高中数学第四章数列4-1数列的概念第1课时数列的概念与简单表示课件新人教A版选择性必修第二册 37页

4.1 　数列的概念 第 1 课时　数列的概念与简单表示 激趣诱思 知识点拨 古语云 :“ 勤学如春起之苗 , 不见其增 , 日有所长 ; 辍学如磨刀之石 , 不见其损 , 日有所亏 . ” 如果对 “ 春起之苗 ” 每日用精密仪器度量 , 则每日的高度值按日期排在一起 , 可组成一个数列 . 同样 , 对 “ 磨刀之石 ” 用精密仪器度量 , 则每日的质量按日期排在一起 , 也可以组成一个数列 . 那么什么叫数列呢 ? 激趣诱思 知识点拨 一、数列 1 . 定义 : 一般地 , 我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列 . 2 . 项 : 数列中的每一个数叫做这个数列的项 . 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第 1 项 , 常用符号 a 1 表示 ; 第二个位置上的数叫做这个数列的第 2 项 , 用 a 2 表示 …… 第 n 个位置上的数叫做这个数列的第 n 项 , 用 a n 表示 . 其中第 1 项也叫做首项 . 3 . 表示 : 数列的一般形式是 a 1 , a 2 , … , a n , … , 简记为 { a n } . 名师点析 (1) 数列是按一定的 “ 顺序 ” 排列的一列数 , 有序性是数列的基本属性 . 数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列 , 例如 1,2,3, … 与 3,2,1 … 就是不同的数列 . (2) 符号 { a n } 和 a n 是不同的概念 ,{ a n } 表示一个数列 , 而 a n 表示数列中的第 n 项 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 数列与集合之间有怎样的区别与联系 ? 提示 : (1) 集合中的元素具有确定性、无序性、互异性 , 而数列中的项具有确定性、有序性、可重复性 ; (2) 集合中的元素可以是数 , 也可以是点、方程以及其他事物等 , 但数列中的每一项必须是数 ; (3) 数列 { a n } 不是集合 , 它是数列的一个整体符号 ,{ a n } 表示数列 a 1 , a 2 , a 3 , … , a n , … , 而 a n 表示数列的第 n 项 . 激趣诱思 知识点拨 二、数列的 分类   类别 含义 按项的 个数 有穷数列 项数 有限 的数列 无穷数列 项数 无限 的数列 按项的 变化 趋势 递增数列 从第 2 项起 , 每一项都 大于 它的前一项的数列 递减数列 从第 2 项起 , 每一项都 小于 它的前一项的数列 常数列 各项 相等 的数列 摆动数列 从第 2 项起 , 有些项 大于 它的前一项 , 有些 项 小于 它的前一项的数列 激趣诱思 知识点拨 微练习 下列叙述正确的是 ( 　　 ) A . 所有数列可分为递增数列和递减数列两类 B . 数列中的数由它的位置序号唯一确定 C . 数列 1,3,5,7 可表示为 {1,3,5,7} D . 同一个数在数列中不可能重复出现 解析 : 按项的变化趋势 , 数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列 ,A 错误 ; 数列 1,3,5,7 与由实数 1,3,5,7 组成的集合 {1,3,5,7} 是两个不同的概念 ,C 错误 ; 同一个数在数列中可能重复出现 , 如 2,2,2, … 表示由实数 2 构成的常数列 ,D 错误 ; 对于给定的数列 , 数列中的数由它的位置序号唯一确定 ,B 正确 . 答案 : B 激趣诱思 知识点拨 三、数列的通项公式 如果数列 { a n } 的第 n 项 a n 与它的序号 n 之间的对应关系可以用一个式子来表示 , 那么这个式子叫做这个数列的通项公式 . 名师点析 (1) 数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N * ( 或它的有限子集 ){1,2, … , n } 为定义域的函数表达式 . (2) 并不是所有的数列都有通项公式 . (3) 同一数列的通项公式 , 其表达形式可以是不唯一的 , 例如 数列 - 1,1, - 1,1, - 1,1, … 的通项公式可以写成 a n = ( - 1) n , a n = ( - 1) n+ 2 , a n = cos n π 等 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 若数列 { a n } 的通项公式是 a n =n 2 - 1, 则该数列的第 10 项 a 10 = 　　　　　 ,224 是该数列的第 　　　　　 项 .   解析 : a 10 = 10 2 - 1 = 99 . 令 a n =n 2 - 1 = 224, 解得 n= 15, 即 224 是该数列的第 15 项 . 答案 : 99 　 15 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 数列的概念及 分类 例 1 给出下列说法 : ① 数列中的项数一定是无限的 ; ② 数列 1,3,2,6,3,9, … 是递增的无穷数列 ; ③ 数列 , … 是递减的无穷数列 ; ④ 数列 0,1,4,9,16, … 的通项公式是 a n =n 2 ; ⑤ 数列 1,5,2,10,3,15, … 没有通项公式 ; ⑥ 摆动数列也可能有通项公式 . 其中正确说法的序号是 　　　　　 .   