高考数学专题复习练习第3讲 二项式定理 6页

第3讲 二项式定理 一、选择题 ‎1．二项式6的展开式中的常数项是(　　)‎ A．20　　　　　　　　　 B．－20‎ C．160 D．－160‎ 解析 二项式(2x－)6的展开式的通项是Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝C·26－r·(－1)r·x6－2r.令6－2r＝0，得r＝3，因此二项式(2x－)6的展开式中的常数项是C·26－3·(－1)3＝－160.‎ 答案 D ‎2．若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为(　　)．‎ A．6 B．‎10 C．12 D．15‎ 解析　Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rCx，当r＝4时，＝0，又n∈N*，∴n＝12.‎ 答案　C ‎3．已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是 (　　)．‎ A．28 B．‎38 ‎ C．1或38 D．1或28‎ 解析　由题意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.‎ 答案　C ‎4．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为(　　)．‎ A．－150 B．‎150 C．300 D．－300‎ 解析　由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，‎ Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rCx4－，‎ 令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.‎ 答案　B ‎5．设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝(　　)．‎ A．0 B．‎1 ‎ C．11 D．12‎ 解析　512 012＋a＝(13×4－1)2 012＋a被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512 012＋a能被13整除．‎ 答案　D ‎6．已知00)与y＝|logax|的大致图象如图所示，所以n＝2.故(x＋1)n＋(x＋1)11＝(x＋2－1)2＋(x＋2－1)11，所以a1＝－2＋C＝－2＋11＝9.‎ 答案　B 二、填空题 ‎7． 18的展开式中含x15的项的系数为________(结果用数值表示)．‎ 解析　Tr＋1＝Cx18－rr＝(－1)rCrx18－r，令18－r＝15，解得r＝2.所以所求系数为(－1)2·C2＝17.‎ 答案　17‎ ‎8．已知(1＋x＋x2)n的展开式中没有常数项，n∈N*且2≤n≤8，则n＝________.‎ 解析　n展开式中的通项为 Tr＋1＝Cxn－rr ‎＝Cxn－4r(r＝0,1,2，…，8)，‎ 将n＝2,3,4,5,6,7,8逐个检验可知 n＝5.‎ 答案　n＝5‎ ‎9．若(cosφ＋x)5的展开式中x3的系数为2，则sin＝________.‎ 解析 由二项式定理得，x3的系数为Ccos2φ＝2，‎ ‎∴cos2φ＝，故sin＝cos2φ＝2cos2φ－1＝－.‎ 答案 －　‎ ‎10．设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝‎4A，则a的值是________．‎ 解析　由Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－a)rx6－r，‎ 得B＝C(－a)4，A＝C(－a)2，∵B＝‎4A，a＞0，∴a＝2.‎ 答案　2‎ 三、解答题 ‎11．已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.‎ ‎(1)求n；(2)求展开式中的常数项．‎ 解　(1)由题意，得C＋C＋C＋…＋C＝256，即2n＝256，解得n＝8.‎ ‎(2)该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C()8－r·r＝C·x，令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.‎ ‎12．已知等差数列2,5,8，…与等比数列2,4,8，…，求两数列公共项按原来顺序排列构成新数列{Cn}的通项公式．‎ 解　等差数列2,5,8，…的通项公式为an＝3n－1，‎ 等比数列2,4,8，…的通项公式为bk ＝2k ，令3n－1＝2k ，n∈N*，k ∈N*，‎ 即n＝＝ ‎＝，‎ 当k ＝‎2m－1时，m∈N*，‎ n＝∈N*，‎ Cn＝b2n－1＝22n－1(n∈N*)．‎ ‎13．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．‎ 解　5的展开式的通项为Tr＋1＝C5－r·r＝5－rCx，令20－5r＝0，得r＝4，故常数项T5＝C×＝16.又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n，由题意知2n＝16，得n＝4.由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中系数最大的项是中间项T3，故有Ca4＝54，解得a＝±.‎ ‎14．已知n，‎ ‎ (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；‎ ‎(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．‎ 解　(1)∵C＋C＝‎2C，∴n2－21n＋98＝0.‎ ‎∴n＝7或n＝14，‎ 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.‎ ‎∴T4的系数为C423＝，‎ T5的系数为C324＝70，‎ 当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.‎ ‎∴T8的系数为C727＝3 432.‎ ‎(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.‎ ‎∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，‎ ‎∵12＝12(1＋4x)12，‎ ‎∴　∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.‎ ‎∴展开式中系数最大的项为T11，‎ T11＝C·2·210·x10＝16 896x10.‎