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- 2021-06-23 发布
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第2课时 范围、最值问题
题型一 范围问题
例1 (2015·天津)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.
(1)求直线FM的斜率;
(2)求椭圆的方程;
(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.
解 (1)由已知,有=,
又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.
设直线FM的斜率为k(k>0),F(-c,0),则直线FM的方程为y=k(x+c).
由已知,有2+2=2,
解得k=.
(2)由(1)得椭圆方程为+=1,直线FM的方程为y=(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c或x=c.
因为点M在第一象限,可得M的坐标为.
由|FM|= =.
解得c=1,所以椭圆的方程为+=1.
(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,
得t=,即直线FP的方程为y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立,
消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6,
又由已知,得t= >,
解得-<x<-1或-1<x<0.
设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理得m2=-.
①当x∈时,有y=t(x+1)<0,
因此m>0,于是m= ,得m∈.
②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0.
因此m<0,于是m=- ,
得m∈.
综上,直线OP的斜率的取值范围是∪.
思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
(2016·黄冈模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)与双曲线-y2=1的离心率互为倒数,且直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M,N两点,且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,求△OMN面积的取值范围.
解 (1)∵双曲线的离心率为,
∴椭圆的离心率e==.
又∵直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点,
∴右顶点为(2,0),即a=2,c=,b=1,
∴椭圆方程为+y2=1.
(2)由题意可设直线的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),
M(x1,y1),N(x2,y2).
联立
消去y,并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
则x1+x2=-,x1x2=,
于是y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.
又直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,
故·=
=k2⇒-+m2=0.
由m≠0得k2=,解得k=±.
又由Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)
=16(4k2-m2+1)>0,得00)过点F(0,1),圆心M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)设P为直线l:x-y-2=0上的点,过点P作曲线C的两条切线PA,PB,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.
解 (1)依题意,由圆过定点F可知轨迹C的方程为x2=4y.
(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y′=x.
设A(x1,y1),B(x2,y2)(其中y1=,y2=),
则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,
所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),
即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.
同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.
因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),
所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,
所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.
所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.
(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,
联立方程消去x整理得y2+(2y0-x)y+y=0,
由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=x-2y0,y1y2=y,
所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1.
又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2,
所以y+x-2y0+1=2y+2y0+5=2(y0+)2+,
所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.
1.(2016·昆明两区七校调研)过抛物线y2=x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,且直线l的倾斜角θ≥,点A在x轴上方,则|FA|的取值范围是( )
A.(,1] B.(,+∞)
C.(,+∞) D.(,1+]
答案 D
解析 记点A的横坐标是x1,则有|AF|=x1+=(+|AF|cos θ)+=+|AF|cos θ,
|AF|(1-cos θ)=,|AF|=.
由≤θ<π得-10,b>0)的左,右焦点,对于左支上任意一点P都有|PF2|2=8a|PF1|(a为实半轴长),则此双曲线的离心率e的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(2,3]
C.(1,3] D.(1,2]
答案 C
解析 由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义,
得|PF2|=2a+|PF1|,所以=|PF1|++4a=8a,
所以|PF1|=2a,|PF2|=4a,
在△PF1F2中,|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,
即2a+4a≥2c,所以e=≤3.
又e>1,所以10得m+2>2,<,->-,
∴1->,即e>,而00,b>0).
由已知得a=,c=2,
又a2+b2=c2,得b2=1,
∴双曲线C的方程为-y2=1.
(2)联立
整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点,
∴
可得m2>3k2-1且k2≠,①
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为B(x0,y0),
则x1+x2=,∴x0==,
∴y0=kx0+m=.
由题意,AB⊥MN,
∴kAB==-(k≠0,m≠0).
整理得3k2=4m+1,②
将②代入①,得m2-4m>0,∴m<0或m>4.
又3k2=4m+1>0(k≠0),即m>-.
∴m的取值范围是∪(4,+∞).
8.已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设点P在抛物线C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在点P处的切线与C1交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值.
解 (1)由题意,得从而
因此,所求的椭圆C1的方程为+x2=1.
(2)如图,设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2+h),
则抛物线C2在点P处的切线斜率为y′.
直线MN的方程为
y=2tx-t2+h.
将上式代入椭圆C1的方程中,得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,
即4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.①
因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点,
所以①式中的Δ1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0.②
设线段MN的中点的横坐标是x3,
则x3==.
设线段PA的中点的横坐标是x4,则x4=.
由题意,得x3=x4,
即t2+(1+h)t+1=0.③
由③式中的Δ2=(1+h)2-4≥0,得h≥1或h≤-3.
当h≤-3时,h+2<0,4-h2<0,
则不等式②不成立,所以h≥1.
当h=1时,代入方程③得t=-1,
将h=1,t=-1代入不等式②,检验成立.
所以,h的最小值为1.
9.如图,O为坐标原点,椭圆C1:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,离心率为e1;双曲线C2:-=1的左,右焦点分别为F3,F4,离心率为e2.已知e1e2=,且|F2F4|=-1.
(1)求C1,C2的方程;
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.
解 (1)因为e1e2=,所以 ·=,即a4-b4=a4,因此a2=2b2,从而F2(b,0),F4(b,0),于是b-b=|F2F4|=-1,所以b=1,a2=2.
故C1,C2的方程分别为+y2=1,-y2=1.
(2)因为AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),
故可设直线AB的方程为x=my-1.
由得(m2+2)y2-2my-1=0.
易知此方程的判别式大于0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1,y2是上述方程的两个实根,
所以y1+y2=,y1y2=.
因此x1+x2=m(y1+y2)-2=,
于是AB的中点为M(,),
故直线PQ的斜率为-,PQ的方程为y=-x,
即mx+2y=0.
由得(2-m2)x2=4,
所以2-m2>0,且x2=,y2=,
从而|PQ|=2=2.
设点A到直线PQ的距离为d,
则点B到直线PQ的距离也为d,
所以2d=.
因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,
所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,
于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|
=|mx1+2y1-mx2-2y2|,
从而2d=.
又因为|y1-y2|=
=,
所以2d=.
故四边形APBQ的面积S=|PQ|·2d
==2·.
而0<2-m2≤2,故当m=0时,S取得最小值2.
综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2.
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