2020高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系12 面面垂直的性质习题 苏教版必修2 5页

面面垂直的性质 ‎（答题时间：40分钟）‎ ‎*1. 空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是________。‎ ‎**2. 已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，D为垂足，以AD为折痕，将△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，如图所示，有下列结论：‎ ‎①BD⊥CD；②BD⊥AC；③AD⊥平面BCD；④△ABC是等边三角形。其中正确结论的个数为________个。‎ ‎*3. 已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是________。‎ ‎①AB∥m　②AC⊥m　③AB∥β　④AC⊥β ‎**4. 如图所示，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：‎ ‎①AC⊥BD； ②△ACD是等边三角形；‎ ‎③AB与平面BCD成60°的角； ④AB与CD所成的角是60°；‎ 其中正确结论的个数是________个。‎ ‎*5. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；②若m∥α，m⊥β，则α⊥β；‎ ‎③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ；④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β；‎ 上面命题中，真命题的序号是________。‎ ‎*6. 设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么，下列结论正确的是________。‎ ‎①a与b可能垂直，但不可能平行；②a与b可能垂直，也可能平行；‎ ‎③a与b不可能垂直，但可能平行；④a与b不可能垂直，也不可能平行。‎ ‎**7. 已知：如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足。‎ ‎（1）求证：PA⊥平面ABC；‎ ‎（2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形。‎ ‎**8. 如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB 5‎ 以AB为轴转动。‎ ‎（1）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；‎ ‎（2）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论。‎ ‎***9. 已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小。‎ 5‎ ‎1. 直角三角形 解析：如图所示，连接BD，作AE⊥BD于点E，因平面ABD⊥平面BCD，易知AE⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，所以BC⊥AE；‎ 又因AD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，‎ 所以BC⊥AD，AE∩AD＝A，所以BC⊥平面ABD，AB⊂平面ABD，则BC⊥AB，所以△ABC为直角三角形。‎ ‎2. 4 解析：①正确，因∠BDC为二面角B－AD－C的平面角，由题意知∠BDC＝90°，所以BD⊥CD；②正确，易知BD⊥平面ACD，所以BD⊥AC；③正确，因折叠后仍有AD⊥BD，AD⊥DC，易知AD⊥平面BCD；④正确，因AD＝BD＝DC，且以D为顶点的三个角都是直角，由勾股定理知AB＝BC＝AC，即△ABC为等边三角形。‎ ‎3. ④‎ 解析：如图所示，AB∥l∥m，故①成立；‎ AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m，故②成立；AB∥l⇒AB∥β，故③成立，故选④。‎ ‎4. 3 解析：设BD的中点为E，连接AE，CE，易证BD⊥平面AEC，AC⊂平面AEC，所以AC⊥BD，故①正确；由于AE＝CE＝ED，易知AC＝AD＝CD，故②正确；‎ 由AE⊥平面BCD，∠ABE为AB与平面BCD所成的角，所以∠ABE＝45°，故③错误；如图所示，设AC，AD的中点分别为G，F，连接EF，EG，GF，‎ 因EF∥AB，GF∥CD，则∠EFG为AB与CD所成的角，设AB＝1，‎ 在Rt△AEC中，EG＝AC，AC＝＝＝1，‎ 所以EG＝＝EF＝FG，所以△EFG为等边三角形，故④正确。‎ ‎5. ② 解析：逐一将假命题排除即可得出正确答案。①错，当m⊂α时，则m⊥α为假命题；②对，当m∥α，m⊥β，则有m∥n，n⊂α且n⊥β，所以α⊥β；③错，由α⊥β，α⊥γ，β与γ垂直没有传递性，则β⊥γ为假命题；④错，由α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n得α∥β或者α与β相交；所以真命题的序号是②。‎ ‎6. ③ 解析：由题意，当a∥l，l∥b时，a∥b；故①，④错；‎ 若a⊥b，∵b与l不垂直，在b上取点A，过A作AB⊥l，‎ 由面面垂直的性质定理得AB⊥α，‎ 5‎ ‎∵a⊂α，∴AB⊥a，又a⊥b，AB∩b＝A，‎ ‎∴a⊥β⇒a⊥l，这和a与l不垂直相矛盾，‎ ‎∴不可能a⊥b，故②错，③正确。‎ ‎7. 证明：（1）在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.‎ ‎∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，‎ ‎∴DF⊥平面PAC，‎ ‎∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA，‎ 同理可证，DG⊥PA，‎ ‎∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC；‎ ‎（2）连接BE并延长交PC于点H，‎ ‎∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH，‎ 又∵AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE。‎ ‎∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，‎ ‎∴PC⊥AB，‎ 又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，‎ ‎∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC，‎ ‎∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形。‎ ‎8. 解：（1）取AB的中点E，连接DE，CE，‎ ‎∵△ADB是等边三角形，∴DE⊥AB，‎ 当平面ADB⊥平面ABC时，‎ ‎∵平面ADB∩平面ABC＝AB，‎ ‎∴DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，‎ 由已知可得DE＝，EC＝1，‎ 在Rt△DEC中，CD＝＝2；‎ ‎（2）当△ADB以AB为轴转动时，‎ 总有AB⊥CD，证明如下：‎ ‎①当D在平面ABC内时，∵AC＝BC，AD＝BD，‎ ‎∴C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD。‎ ‎②当D不在平面ABC内时，由（1）知AB⊥DE，‎ 又∵AC＝BC，∴AB⊥CE，‎ 又DE，CE为相交直线，∴AB⊥平面CDE，‎ 由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD，‎ 综上所述，总有AB⊥CD。‎ 5‎ ‎9. 解：如图所示，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，‎ ‎∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC，‎ 又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD，‎ 而AD⊂平面AOD，∴AD⊥BC，‎ ‎∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角，‎ 由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α，知AO⊥OB，AO⊥OC，‎ 又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，‎ ‎∴设AO＝a，则AC＝，AB＝‎2a，‎ 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，‎ ‎∴BC＝，‎ ‎∴AD＝＝＝，‎ 在Rt△AOD中，sin∠ADO＝＝，‎ ‎∴∠ADO＝60°，即二面角A－BC－O的大小是60°。‎ 5‎