高考数学专题复习练习第8讲 立体几何中的向量方法（二） 9页

第8讲 立体几何中的向量方法（二）‎ 一、选择题 ‎1．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是(　　)‎ A. B. C. D．3 解析 两平面的一个单位法向量n0＝，故两平面间的距离d＝|·n0|＝.‎ 答案　B ‎2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为 (　　)．‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ 解析　设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝30°.‎ 答案　A ‎3．长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　建立坐标系如图，‎ 则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,2)．‎ ＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，‎ cos〈，〉＝＝.‎ 所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.‎ 答案　B ‎4．已知直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝(　　)．‎ A．2 B. C. D．1‎ 解析　如图，建立直角坐标系Dxyz，由已 知条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)，‎ 由AB＝2解得t＝.‎ 答案　C ‎5．如图，在四面体ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2.∠ABC＝∠DCB＝，则二面角A－BC－D的大小为 (　　)．‎ A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析　二面角A－BC－D的大小等于AB与CD所成角的大小.＝＋＋.而2＝2＋2＋2－2||·||·cos 〈，〉，即12＝1＋4＋9－2×2cos〈，〉，∴cos〈，〉＝，∴AB与CD所成角为，即二面角A－BC－D的大小为.故选B.‎ 答案　B ‎6．如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，∠ACB＝90°，‎2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为(　　)‎ A. B. C．2 D. 解析 如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)‎ 设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)，＝(1,0，a)，‎ ‎＝(0,2,2)，‎ 设平面B1CD的一个法向量为m＝(x，y，z)．‎ 则⇒，令z＝－1，‎ 得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)，‎ 则由cos60°＝，得＝，即a＝，‎ 故AD＝.‎ 答案 A 二、填空题 ‎7．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为________．‎ 解析　cos〈n，a〉＝＝＝－.‎ 又l与α所成角记为θ，即sin θ＝|cos〈n，a〉|＝.‎ 答案　.‎ ‎8．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________.‎ 解析　由已知得＝＝，‎ ‎∴8 ＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝.‎ 答案　－2或 ‎9．已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________．‎ 解析　如图，建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1由已知条件A(1,0,0)，E，F，‎ ＝，＝，‎ 设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 面AEF与面ABC所成的二面角为θ，‎ 由得 令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3)‎ 平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1)‎ cos θ＝cos〈n，m〉＝，tan θ＝.‎ 答案　 ‎10．在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是________．‎ 解析　如图所示建立空间直角坐标系，设OA＝OB＝OC＝1，则A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,1)，M，故＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝.‎ 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则由得 令x＝1，得n＝(1,1,1)．故cos〈n，〉＝＝，‎ 所以OM与平面ABC所成角的正弦值为，其正切值为.‎ 答案　 三、解答题 ‎11．如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，AB ‎＝BC＝BD＝4，E、F分别为棱BC、AD的中点．‎ ‎(1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值；‎ ‎(2)求E到平面ACD的距离；‎ ‎(3)求EF与平面ACD所成角的正弦值．‎ 解　如图，分别以直线BC、BD、BA为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A(0,0,4)、C(4,0，0)、D(0,4，0)，E(2,0,0)、F(0，2,2)．‎ ‎(1)∵＝(0,0，－4)，＝(－2,2,2)，‎ ‎∴|cos〈，〉|＝＝，‎ ‎∴异面直线AB与EF所成角的余弦值为.‎ ‎(2)设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y,1)，‎ 则∵＝(4,0，－4)，＝(－4,4,0)，‎ ‎∴ ‎∴x＝y＝1，∴n＝(1,1,1，)．‎ ‎∵F∈平面ACD，＝(－2,2,2)，‎ ‎∴E到平面ACD的距离为d＝＝＝.‎ ‎(3)EF与平面ACD所成角的正弦值为|cos〈n，〉|＝＝ ‎12．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.