高考数学专题复习教案： 离散型随机变量的均值与方差备考策略 5页

离散型随机变量的均值与方差备考策略 主标题：离散型随机变量的均值与方差备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：离散型随机变量，均值，方差，备考策略 难度：3‎ 重要程度：4‎ 考点一　离散型随机变量的均值与方差 ‎【例1】 设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．‎ ‎(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量X为取出此2球所得分数之和，求X的分布列；‎ ‎(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量Y为取出此球所得分数．若E(Y)＝，D(Y)＝，求a∶b∶c.‎ 思路解析　(1)对取出球的颜色进行分类以确定得分值，进而确定随机变量X的取值，计算相应的概率，再列出分布列．(2)用a，b，c表示出Y取值的概率，列出随机变量Y的分布列，求出均值和方差，转化为关于a，b，c的方程求解．‎ 解　(1)由题意得X＝2,3,4,5,6.‎ 故P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ P(X＝4)＝＝，‎ P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎(2)由题意知Y的分布列为 Y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(Y)＝＋＋＝，‎ D(Y)＝2·＋2·＋2·＝.‎ 化简得解得 故a∶b∶c＝3∶2∶1.‎ ‎【备考策略】 求解该类问题，首先要理解问题的关键，其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算，也就是要过“三关”：①阅读理解关；②概率计算关；③公式应用关，如方差、均值公式要准确理解、记忆．‎ 考点二　与二项分布有关的均值、方差 ‎【例2】某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．‎ ‎(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；‎ ‎(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？‎ 思路点拨　(1)易知X＝0,2,3,5，则“X≤3”与“X＝5”为对立事件，根据相互独立事件与对立事件公式计算．(2)每种方案的得分与中奖次数有关，且中奖次数服从二项分布，运用均值的性质求解．‎ 解　(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．‎ 记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，‎ 则事件A的对立事件为“X＝5”，‎ 因为P(X＝5)＝×＝，‎ 所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，‎ 即这2人的累计得分X≤3的概率为.‎ ‎(2)法一　设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．‎ 由已知可得，X1～B，X2～B，‎ 所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝，‎ 因此E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝.‎ 因为E(2X1)>E(3X2)，‎ 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．‎ 法二　设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y1，都选择方案乙所获得的累计得分为Y2，则Y1，Y2的分布列为：‎ Y1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎　‎ Y2‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ P ‎∴E(Y1)＝0×＋2×＋4×＝，‎ E(Y2)＝0×＋3×＋6×＝，‎ 因为E(Y1)>E(Y2)，‎ 所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的数学期望较大．‎ ‎【备考策略】求离散型随机变量的均值与方差的方法：(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解．(2)若随机变量X～B(n，p)，则可直接使用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求解．‎ 考点三　均值与方差在决策中的应用 ‎【例3】 某投资公司在2015年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：‎ 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；‎ 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.‎ ‎(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；‎ ‎(2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，问大约在哪一年的年底总资产(利润＋本金)可以翻一番？‎ ‎(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)‎ 解　(1)若按“项目一”投资，设获利为X1万元．则X1的分布列为 X1‎ ‎300‎ ‎－150‎ P ‎∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元)．‎ 若按“项目二”投资，设获利X2万元，‎ 则X2的分布列为：‎ X2‎ ‎500‎ ‎－300‎ ‎0‎ P ‎∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元)．‎ D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，‎ D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.‎ 所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)