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- 2021-06-23 发布
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高中数学必修一课时练习
1.已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线,有如下的x与f(x)的对应值表
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
132.1
15.4
-2.31
8.72
-6.31
-125.1
12.6
那么,函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A.5个 B.4个
C.3个 D.2个
解析:选C.观察对应值表可知,f(1)>0,f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,f(6)<0,f(7)>0,∴函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个,故选C.
2.设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( )
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2) D. 不能确定
解析:选B.由已知f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,
∴f(1.25)f(1.5)<0,因此方程的根落在区间(1.25,1.5)内,故选B.
3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点用二分法计算,附近的函数值参考数据如下:
f(1)=-2
f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984
f(1.375)=-0.260
f(1.4375)=0.162
f(1.40625)=-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为( )
A.1.25 B.1.375
C.1.4375 D.1.5
解析:选C.根据题意知函数的零点在1.40625至1.4375之间,因为此时|1.4375-1.40625|=0.03125<0.1,故方程的一个近似根可以是1.4375.
4.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点x0=2.5,那么下一个有根区间是________.
解析:设f(x)=x3-2x-5,∵f(2)=-1<0,f(3)=16>0,又f(2.5)=5.625>0,
∴f(2)·f(2.5)<0,因此,下一个有根区间是(2,2.5).
答案:(2,2.5)
1.定义在R上的奇函数f(x)( )
A.未必有零点
B.零点的个数为偶数
C.至少有一个零点
D.以上都不对
解析:选C.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,
∴f(x)至少有一个零点,且f(x)零点的个数为奇数.
2.下列函数零点不能用二分法求解的是( )
A.f(x)=x3-1 B.f(x)=lnx+3
C.f(x)=x2+2x+2 D.f(x)=-x2+4x-1
解析:选C.对于C,f(x)=(x+)2≥0,不能用二分法.
3.函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间( )
A.(,) B.(,)
C.(,1) D.(1,2)
解析:选C.f()=-<0,f()=-<0,
f()=-1<0,f(1)=1>0,f(2)=4>0,
∴函数零点落在区间(,1)上.
4.已知f(x)=-lnx在区间(1,2)内有一个零点x0,若用二分法求x0的近似值(精确度0.1),则需要将区间等分的次数为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析:选B.由求解方程近似解的步骤可知需将区间等分4次.
5.用二分法判断方程()x=x2的根的个数是( )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
解析:选C.设y1=()x,y2=x2,在同一坐标系下作图象(略)可知,它们有两个交点,∴方程()x=x2有两个根.故选C.
6.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( )
A.x1 B.x2
C.x3 D.x4
解析:选C.观察图象可知:点x3的附近两旁的函数值都为负值,∴点x3不能用二分法求,故选C.
7.若方程x3-x+1=0在区间(a,b)(a,b是整数,且b-a=1)上有一根,则a+b=________.
解析:设f(x)=x3-x+1,则f(-2)=-5<0,f(-1)=1>0可得a=-2,b=-1,∴a+b=-3.
答案:-3
8.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:
f(1.6000)=0.200
f(1.5875)=0.133
f(1.5750)=0.067
f(1.5625)=0.003
f(1.5562)=-0.029
f(1.5500)=-0.060
据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确到0.01)为________.
解析:注意到f(1.5562)=-0.029和f(1.5625)=0.003,显然f(1.5562)f(1.5625)<0,故区间的端点四舍五入可得1.56.
答案:1.56
9.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.6875)<0,即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1).
解析:因为|0.75-0.6875|=0.0625<0.1,
所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解.
答案:0.75或0.6875
10.利用二分法求方程x2-2=0的一个正根的近似值.(精确到0.1)
解:对于f(x)=x2-2,其图象在(-∞,+∞)上是连续不断的,∵f(1)·f(2)<0,∴f(x)=x2-2在(1,2)内有一个零点,即方程x2-2=0在(1,2)内有一个实数解,取(1,2)的中点1.5,
f(1.5)=1.52-2=0.25>0,又f(1)<0,所以方程在(1,1.5)内有解,如此下去,得方程x2-2=0,正实数解所在区间如下:
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 …
左端点 1 1 1.25 1.375 1.375 1.40625…
右端点 2 1.5 1.5 1.5 1.4375 1.4375…
∴方程的一个正根的近似值为1.4.
11.确定函数f(x)=logx+x-4的零点个数.
解:
设y1=logx,y2=4-x,则f(x)的零点个数,即y1与y2的交点个数,作出两函数图象如图.
由图知,y1与y2在区间(0,1)内有一个交点,
当x=4时,y1=-2,y2=0;
当x=8时,y1=-3,y2=-4,
∴在(4,8)内两曲线又有一个交点,
∴两曲线有两个交点,
即函数f(x)=logx+x-4有两个零点.
12.求的近似值(精确度0.01).
解:设x=,则x3-2=0.令f(x)=x3-2,则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值,以下用二分法求其零点的近似值.
由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.
用二分法逐步计算,列表如下:
区间
中点
中点函数近似值
[1,2]
1.5
1.375
[1,1.5]
1.25
-0.0469
[1.25,1.5]
1.375
0.5996
[1.25,1.375]
1.3125
0.2610
[1.25,1.3125]
1.28125
0.1033
[1.25,1.28125]
1.265625
0.0273
[1.25,1.265625]
1.2578125
-0.01
[1.2578125,1.265625]
区间[1.2578125,1.265625]的长度1.265625-1.2578125=0.0078125<0.01,所以这个区间的两个端点都可以作为函数f(x)零点的近似值,即的近似值可以是1.2578125或1.265625.
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