• 204.10 KB
  • 2021-06-23 发布

高考数学专题复习练习:第九章 9_9 第二课时范围、最值问题

  • 13页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
第2课时 范围、最值问题 题型一 范围问题 例1 (2015·天津)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.‎ ‎(1)求直线FM的斜率;‎ ‎(2)求椭圆的方程;‎ ‎(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.‎ 解 (1)由已知,有=,‎ 又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.‎ 设直线FM的斜率为k(k>0),F(-c,0),则直线FM的方程为y=k(x+c).‎ 由已知,有2+2=2,‎ 解得k=.‎ ‎(2)由(1)得椭圆方程为+=1,直线FM的方程为y=(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c或x=c.‎ 因为点M在第一象限,可得M的坐标为.‎ 由|FM|= =.‎ 解得c=1,所以椭圆的方程为+=1.‎ ‎(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,‎ 得t=,即直线FP的方程为y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立,‎ 消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6,‎ 又由已知,得t= >,‎ 解得-<x<-1或-1<x<0.‎ 设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理得m2=-.‎ ‎①当x∈时,有y=t(x+1)<0,‎ 因此m>0,于是m= ,得m∈.‎ ‎②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0.‎ 因此m<0,于是m=- ,‎ 得m∈.‎ 综上,直线OP的斜率的取值范围是∪.‎ 思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 ‎(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;‎ ‎(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;‎ ‎(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;‎ ‎(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;‎ ‎(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.‎ ‎ (2016·黄冈模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)与双曲线-y2=1的离心率互为倒数,且直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M,N两点,且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,求△OMN面积的取值范围.‎ 解 (1)∵双曲线的离心率为,‎ ‎∴椭圆的离心率e==.‎ 又∵直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点,‎ ‎∴右顶点为(2,0),即a=2,c=,b=1,‎ ‎∴椭圆方程为+y2=1.‎ ‎(2)由题意可设直线的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),‎ M(x1,y1),N(x2,y2).‎ 联立 消去y,并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,‎ 则x1+x2=-,x1x2=,‎ 于是y1y2=(kx1+m)(kx2+m)‎ ‎=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.‎ 又直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,‎ 故·= ‎=k2⇒-+m2=0.‎ 由m≠0得k2=,解得k=±.‎ 又由Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)‎ ‎=16(4k2-m2+1)>0,得00)过点F(0,1),圆心M的轨迹为C.‎ ‎(1)求轨迹C的方程;‎ ‎(2)设P为直线l:x-y-2=0上的点,过点P作曲线C的两条切线PA,PB,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;‎ ‎(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.‎ 解 (1)依题意,由圆过定点F可知轨迹C的方程为x2=4y.‎ ‎(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y′=x.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2)(其中y1=,y2=),‎ 则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,‎ 所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),‎ 即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.‎ 同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.‎ 因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),‎ 所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,‎ 所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.‎ 所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.‎ ‎(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,‎ 所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,‎ 联立方程消去x整理得y2+(2y0-x)y+y=0,‎ 由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=x-2y0,y1y2=y,‎ 所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1.