‎ ‎(1)求证：BD⊥平面PAC；‎ ‎(2)求二面角P－BD－A的大小．‎ ‎(1)证明　如图，建立空间直角坐标系，‎ 则A(0,0,0)，B(2，0,0)，‎ C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，‎ ‎∴＝(0,0,3)，＝(2，6,0)，‎ ＝(－2，2,0)．‎ ‎∴·＝0，·＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC.‎ 又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥面PAC.‎ ‎(2)解　设平面ABD的法向量为m＝(0,0,1)，‎ 设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则n·＝0，n·＝0.∵＝(－2，0,3)，‎ ‎∴解得 令x＝，则n＝(，3,2)，∴cos〈m，n〉＝＝.‎ ‎∴二面角P－BD－A的大小为60°.‎ ‎13．如图，直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.‎ ‎(1)证明：DC1⊥BC.‎ ‎(2)求二面角A1－BD－C1的大小．‎ ‎(1)证明　由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA1的中点，‎ 故DC＝DC1.‎ 又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC.‎ 而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.‎ 因为BC⊂平面BCD，所以DC1⊥BC.‎ ‎(2)解　由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC‎1A1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直．以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||‎ 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 C－xyz.由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)．‎ 则＝(0,0，－1)，＝(1，－1,1)，＝(－1,0,1)．‎ 设n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则 即可取n＝(1,1,0)．‎ 同理，设m＝(x，y，z)是平面C1BD的法向量，则 即可取m＝(1,2,1)．‎ 从而cos〈n，m〉＝＝.‎ 故二面角A1－BD－C1的大小为30°.‎ ‎14．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．‎ ‎(1)求证：AF∥平面BCE；‎ ‎(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；‎ ‎(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．‎ 解 方法一：‎ ‎(1)证法一：取CE的中点G，连接FG、BG.‎ ‎∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝DE，‎ ‎∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，‎ ‎∴AB∥DE，∴GF∥AB.‎ 又AB＝DE，∴GF＝AB.又DE＝2AB，‎ ‎∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.‎ ‎∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，‎ ‎∴AF∥平面BCE.‎ 证法二：取DE的中点M，连接AM、FM，‎ ‎∵F为CD的中点，∴FM∥CE.‎ ‎∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴DE∥AB.‎ 又AB＝DE＝ME，‎ ‎∴四边形ABEM为平行四边形，则AM∥BE.‎ ‎∵FM、AM⊄平面BCE，CE、BE⊂平面BCE，‎ ‎∴FM∥平面BCE，AM∥平面BCE.‎ 又FM∩AM＝M，∴平面AFM∥平面BCE.‎ ‎∵AF⊂平面AFM，‎ ‎∴AF∥平面BCE.‎ ‎(2)证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，‎ ‎∴AF⊥CD.‎ ‎∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.‎ 又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.‎ ‎∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.‎ ‎∵BG⊂平面BCE，‎ ‎∴平面BCE⊥平面CDE.‎ ‎(3)在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，连接BH，‎ ‎∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE.‎ ‎∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角．‎ 设AD＝DE＝2AB＝‎2a，则FH＝CFsin45°＝a，‎ BF＝＝＝‎2a，‎ 在Rt△FHB中，sin∠FBH＝＝.‎ ‎∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为.‎ 方法二：‎ 设AD＝DE＝2AB＝‎2a，建立如图所示的坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(‎2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,‎2a)．‎ ‎∵F为CD的中点，∴F.‎ ‎(1)证明：＝，＝(a，a，a)，＝(‎2a,0，－a)，‎ ‎∵＝(＋)，AF⊄平面BCE，∴AF∥平面BCE.‎ ‎(2)证明：∵＝，＝(－a，a,0)，＝(0,0，－‎2a)，‎ ‎∴·＝0，·＝0，∴⊥，⊥.‎ ‎∴⊥平面CDE，又AF∥平面BCE，‎ ‎∴平面BCE⊥平面CDE.‎ ‎(3)设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，由n·＝0，n·＝0可得 x＋y＋z＝0,2x－z＝0，取n＝(1，－，2)．‎ 又＝，设BF和平面BCE所成的角为θ，则 sinθ＝＝＝.‎ ‎∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为.‎