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- 2021-06-23 发布
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1.抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y=0
x=0
焦点
F
F
F
F
离心率
e=1
准线方程
x=-
x=
y=-
y=
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
【知识拓展】
1.抛物线y2=2px (p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F的距离|PF|=x0+,也称为抛物线的焦半径.
2.y2=ax的焦点坐标为,准线方程为x=-.
3.设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,
若A(x1,y1),B(x2,y2),则
(1)x1x2=,y1y2=-p2.
(2)弦长|AB|=x1+x2+p=(α为弦AB的倾斜角).
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切.
(4)通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × )
(2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是(,0),准线方程是x=-.( × )
(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( × )
(4)AB为抛物线y2=2px(p>0)的过焦点F(,0)的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.( √ )
1.(2016·四川)抛物线y2=4x的焦点坐标是( )
A.(0,2) B.(0,1)
C.(2,0) D.(1,0)
答案 D
解析 ∵对于抛物线y2=ax,其焦点坐标为,
∴对于y2=4x,焦点坐标为(1,0).
2.(2016·甘肃张掖一诊)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于( )
A.9 B.8 C.7 D.6
答案 B
解析 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.
3.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
A. B.[-2,2]
C.[-1,1] D.[-4,4]
答案 C
解析 Q(-2,0),设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,
由Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,
解得-1≤k≤1.
4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为________________.
答案 y2=-8x或x2=-y
解析 设抛物线方程为y2=2px(p≠0)或x2=2py(p≠0).将P(-2,-4)代入,分别得方程为y2=-8x或x2=-y.
5.(2017·合肥调研)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为________.
答案 2
解析 抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-,
圆x2+y2-6x-7=0,即(x-3)2+y2=16,
则圆心为(3,0),半径为4.
又因为抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,所以3+=4,
解得p=2.
题型一 抛物线的定义及应用
例1 设P是抛物线y2=4x上的一个动点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为________.
答案 4
解析 如图,
过点B作BQ垂直准线于点Q,
交抛物线于点P1,
则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.
即|PB|+|PF|的最小值为4.
引申探究
1.若将本例中的B点坐标改为(3,4),试求|PB|+|PF|的最小值.
解 由题意可知点(3,4)在抛物线的外部.
∵|PB|+|PF|的最小值即为B,F两点间的距离,
∴|PB|+|PF|≥|BF|=
==2,
即|PB|+|PF|的最小值为2.
2.若将本例中的条件改为:已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+5=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,求d1+d2的最小值.
解 由题意知,抛物线的焦点为F(1,0).
点P到y轴的距离d1=|PF|-1,
所以d1+d2=d2+|PF|-1.
易知d2+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d2+|PF|的最小值为=3,
所以d1+d2的最小值为3-1.
思维升华 与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
设P是抛物线y2=4x上的一个动点,则点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值为________.
答案
解析 如图,
易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=-1,
由抛物线的定义知:点P到直线x=-1的距离等于点P到F的距离.
于是,问题转化为在抛物线上求一点P,
使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小,
显然,连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点,
此时最小值为=.
题型二 抛物线的标准方程和几何性质
命题点1 求抛物线的标准方程
例2 已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为( )
A.x2=y B.x2=y
C.x2=8y D.x2=16y
答案 D
解析 ∵-=1的离心率为2,
∴=2,即==4,∴=3,=.
x2=2py(p>0)的焦点坐标为,-=1的渐近线方程为y=±x,即y=±x.由题意得=2,∴p=8.故C2的方程为x2=16y.
命题点2 抛物线的几何性质
例3 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点,求证:
(1)y1y2=-p2,x1x2=;
(2)+为定值;
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(,0).
由题意可设直线方程为x=my+,代入y2=2px,
得y2=2p,即y2-2pmy-p2=0.(*)
则y1,y2是方程(*)的两个实数根,所以y1y2=-p2.
因为y=2px1,y=2px2,所以yy=4p2x1x2,
所以x1x2===.
