
{ }na na
n
2
n
n
a
1 2,a a
{ }na nS
na
n
2 1 22 1
a a∴ = ×
2 14a a∴ =
又 构成公差为 1 的等差数列
,解得
方法二: 构成公比为 2 的等比数列,
.①
又 构成公差为 1 的等差数列,
②
由①②解得:
(Ⅱ)
两式作差可得:
,
.
24.【四川省泸县第一中学 2020 届高三三 诊模拟考试数学(文)试题】已知正项等比数列
的前 项和为 , , ,数列 满足 ,
2
n
n
a
2 1
2 1 12 2
a a∴ − = 1
2
2
8
a
a
=
=
na
n
11
1 2,
n
n
a
n
a
n
+∴ = 1
( 1)2n n
na an+
+∴ =
2
n
n
a
1
1 12 2
n n
n n
a a+
+∴ − =
2n
na n= ⋅
1
2
2
8
a
a
=
=
11 2 2 ,1
n nna a
n
−= ⋅ =
2n
na n∴ = ⋅
1 2 3n nS a a a a= + + +⋅⋅⋅+ 1 2 31 2 2 2 3 2 2nn= ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅
2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 2n
nS n +∴ = ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅
2 3 12 2 2 2 2n n
nS n +− = + + +⋅⋅⋅+ − ⋅
( ) 12 1 2
21 2n
n
nnS +
−
= − ⋅−−
1(1 ) 2 2n
n nS += ⋅− − −
1( 1) 2 2n
nS n +∴ = − ⋅ +
{ }nb n nS 3 4b = 3 7S = { }na ( )*
1 1n na a n n N+ − = + ∈
且 .
(I)求数列 的通项公式;
(II)求数列 的前 项和.
【解析】(Ⅰ)根据题意,设 的公比为 ,所以 解得
又 ,
所以
.
(Ⅱ)因为 ,
所 以
.
25.【2020 届江西省吉安市高三上学期期末数学】数列 的前 项和为 ,且满足 ,
.
(I)求 的通项公式;
(Ⅱ)若 ,数列 的前 项和为 ,求证: .
【解析】(I)当 时,由 , 得 ;
当 时, ,两式相减得 ,
即 ,又 ,
故 恒成立,
则数列 是公比为 的等比数列,可得 .
(Ⅱ)由(I)得 ,
1 1a b=
{ }na
1
na
n
{ }nb q
2
1
2
1 1 1
4,{
7,
b q
b b q b q
=
+ + =
1 1,{ 2.
b
q
=
=
1 1n na a n+ − = +
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 2 2 1 1n n n n na a a a a a a a a a− − −= − + − +…+ − + − +
( ) ( ) 211 2 1 2 2
n n n nn n
+ += + + +…+ + = =
2
1 2 1 12 1na n n n n
= = − + +
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 1 2 12 2 3 1 1 1 1n
n
a a a n n n n n n
+ + + = − + − +…+ − + − = − = − + + +
{ }na n nS 1 1a =
1 2 1n na S+ − =
{ }na
3logn nb a=
2 2 2
1
n nb b +
⋅
n nT 1
2nT <
1n = 1 1a = 2 12 1a a− = 2 3a =
2n ≥ 12 1n na S −− = ( )1 12 0n n n na a S S+ −− − − =
1 3n na a+ = ( 2)n ≥ 2 13 3a a= =
1 3n na a+ =
{ }na 3 13 −= n
na
3
1
3log log 3 1n
n nb a n−= = = −
则 ,
则
.
故
26.【2020 届重庆市第一中学高三上学期期末考试数学】已知数列 中, ,
, .
(1)求证:数列 是等比数列;
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】(1)证明:因为
所以 ,
又因为 ,则 ,
所以数列 是首项为 2,公比为 2 的等比数列.