‎ 又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2,‎ 所以y+x-2y0+1=2y+2y0+5=2(y0+)2+,‎ 所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.‎ ‎1.(2016·昆明两区七校调研)过抛物线y2=x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,且直线l的倾斜角θ≥,点A在x轴上方,则|FA|的取值范围是(  )‎ A.(,1] B.(,+∞)‎ C.(,+∞) D.(,1+]‎ 答案 D 解析 记点A的横坐标是x1,则有|AF|=x1+=(+|AF|cos θ)+=+|AF|cos θ,‎ ‎|AF|(1-cos θ)=,|AF|=.‎ 由≤θ<π得-10,b>0)的左,右焦点,对于左支上任意一点P都有|PF2|2=8a|PF1|(a为实半轴长),则此双曲线的离心率e的取值范围是(  )‎ A.(1,+∞) B.(2,3]‎ C.(1,3] D.(1,2]‎ 答案 C 解析 由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义,‎ 得|PF2|=2a+|PF1|,所以=|PF1|++4a=8a,‎ 所以|PF1|=2a,|PF2|=4a,‎ 在△PF1F2中,|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,‎ 即2a+4a≥2c,所以e=≤3.‎ 又e>1,所以10得m+2>2,<,->-,‎ ‎∴1->,即e>,而00,b>0).‎ 由已知得a=,c=2,‎ 又a2+b2=c2,得b2=1,‎ ‎∴双曲线C的方程为-y2=1.‎ ‎(2)联立 整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0.‎ ‎∵直线与双曲线有两个不同的交点,‎ ‎∴ 可得m2>3k2-1且k2≠,①‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为B(x0,y0),‎ 则x1+x2=,∴x0==,‎ ‎∴y0=kx0+m=.‎ 由题意,AB⊥MN,‎ ‎∴kAB==-(k≠0,m≠0).‎ 整理得3k2=4m+1,②‎ 将②代入①,得m2-4m>0,∴m<0或m>4.‎ 又3k2=4m+1>0(k≠0),即m>-.‎ ‎∴m的取值范围是∪(4,+∞).‎ ‎8.已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.‎ ‎(1)求椭圆C1的方程;‎ ‎(2)设点P在抛物线C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在点P处的切线与C1交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值.‎ 解 (1)由题意,得从而 因此,所求的椭圆C1的方程为+x2=1.‎ ‎(2)如图,设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2+h),‎ 则抛物线C2在点P处的切线斜率为y′.‎ 直线MN的方程为 y=2tx-t2+h.‎ 将上式代入椭圆C1的方程中,得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,‎ 即4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.①‎ 因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点,‎ 所以①式中的Δ1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0.②‎ 设线段MN的中点的横坐标是x3,‎ 则x3==.‎ 设线段PA的中点的横坐标是x4,则x4=.‎ 由题意,得x3=x4,‎ 即t2+(1+h)t+1=0.③‎ 由③式中的Δ2=(1+h)2-4≥0,得h≥1或h≤-3.‎ 当h≤-3时,h+2<0,4-h2<0,‎ 则不等式②不成立,所以h≥1.‎ 当h=1时,代入方程③得t=-1,‎ 将h=1,t=-1代入不等式②,检验成立.‎ 所以,h的最小值为1.‎ ‎9.如图,O为坐标原点,椭圆C1:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,离心率为e1;双曲线C2:-=1的左,右焦点分别为F3,F4,离心率为e2.已知e1e2=,且|F2F4|=-1.‎ ‎(1)求C1,C2的方程;‎ ‎(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.‎ 解 (1)因为e1e2=,所以 ·=,即a4-b4=a4,因此a2=2b2,从而F2(b,0),F4(b,0),于是b-b=|F2F4|=-1,所以b=1,a2=2.‎ 故C1,C2的方程分别为+y2=1,-y2=1.‎ ‎(2)因为AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),‎ 故可设直线AB的方程为x=my-1.‎ 由得(m2+2)y2-2my-1=0.‎ 易知此方程的判别式大于0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则y1,y2是上述方程的两个实根,‎ 所以y1+y2=,y1y2=.‎ 因此x1+x2=m(y1+y2)-2=,‎ 于是AB的中点为M(,),‎ 故直线PQ的斜率为-,PQ的方程为y=-x,‎ 即mx+2y=0.‎ 由得(2-m2)x2=4,‎ 所以2-m2>0,且x2=,y2=,‎ 从而|PQ|=2=2.‎ 设点A到直线PQ的距离为d,‎ 则点B到直线PQ的距离也为d,‎ 所以2d=.‎ 因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,‎ 所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,‎ 于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|‎ ‎=|mx1+2y1-mx2-2y2|,‎ 从而2d=.‎ 又因为|y1-y2|= ‎=,‎ 所以2d=.‎ 故四边形APBQ的面积S=|PQ|·2d ‎==2·.‎ 而0<2-m2≤2,故当m=0时,S取得最小值2.‎ 综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2.‎