高考数学专题复习练习：第十四章 14_1 第1课时坐标系 8页

第1课时　坐标系 ‎1．平面直角坐标系 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．‎ ‎2．极坐标系 ‎(1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．‎ ‎(2)极坐标与直角坐标的互化 设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：‎ 或.‎ 这就是极坐标与直角坐标的互化公式．‎ ‎3．常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π)‎ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos_θ(－≤θ<)‎ 圆心为(r，)，半径为r的圆 ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π)‎ 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)‎ 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a(－<θ<)‎ 过点(a，)，与极轴平行的直线 ρsin_θ＝a(0<θ<π)‎ ‎1．(2016·北京西城区模拟)求在极坐标系中，过点(2，)且与极轴平行的直线方程．‎ 解　点(2，)在直角坐标系下的坐标为 ‎(2cos ，2sin )，即(0,2)．‎ ‎∴过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y＝2.‎ 即为ρsin θ＝2.‎ ‎2．在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为(3，)、(4，)，求△AOB(其中O为极点)的面积．‎ 解　由题意知A、B的极坐标分别为(3，)、(4，)，则△AOB的面积S△AOB＝OA·OB·sin∠AOB＝×3×4×sin ＝3.‎ ‎3．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点．当△AOB是等边三角形时，求a的值．‎ 解　由ρ＝4sin θ可得x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.‎ 由ρsin θ＝a可得y＝a.‎ 设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示．‎ 由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.‎ 在Rt△DOB中，易求DB＝a，∴B点的坐标为(a，a)．‎ 又∵B在x2＋y2－4y＝0上，∴(a)2＋a2－4a＝0，‎ 即a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3.‎ 题型一　极坐标与直角坐标的互化 例1　(1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程．‎ ‎(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标．‎ 解　(1)∵ ‎∴y＝1－x化成极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，‎ 即ρ＝.‎ ‎∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，‎ ‎∴0≤θ≤.‎ ‎(2)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρsin2θ＝cos θ，得ρ2sin2θ＝ρcos θ，所以曲线C1的直角坐标方程为y2＝x.由ρsin θ＝1，得曲线C2的直角坐标方程为y＝1.由得故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1)．‎ 思维升华　(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．‎ ‎　(1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．‎ ‎(2)求在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程．‎ 解　(1)将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入x2＋y2－2x＝0，得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ.‎ ‎(2)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于x轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2.‎ 题型二　求曲线的极坐标方程 例2　将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.‎ ‎(1)写出曲线C的方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ 解　(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得 由 ＋y＝1得x2＋()2＝1，‎ 即曲线C的方程为x2＋＝1.‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为(，1)，所求直线斜率为k＝，‎ 于是所求直线方程为y－1＝(x－)，‎ 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，‎ 即ρ＝.‎ 思维升华　求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．‎ ‎　在极坐标系中，已知圆C经过点P(，)，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ 解　在ρsin＝－中，‎ 令θ＝0，得ρ＝1，‎ 所以圆C的圆心坐标为(1,0)．‎ 如图所示，因为圆C经过点 P，‎ 所以圆C的半径 PC＝ ＝1，‎ 于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ 题型三　极坐标方程的应用 例3　(2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ 解　(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，‎ C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，‎ 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，‎ 所以△C2MN的面积为.‎ 思维升华　(1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程；(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．‎ ‎　(2017·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝4截得的弦长．‎ 解　由ρsin(θ＋)＝2，得(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化为x＋y－2＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2‎ ‎＝16，由圆中的弦长公式得：2＝2＝4.故所求弦长为4.‎ ‎1．(2015·广东)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为，求点A到直线l的距离．‎ 解　依题可知直线l：2ρsin＝和点A可化为l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以点A到直线l的距离为d＝＝.‎ ‎2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．‎ 解　曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.联立方程组得则交点为(0,1)，对应的极坐标为.‎ ‎3．在极坐标系中，已知圆ρ＝3cos θ与直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值．‎ 解　圆ρ＝3cos θ的直角坐标方程为x2＋y2＝3x，‎ 即2＋y2＝，‎ 直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0的直角坐标方程为2x＋4y＋a＝0.‎ 因为圆与直线相切，所以＝，‎ 解得a＝－3±3.‎ ‎4．在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程．‎ 解　以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，‎ 则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，‎ 且圆心为(1,0)．‎ 直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，‎ 因为圆心(1,0)关于y＝x的对称点为(0,1)，‎ 所以圆(x－1)2＋y2＝1关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1.‎ 所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎5．在极坐标系中，P是曲线C1：ρ＝12sin θ上的动点，Q是曲线C2：ρ＝12cos(θ－)上的动点，求|PQ|的最大值．‎ 解　对曲线C1的极坐标方程进行转化：‎ ‎∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x2＋y2－12y＝0，‎ 即x2＋(y－6)2＝36.‎ 对曲线C2的极坐标方程进行转化：‎ ‎∵ρ＝12cos(θ－)，‎ ‎∴ρ2＝12ρ(cos θcos＋sin θsin)，‎ ‎∴x2＋y2－6x－6y＝0，∴(x－3)2＋(y－3)2＝36，‎ ‎∴|PQ|max＝6＋6＋＝18.‎ ‎6．在极坐标系中，O是极点，设A(4，)，B(5，－)，求△AOB的面积．‎ 解　如图所示，∠AOB＝2π－－＝，‎ OA＝4，OB＝5，‎ 故S△AOB＝×4×5×sin ＝5.‎ ‎7．已知P(5，)，O为极点，求使△POP′为正三角形的点P′的坐标．‎ 解　设P′点的极坐标为(ρ，θ)．‎ ‎∵△POP′为正三角形，如图所示，‎ ‎∴∠POP′＝.‎ ‎∴θ＝－＝或θ＝＋＝π.‎ 又ρ＝5，∴P′点的极坐标为(5，)或(5，π)．‎ ‎8．在极坐标系中，判断直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系．‎ 解　直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x－y＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1.圆心(0,1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝0<1.故直线与圆相交．‎ ‎9．在极坐标系中，已知三点M、N(2,0)、P.‎ ‎(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；‎ ‎(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上．‎ 解　(1)由公式得M的直角坐标为(1，－)；‎ N的直角坐标为(2,0)；P的直角坐标为(3，)．‎ ‎(2)∵kMN＝＝，kNP＝＝.‎ ‎∴kMN＝kNP，∴M、N、P三点在一条直线上．‎ ‎10．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－)＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ 解　(1)由ρcos(θ－)＝1‎ 得ρ(cos θ＋sin θ)＝1.‎ 从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，‎ 即x＋y＝2.‎ 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．‎ 当θ＝时，ρ＝，所以N(，)．‎ ‎(2)M点的直角坐标为(2,0)．‎ N点的直角坐标为(0，)．‎ 所以P点的直角坐标为(1，)．‎ 则P点的极坐标为(，)，‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