(2)由(1)知 ,所以 ,
所以
2 2 2
1 1 1 1 1
(2 1) (2 1) 2 2 1 2 1n nb b n n n n+
= = − ⋅ − ⋅ + − +
1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1nT n n
= − + − + + − − +
1 112 2 1n
= − +
1 02 1n
>+
1 1 112 2 1 2n
∴ − < +
1
2nT <
{ }na 1 1a =
1 2 1n na a n+ = + − n nb a n= +
{ }nb
{ }na n nS
( )1 12 22
n
n
n nS + += − −
1 2 1,n n n na a n b a n+ = + − = +
( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 1 2 2n n n n nb a n a n n a n b+ += + + = + − + + = + =
1 1 1 2 0b a= + = ≠ 1 2n
n
b
b
+ =
{ }nb
2n
n na n b+ = = 2n
na n= −
( ) ( ) ( ) ( )2 32 1 2 2 2 3 2n
nS n= − + − + − +⋅⋅⋅+ −
( ) ( )2 32 2 2 2 1 2 3n n= + + +⋅⋅⋅+ − + + +⋅⋅⋅+
( ) ( ) ( )12 1 2 1 12 21 2 2 2
n
nn n n n+
− + += − = − −−
27.【河北省正定中学2019-2020 学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】已知点
是函数 的图象上一点,数列 的前 项和是
.
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ,求数列 的前 项和 .
【解析】 (1)把点 代入函数 得 ,所以
,
所以数列 的前 项和是 .
当 时, ;
当 时, ,
所以 ;
(2)由 , 得 ,所以
,①
.②
由①-②得: ,
所以 .
11, 2
( ) ( )0, 1xf x a a a= > ≠ { }na n
( ) 2nS f n= −
{ }na
( )1logn a nb a += − { }n na b⋅ n nT
11, 2
( ) ( )0, 1xf x a a a= > ≠ 1
2a =
( ) 1
2
x
f x =
{ }na n ( ) 12 22
n
nS f n = − = −
1n = 1 1
3
2a s= = −
2n ≥
1
1
1 1 1
2 2 2
n n n
n n na S S
−
−
= − = − = −
3 , 12
1 , 22
nn
n
a
n
− == − ≥
1
2a = ( )1logn a nb a += − +1nb n=
( )2 33 1 1 12 3 4 +12 2 2 2
n
nT n = − × − × − × −…− ⋅
( )3 4 +11 3 1 1 13 4 +12 2 2 2 2
n
nT n = − − × − × −…− ⋅
( )3 4
+1 3 3 1 1 1 1+ + + +12 2 4 2 2 2 2
n n
nT n
= − − − … ⋅
11 15+ ( +1) 2+2n
n n
T n
− = −
【点睛】
本题主要考查了 法求通项公式,即 ,运用错位相减法求和,
求和时应注意的问题(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)
在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出
“ ”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分
公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解,属于中档题.
28.【2020 届河南省郑州市高三第二次质量预测文科数学试题】已知数列 前 项和
为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)若数列 满足 ,求数列 的前 项和 .
【解析】(1)当 时, .
当 时, .
而 ,
所以数列 的通项公式为 .
(2)当 时, ,
当 时, ,
所以 ,
当 时, ,
当 时,
的
nS 1
1
( 1)
( 2)n
n n
S na S S n−
== − ≥
nS nqS
n nS qS−
{ }na n
nS 2 2 1nS n n= + −
{ }na
{ }nb ( )*
1
1
n
n n
b na a +
= ∈N { }nb n nT
1n = 1 1 2a S= =
2n ≥ ( )2 2
1 2 1 ( 1) 2( 1) 1 2 1n n na S S n n n n n− = − = + − − − + − − = +
1 2 2 1 1a = ≠ × +
{ }na 2, 1
2 1, 2n
na n n
== + ≥
1n = 1
1 2
1 1 1
2 5 10b a a
= = =×
2n ≥ 1 1 1 1
(2 1)(2 3) 2 2 1 2 3nb n n n n
= = − + + + +
1 , 110
1 1 1 . , 22 2 1 2 3
n
n
b
nn n
== − ≥ + +
1n = 1 1
1
10T b= =
2n ≥
.
又 ,
符合 ,
所以 .
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1
10 2 5 7 7 9 2 1 2 3n nT b b b b n n
= + + + + = + − + − + + − + +
1 1 1 1 4 1
10 2 5 2 3 20 30
n
n n
+ = + − = + +
1
1 4 1 1
10 20 1 30T
× += = × +
4 1
20 30n
nT n
+= +
4 1
20 30n
nT n
+= +
( )*Nn∈
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