分析 : 根据数列的定义、分类以及通项公式的概念进行判断 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解析 : 对于 ① , 错误 , 数列中的项数可以是有限项或无限项 ; 对于 ② , 错误 , 该数列是无穷数列 , 但不是递增数列 ; 对于 ③ , 正确 ; 对于 ④ , 错误 , 该数列的通项公式是 a n = ( n- 1) 2 ; 对于 ⑥ , 正确 . 答案 : ③ ⑥ 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 数列类型的判断 在判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点 . 对于是递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析 ; 而是有穷还是无穷数列则看项的个数是有限还是无限 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1 下列正确说法的序号是 　　　　　 .   ① {0,1,2,3,4,5} 是有穷数列 ; ② 按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列 ; ③ - 2, - 1,1,3, - 2,4,3 是一个项数为 5 的数列 ; ④ 数列 1,2,3,4, … ,2 n 是无穷数列 . 解析 : 紧扣数列的有关概念 , 验证每一个说法是否正确 . {0,1,2,3,4,5} 是集合 , 而不是数列 , 故 ① 错误 ; 按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列 , 故 ② 正确 ; 同一个数在数列中可以重复出现 , 故此数列共有 7 项 , 故 ③ 错误 ; 数列 1,2,3,4, … ,2 n , 共有 2 n 项 , 是有穷数列 , 故 ④ 错误 . 答案 : ② 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 根据数列的前几项求通项公式 例 2 写出下列数列的一个通项公式 : 分析 : 观察、分析 , 寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (2) 数列各项的绝对值分别为 1,3,5,7,9, … 是连续的正奇数 , 其通项公式为 2 n- 1; 考虑 ( - 1) n+ 1 具有转换符号的作用 , 所以数列的一个通项公式为 a n = ( - 1) n+ 1 (2 n- 1) . (3) 各项加 1 后 , 分别变为 10,100,1 000,10 000, … , 此数列的通项公式为 10 n , 可得原数列的一个通项公式为 a n = 10 n - 1 . (4) 数列中每一项均由三部分组成 , 分母是从 1 开始的奇数列 , 其通项公式为 2 n- 1; 分子的前一部分是从 2 开始的自然数的平方 , 其通项公式为 ( n+ 1) 2 , 分子的后一部分是减去一个自然数 , 其通项公式为 n , 综 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (5) 这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数 , 且奇数项为负 , 偶数项为正 , 所以它的一个通项公式是 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 根据数列的前几项写通项公式的具体思路为 : (1) 先统一项的结构 , 如都化成分数、根式等 . (2) 分析这一结构中变化的部分与不变的部分 , 探索变化部分的规律与对应序号间的关系 . (3) 对于符号交替出现的情况 , 可先观察其绝对值 , 再用 ( - 1) k 处理符号 . (4) 对于周期出现的数列 , 考虑利用周期函数的知识解答 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 2 . 常见数列的通项公式 (1) 数列 - 1,1, - 1,1, … 的一个通项公式是 a n = ( - 1) n , 数列 1, - 1,1, - 1, … 的一个通项公式是 a n = ( - 1) n+ 1 或 ( - 1) n- 1 . (2) 数列 1,2,3,4, … 的一个通项公式是 a n =n. (3) 数列 1,3,5,7, … 的一个通项公式是 a n = 2 n- 1 . (4) 数列 2,4,6,8, … 的一个通项公式是 a n = 2 n. (5) 数列 1,2,4,8, … 的一个通项公式是 a n = 2 n- 1 . (6) 数列 1,4,9,16, … 的一个通项公式是 a n =n 2 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2 写出下列数列的一个通项公式 , 使它的前 4 项分别是下列各数 : 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 数列通项公式的 应用 分析 : 数列的前 3 项已知 , 由此代入通项公式 , 可得到关于 a , b , c 的方程组 , 解方程组即得 a , b , c 的值 , 从而求出数列的通项公式 , 再求 a 4 , a 5 ; 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 数列中项的判定方法 判断给定的项是不是数列中的项 , 实质就是一个解方程的过程 . 