(2)+=+
=.
因为x1x2=,x1+x2=|AB|-p,代入上式,
得+==(定值).
(3) 设AB的中点为M(x0,y0),分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,过M作准线的垂线,垂足为N,则|MN|=(|AC|+|BD|)=(|AF|+|BF|)=|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
(1)(2016·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
(2)(2016·昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A、B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为( )
A. B.1 C. D.2
答案 (1)B (2)A
解析 (1)不妨设抛物线C:y2=2px(p>0),则圆的方程可设为x2+y2=r2(r>0),如图,
又可设A(x0,2),
D,
点A(x0,2)在抛物线y2=2px上,∴8=2px0,①
点A(x0,2)在圆x2+y2=r2上,∴x+8=r2,②
点D在圆x2+y2=r2上,
∴5+2=r2,③
联立①②③,解得p=4,即C的焦点到准线的距离为p=4,故选B.
(2)设|AF|=a,|BF|=b,分别过A、B作准线的垂线,垂足分别为Q、P,
由抛物线的定义知,|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,
在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.
|AB|2=a2+b2-2abcos 120°=a2+b2+ab=(a+b)2-ab.
又ab≤()2,
所以(a+b)2-ab≥(a+b)2-(a+b)2=(a+b)2,
得到|AB|≥(a+b),
所以≤=,
即的最大值为.
题型三 直线与抛物线的综合问题
命题点1 直线与抛物线的交点问题
例4 已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点.若·=0,则k=________.
答案 2
解析 抛物线C的焦点为F(2,0),则直线方程为y=k(x-2),与抛物线方程联立,消去y
化简得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2).
则x1+x2=4+,x1x2=4.
所以y1+y2=k(x1+x2)-4k=,
y1y2=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-16.
因为·=(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=x1x2+2(x1+x2)+y1y2-2(y1+y2)+8=0,
将上面各个量代入,化简得k2-4k+4=0,所以k=2.
命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题
例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
(1)证明 由题意知,F,设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,
且A,B,P,Q,
R.
记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.
由于F在线段AB上,故1+ab=0.
记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1====-=-b==k2.
所以AR∥FQ.
(2)解 设过AB的直线为l,设l与x轴的交点为D(x1,0),
则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,
S△PQF=.
由题意可得|b-a|=,所以x1=1,x1=0(舍去).
设满足条件的AB的中点为E(x,y).
当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得=(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).
当AB与x轴垂直时,E与D重合,此时E点坐标为(1,0),
所以,所求轨迹方程为y2=x-1(x≠1).
思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.
(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
(2017·北京东城区质检)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.
解 (1)设Q(x0,4),代入y2=2px,得x0=.
所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.
由题设得+=×,
解得p=-2(舍去)或p=2.
所以C的方程为y2=4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直,
故可设l的方程为x=my+1(m≠0).
代入y2=4x,得y2-4my-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.
故AB的中点为D(2m2+1,2m),
|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).
又l′的斜率为-m,所以l′的方程为x=-y+2m2+3.
将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.
设M(x3,y3),N(x4,y4),
则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).
故MN的中点为E(+2m2+3,-),
|MN|= |y3-y4|=,
由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,
从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,
即4(m2+1)2+(2m+)2+(+2)2
=,
化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.
所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
7.直线与圆锥曲线问题的求解策略
典例 (12分)已知抛物线C:y=mx2(m>0),焦点为F,直线2x-y+2=0交抛物线C于A,B两点,P是线段AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.
(1)求抛物线C的焦点坐标;
(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3,求此时m的值;
(3)是否存在实数m,使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
思维点拨 (3)中证明·=0.