若解得的 n 是正整数 , 则该项是此数列中的项 ; 否则 , 就不是该数列中的项 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 数列的单调性及其 应用 (1) 当 k= 1 时 , 判断数列 { a n } 的单调性 ; (2) 若数列 { a n } 是递减数列 , 求实数 k 的取值范围 . 分析 : 对于 (1), 因为已知数列的通项公式 , 所以可以通过比较数列的相邻两项 a n 与 a n+ 1 的大小来确定数列的单调性 ; 对于 (2), 可根据数列是递减数列 , 得出 a n 与 a n+ 1 的大小关系 , 从而确定 k 的取值范围 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 判断数列的增减性 , 一般是将其转化为比较相邻两项的大小 , 常用的方法有作差法、作商法 . 作差法判断数列增减性的步骤为先作差 , 再变形、定号 , 最后下结论 . 作商法适用于各项都是同号的数列 , 且应比较比值与 1 的大小关系 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列 答案 : B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 例 5 (1) 已知数列 { a n } 满足 a n =n 2 - 5 n- 6, n ∈ N * . ① 数列中有哪些项是负数 ? ② 当 n 为何值时 , a n 取得最小值 ? 求出此最小值 . 分析 : (1) ① 根据数列的函数的特征 , 以及不等式的解法 , 即可求出 ; ② 根据二次函数的性质即可求出 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (1) 解 : ① a n =n 2 - 5 n- 6 < 0, 解得 0 0, 即 a n+ 1 >a n ; 当 n= 9 时 , a n+ 1 -a n = 0, 即 a n+ 1 =a n ; 当 n> 9 时 , a n+ 1 -a n < 0, 即 a n+ 1 a 11 >a 12 > … , ∴ 数列中有最大项 , 最大项为第 9,10 项 , 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解法二 : 设 a k 是数列 { a n } 的最大项 , 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 求数列的最大 ( 小 ) 项的两种方法 (1) 由于数列是特殊的函数 , 所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质 , 如单调性、最大值、最小值等 , 此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集 {1,2, … , n } 这一条件 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 归纳法求数列的通项公式 典例 观察图中 5 个图形的相应小圆圈的个数的变化规律 , 猜想第 n 个图中有 　　　　　 小圆圈 .   分析 : 仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系 , 从而归纳出第 n 个图形中小圆圈的个数 . 解析 : 观察图中 5 个图形小圆圈的个数分别为 1,1 × 2 + 1,2 × 3 + 1,3 × 4 + 1,4 × 5 + 1, … , 故第 n 个图中小圆圈的个数为 ( n- 1)· n+ 1 =n 2 -n+ 1 . 答案 : n 2 -n+ 1 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 归纳是逻辑推理的一类 , 可以发现新命题 . 本例完美诠释了 “ 观察现象 , 归纳规律 , 大胆猜想 , 小心求证 ” 这一认识发展规律 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 1 . 下列各项表示数列的是 ( 　　 ) A. △ ,○, ☆ , □ B.2 008,2 009,2 010, … ,2 017 C. 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D. a+b , a-b , ab , λ a 解析 : 数列是指按照一定次序排列的一列数 , 而不能是图形、文字、向量等 , 只有 B 项符合 . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 2 . 下列数列既是递增数列 , 又是无穷数列的是 ( 　　 ) A.1,2,3, … ,20 B. - 1, - 2, - 3, … , -n , … C.1,2,3,2,5,6, … D. - 1,0,1,2, … ,100, … 解析 : 由递增数列和无穷数列的定义知 D 项正确 . 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3 . 已知数列 { a n } 的通项公式为 a n = log 3 (2 n + 1), 则 a 3 = 　　　　　 .   解析 : ∵ a n = log 3 (2 n + 1), ∴ a 3 = log 3 (2 3 + 1) = log 3 9 = 2 . 答案 : 2 答案 : 19 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测