解 (1)∵抛物线C:x2=y,∴它的焦点F(0,).[2分]
(2)∵|RF|=yR+,∴2+=3,得m=.[4分]
(3)存在,联立方程
消去y得mx2-2x-2=0,
依题意,有Δ=(-2)2-4×m×(-2)>0⇒m>-.[6分]
设A(x1,mx),B(x2,mx),则(*)
∵P是线段AB的中点,∴P(,),
即P(,yP),∴Q(,).[8分]
得=(x1-,mx-),=(x2-,mx-),
若存在实数m,使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形,则·=0,
即(x1-)·(x2-)+(mx-)(mx-)=0,[10分]
结合(*)化简得--+4=0,
即2m2-3m-2=0,∴m=2或m=-,
而2∈(-,+∞),-∉(-,+∞).
∴存在实数m=2,使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形.[12分]
解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤:
第一步:联立方程,得关于x或y的一元二次方程;
第二步:写出根与系数的关系,并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点);
第三步:根据题目要求列出关于x1x2,x1+x2(或 y1y2,y1+y2)的关系式,求得结果;
第四步:反思回顾,查看有无忽略特殊情况.
1.(2017·昆明调研)已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过F的直线与抛物线C交于A、B两点,如果·=-12,那么抛物线C的方程为( )
A.x2=8y B.x2=4y
C.y2=8x D.y2=4x
答案 C
解析 由题意,设抛物线方程为y2=2px(p>0),直线方程为x=my+,
联立消去x得y2-2pmy-p2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=-p2,
得·=x1x2+y1y2=(my1+)(my2+)+y1y2=m2y1y2+(y1+y2)++y1y2=-p2=-12⇒p=4,
即抛物线C的方程为y2=8x.
2.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB
的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2
答案 B
解析 ∵y2=2px(p>0)的焦点坐标为(,0),
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,
即x=y+,将其代入y2=2px,得y2=2py+p2,
即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=2p,∴=p=2,
∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
3.(2016·上饶四校联考)设抛物线C:y2=3px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为( )
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
答案 C
解析 ∵抛物线C:y2=3px(p>0)的焦点为F(,0),
∴|OF|=,
∵以MF为直径的圆过点(0,2),设A(0,2),连接AF,AM,可得AF⊥AM,在Rt△AOF中,|AF|= ,
∴sin∠OAF==,
根据抛物线的定义,得直线AO切以MF为直径的圆于点A,
∴∠OAF=∠AMF,可得在Rt△AMF中,sin∠AMF==,
∵|MF|=5,|AF|= ,
∴ =,
整理得4+=,解得p=或p=,
∴C的方程为y2=4x或y2=16x.
4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则的值一定等于( )
A.-4 B.4 C.p2 D.-p2
答案 A
解析 ①若焦点弦AB⊥x轴,
则x1=x2=,∴x1x2=;
∴y1=p,y2=-p,∴y1y2=-p2,
∴=-4.
②若焦点弦AB不垂直于x轴,
可设AB的直线方程为y=k(x-),
联立y2=2px,得k2x2-(k2p+2p)x+=0,
则x1x2=.
∴y1y2=-p2.故=-4.
5.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )
A.y2=9x
B.y2=6x
C.y2=3x
D.y2=x
答案 C
解析 如图,
分别过A、B作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,由抛物线的定义知:|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,∵|BC|=2|BF|,
∴|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°,连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过F作FF1⊥AA1于F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于K,则|KF|=|A1F1|=|AA1|=|AF|,即p=,∴抛物线方程为y2=3x.故选C.
6.抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,若点A(-1,0),则的最小值是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,
如图,
过P作PN垂直直线x=-1于N,
由抛物线的定义可知|PF|=|PN|,连接PA,
在Rt△PAN中,sin∠PAN=,
当=最小时,sin∠PAN最小,
即∠PAN最小,即∠PAF最大,
此时,PA为抛物线的切线,设PA的方程为y=k(x+1),
联立得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
所以Δ=(2k2-4)2-4k4=0,
解得k=±1,所以∠PAF=∠NPA=45°,
==cos∠NPA=,故选B.
7.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=________.
答案 12
解析 焦点F的坐标为,
方法一 直线AB的斜率为,
所以直线AB的方程为y=,
即y=x-,代入y2=3x,得x2-x+=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,
所以|AB|=x1+x2+p=+=12.
方法二 由抛物线焦点弦的性质可得
|AB|===12.
8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若=,则p=________.
答案 2
解析 如图,
由AB的斜率为,
知∠α=60°,又=,
∴M为AB的中点.
过点B作BP垂直准线l于点P,
则∠ABP=60°,∴∠BAP=30°,
∴|BP|=|AB|=|BM|.
∴M为焦点,即=1,∴p=2.
9.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A
,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=________.
答案 6
解析 抛物线y2=8x的焦点为(2,0),
准线方程为x=-2.
设椭圆方程为+=1(a>b>0),
由题意,c=2,=,
可得a=4,b2=16-4=12.
故椭圆方程为+=1.
把x=-2代入椭圆方程,解得y=±3.
从而|AB|=6.
*10.设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是________________.
答案 (2,4)
解析 如图,
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
则
两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).
当l的斜率k不存在时,符合条件的直线l必有两条.
当k存在时,x1≠x2,
则有·=2,
又y1+y2=2y0,所以y0k=2.
由CM⊥AB,得k·=-1,
即y0k=5-x0,因此2=5-x0,x0=3,
即M必在直线x=3上.将x=3代入y2=4x,
得y2=12,则有-24(为保证有4条,在k存在时,y0≠0),
所以40)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)上相异两点,P,Q到y轴的距离的积为4,且·=0.
(1)求该抛物线的标准方程;
(2)过点Q的直线与抛物线的另一交点为R,与x轴的交点为T,且Q为线段RT的中点,试求弦PR长度的最小值.
解 (1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
∵·=0,则x1x2+y1y2=0.
又点P,Q在抛物线上,∴y=2px1,y=2px2,
代入得·+y1y2=0,
y1y2=-4p2,∴|x1x2|==4p2.
又|x1x2|=4,
∴4p2=4,p=1,
∴抛物线的标准方程为y2=2x.
(2)设直线PQ过点E(a,0)且方程为x=my+a,
联立方程组
消去x得y2-2my-2a=0,
∴①
设直线PR与x轴交于点M(b,0),
则可设直线PR的方程为x=ny+b,
并设R(x3,y3),同理可知,
②
由①②可得=.
由题意得,Q为线段RT的中点,
∴y3=2y2,∴b=2a.
又由(1)知,y1y2=-4,代入①,
可得-2a=-4,∴a=2,
∴b=4,y1y3=-8,
∴|PR|=|y1-y3|
=·
=2·≥4.
当n=0,即直线PR垂直于x轴时,
|PR|取最小值4.
*13.如图,由部分抛物线:y2=mx+1(m>0,x≥0)和半圆x2+y2=r2(x≤0)所组成的曲线称为“
黄金抛物线C”,若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和(-,).
(1)求“黄金抛物线C”的方程;
(2)设P(0,1)和Q(0,-1),过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A,P,B三点,问是否存在这样的直线l,使
得QP平分∠AQB?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
解 (1)∵“黄金抛物线C”过点(3,2)和(-,),
∴r2=(-)2+()2=1,4=3m+1,∴m=1.
∴“黄金抛物线C”的方程为y2=x+1(x≥0)和x2+y2=1(x≤0).
(2)假设存在这样的直线l,使得QP平分∠AQB,显然直线l的斜率存在且不为0,
设直线l:y=kx+1,联立消去y,
得k2x2+(2k-1)x=0,∴xB=,yB=,
即B(,),
∴kBQ=,
联立消去y,得(k2+1)x2+2kx=0,
∴xA=-,yA=,即A(-,),
∴kAQ=-,
∵QP平分∠AQB,∴kAQ+kBQ=0,
∴-=0,解得k=-1±,
由图形可得k=-1-应舍去,∴k=-1,
∴存在直线l:y=(-1)x+1,使得QP平分∠AQB.